Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.
|
|
- Enrique Cuenca Cárdenas
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y 2, y + 2z). Solución. (i) Es lineal ya que, para todo (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) R y para todo α, β R, se cumple f((α(x 1, y 1, z 1 ) + β(x 2, y 2, z 2 )) = f((αx 1 + βx 2, αy 1 + βy 2, αz 1 + βz 2 )) = = (αx 1 + βx 2 αy 1 βy 2, αy 1 + βy 2 + 2αz 1 + 2βz 2 ) = = (αx 1 αy 1, αy 1 + 2αz 1 ) + (βx 2 βy 2, βy 2 + 2βz 2 ) = = α(x 1 y 1, y 1 + 2z 1 ) + β(x 2 y 2, y 2 + 2z 2 ) = = αf((x 1, y 1, z 1 )) + βf((x 2, y 2, z 2 )) (ii) No es lineal ya que f((0, 1, 0) + (0, 2, 0)) = f((0,, 0)) = ( 9, ) ( 1, 1) + ( 4, 2) = f((0, 1, 0)) + f((0, 2, 0)). 2.- Se considera f : R 2 R aplicación lineal tal que f((1, 1)) = ( 1, 2, ) y f((, 2)) = (0, 5, ). Determinar, si es posible, f((x, y)) donde (x, y) R 2. Solución. Los vectores {(1, 1), (, 2)} forman un conjunto libre de R 2 ya que (0, 0) = α(1, 1) + β(, 2) = (α β, α + 2β) { } 0 = α β α = β = 0. 0 = α + 2β Además el cardinal de {(1, 1), (, 2)} es 2, que coincide con la dimensión de R 2, luego {(1, 1), (, 2)} es una base de R 2 y podemos expresar (x, y) R 2 como combinación lineal de {(1, 1), (, 2)}. En efecto, (x, y) = ( 2x y)(1, 1) + ( x y)(, 2),
2 2 Aplicaciones Lineales Entonces, como f es lineal, se cumple f((x, y)) = ( 2x y)f((1, 1) + ( x y)f((, 2))..- Hallar una aplicación lineal f : P 2 (R) R 4 tal que kerf = {a 1 x + a 1 x 2 a 1 R}. Solución. Una base de kerf es B kerf = {x+x 2 }. Podemos completar esta base hasta obtener una base de P 2 (R). Por ejemplo, {1, x, x + x 2 } es una base de P 2 (R). Entonces, si queremos definir una aplicación lineal f : P 2 (R) R 4 tal que kerf = {a 1 x + a 1 x 2 a 1 R} es obvio que f(x + x 2 ) = (0, 0, 0, 0). Además, debemos definir f(1) y f(x) de forma que formen un conjunto libre. Por ejemplo, la aplicación lineal que verifica f(x + x 2 ) = (0, 0, 0, 0), f(1) = (1, 0, 0, 0) y f(x) = (0, 1, 0, 0) verifica lo pedido en el enunciado. 4.- Hallar, si es posible, una aplicacin lineal f : R 4 R tal que kerf =< (0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) > e Imf =< (1, 0, 1), (2, 1, 0) >. Solución. Si queremos definir una aplicación lineal f : R 4 R, debe cumplirse que dim(r 4 ) = dim(kerf + dimimf y los subespacios indicados lo cumplen. Por otro lado, para definir una aplicación lineal, es suficiente con dar las imágenes de los elementos de una base del espacio vectorial origen. Si queremos que kerf =< (0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) >, podemos tomar una base que tenga a S = {(0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)} como dos de sus vectores. Esto es posible porque el conjunto S es libre. Completamos esta base con {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} y definimos la aplicación f en la base {(0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} mediante f((0, 1, 1, 1)) = (0, 0, 0), f((0, 1, 0, 1)) = (0, 0, 0), f((1, 0, 0, 0)) = (1, 0, 1), f((0, 0, 0, 1)) = (2, 1, 0). Observar que al ser {(1, 0, 1), (2, 1, 0)} un conjunto libre garantizamos que kerf es el subespacio deseado. 5.- Calcular el núcleo y la imagen de la aplicación lineal f : R 4 P 2 (x) cuya matriz asociada (empleando notación por filas) respecto de la base canónica de R 4 y {1, x, x 2 } es Solución. Si empleamos la expresi on matricial de f, sabemos que Entonces, f((a, b, c, d)) = (a b c d) x x = (a + 2b c + 2d) + ( 4b 2d)x + ( a + b c 2d)x 2. kerf = {(a, b, c, d) R 4 f((a, b, c, d)) = 0} = {(a, b, c, d) R 4 (a + 2b c + 2d) + ( 4b 2d)x + ( a + b c 2d)x 2 = 0} = {(a, b, c, d) R 4 a + 2b c + 2d = 4b 2d = a + b c 2d = 0} = {( 7 2 b, b, b, 2b) b R} 2.
3 Aplicaciones Lineales 6.- Sean V y W dos espacios vectoriales, ambos con dimensión finita n y f : V W lineal. Demostrar que si f es inyectiva, entonces f es biyectiva. Solución. Como f es inyectiva, se tiene que kerf = {0 V }. Entonces, de dim(v ) = dim(kerf)+dim(imf) deducimos que dim(v ) = dim(imf) y como dim(v ) =dim(w ), deducimos que Imf = W, luego f es sobreyectiva. 7.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, tal que n es un número impar y f : V V lineal. Demostrar que: kerf Imf. Solución. Supongamos, por reducción al absurdo, que kerf =Imf. Entonces, dim(v ) = dim(kerf) + dim(imf) = 2dim(kerf), o sea un número par, lo que contradice la hipótesis del enunciado. Consecuentemente, kerf Imf. 8.- Se considera la aplicación lineal f : R R 4 cuya matriz asociada, empleando notación por filas, respecto de las bases canónicas de R y R 4 sea Localizar bases de R y R 4, B R 6 ( 2 ) Ir 0 y B R 4, para que la matriz asociada a f sea de la forma. Solución. Si denotamos por e i, i = 1, 4 los elementos de la base canónica de R 4, la expresión matricial de f viene dada por f((x, y, z)) = (x y z) e e 2 e 6 2 e 4 = ( x + 2y + z 2x 4y 6z y 2z x + y + z) e e 4 = ( x + 2y + z, 2x 4y 6z, y 2z, x + y + z) ( ) Ir 0 Si queremos que la matriz asociada a f sea, observamos que los últimos vectores de la base de R que buscamos deben pertenecer a kerf, así que calculamos en primer lugar el núcleo de la aplicación lineal: kerf = {(x, y, z) R f((x, y, z)) = (0, 0, 0, 0)} = {(x, y, z) R ( x + 2y + z, 2x 4y 6z, y 2z, x + y + z) = (0, 0, 0, 0)} = {(x, 2x, x) x R}. Por tanto, una base de kerf es B kerf = {(1, 2, 1)}. Completamos B kerf hasta obtener una base de R : B R = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2, 1)}. Por otro lado, deseamos que las imágenes de los primeros vectores tengan por coordenadas en la base R 4 que buscamos sean (1 0) y (0 1 ). Esto significa que los dos primeros vectores de la base de R 4 sean f((1, 0, 0)) = ( 1, 2, 0, 1) y f((0, 1, 0)) = (2, 4, 1, 1). Necesitamos dos vectores más linealmente independientes para completar la base buscada. Podemos tomar el sistema generador formado por los vectores de la base canónica de R 4 y los dos vectores hallados colocados en las dos primeras posiciones. Estos seis vectores forman un sistema generador ligado y al ser el primero de ellos no nulo, significa que e 1 e 2
4 4 Aplicaciones Lineales hay uno de ellos que es R-combinación lineal del resto. En efecto, (0, 0, 0, 1) es combinación lineal de los otros cinco. Entonces, {( 1, 2, 0, 1), (2, 4, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} es otro sistema generador de R 4. De nuevo, este sistema generador es ligado, por tener 5 vectores en lugar de 4, que es la dimensión de R 4. Como se ha mencionado, existe uno que es combinación lineal de los que le preceden. Así, (0, 0, 1, 0) es combinación lineal de los demás. Entonces, {( 1, 2, 0, 1), (2, 4, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} es la base de R 4 buscada. 9.- Estudiar si las matrices A y B son equivalentes, siendo A = y B = Solución. Si A y B son equivalentes, las podemos ver como matrices asociadas a la misma aplicación lineal. Empleando la notación por filas, si interpretamos A como la matriz asociada a una aplicación lineal f : V W entre un espacio vectorial V de dimensión y otro W de dimensión 4 con respecto a las bases B V = {v 1, v 2, v } y B W = {w 1, w 2, w, w 4 }, observamos que kerf = { α i v i V f( α i v i ) = 0 W } = { = { α i v i V (α 1 + α 2 )w 1 + (α 1 + α )w 2 + (α 2 + α )w 4 = 0 W } α i v i V α 1 + α 2 = α 1 + α = α 2 + α = 0} = {0 V }. Si realizamos lo mismo para B, suponiendo que las bases respecto a las cuáles está calculada sean B V = {v 1, v 2, v } y B W = {w 1, w 2, w, w 4}, obtenemos que kerf = { β i v i V f( β i v i) = 0 W } = { β i v i V (β 1 + β 2 + 2β )w 1 + (β 2 + β )w 2 + ( β 1 + β 2 )w = 0 W } = {β 1 (v 1 + v 2 v ) β 1 R} Por tanto, A y B no pueden ser matrices asociadas a la misma aplicación lineal, ya que los núcleos dan de dimensiones diferentes. Esto significa que A y B no son equivalentes. Problemas 1.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n y f : V V lineal. Demostrar que V =Imf kerf si y sólo si Imf =Imf 2. Solución. Supongamos que V =Imf kerf. Sea v V. Entonces, existe f(v ) y v kerf tal que v = f(v ) + v. Ahora, f(v) = f 2 (v ) + f(v ) = f 2 (v ) Imf 2.
5 Aplicaciones Lineales 5 Por tanto, Imf Imf 2. Además, para cada v V, es inmediato que f(f(v)) Imf, luego Imf 2 Imf. Sea v V. Como Imf =Imf 2, sabemos que existe v tal que f(v) f(f(v )). Entonces, expresamos v = f(v ) + v f(v ). Es claro que f(v ) Imf. Ademas, v f((v ) kerf, ya que f(v f(v )) = f(v) f(f(v )) = 0 V. Por tanto, V Imf+kerf. Pero Imf y kerf son subespacios de V, luego Imf + kerf V. Consecuentemente, V = Imf + kerf. Sólo falta por ver que Imf kerf = 0 V. Ahora, si tomamos la aplicación lineal f f(v ) de Imf =Imf 2, deducimos que f f(v ) es biyectiva y, por tanto, kerf 2 = {0 V }. Entonces, si u Imf kerf, tenemos que f(u) = 0 V, por estar u kerf, y existe v V tal que f(v) = u. Luego, 0 V = f(u) = f(f(v)), así que v kerf 2 = {0 V }, y, consecuentemente, u = f(v) = f(0 V ) = 0 V. 2.- Sea la aplicación lineal f : R R definida por f(( 1, 1, )) = (6, 4, 16), f(( 2, 1, 1)) = ( 2, 5, 1) y f((, 2, 1)) = (1, 14, 12). (i) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base canónica de R. (ii) Sin probar la inyectividad y/o suprayectividad de f directamente, podemos deducir si f es un automorfismo? Solución. (i) Si tomamos la matriz asociada a f respecto de B R = {( 1, 1, ), ( 2, 1, 1), (, 2, 1)} base en el espacio vectorial origen y la base canónica en el espacio vectorial de llegada, obtenemos A = Si tenemos en cuenta la relación existente entre matrices asociadas a una aplicación lineal, se tiene que la matriz asociada a f respecto de la base canónica es: B = M BcB A = R = (ii) Sí, podemos calcular el núcleo de f. Si éste es {(0, 0, 0)}, entonces f es inyectiva y por ser f : R R, deducimos que es biyectiva. Ahora, kerf = {(x, 11 5 x, 7 5 x) x R}, luego f no es inyectiva y, por tanto, tampoco es biyectiva..- Sea f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (i) Demostrar que f es lineal. (i) Calcular Kerf e Imf. (ii) Calcular bases de R y R 2 de forma que la matriz asociada respecto de ellas sea Solución. (i) Empleando la definición de núcleo de una aplicación, es claro que kerf = {( 2z, 2z, z) z R} ( ) Ir 0.
6 6 Aplicaciones Lineales Además, de deducimos que dim(imf) = 2, así que Imf = R 2. dim(r ) = dim(kerf) + dim(imf) (ii) El que las últimas filas de la matriz tengan todas sus entradas 0, nos indica que los últimos vectores de la base de R deben ser vectores linealmente independientes de kerf. Pero, como kerf es un subespacio vectorial de dimensión 1, sólo podemos tomar un vector no nulo del kerf para formar parte de la base buscada. Elegimos, por ejemplo, {( 2, 2, 1)}. Completamos éste, hasta obtener una base de R, B R = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), ( 2, 2, 1)}. Tomamos ahora como base de R 2 a f((1, 0, 0)) y f((0, 1, 0)), esto es, B R 2 = {(1, 0), ( 1, 1)}. La matriz asocida a f respecto de B R y B R 2 es Sea V = W 1 W 2. Demostrar que existe un único endomorfismo tal que f 2 = f, kerf = W 1 y Imf = W 2. Solución. Para definir un endomorfismo de un espacio vectorial, es suficiente con dar la imagen de una base de B V. Consideramos una base de V que sea unión de bases de W 1 y W 2, esto es, B V = B W1 B W2. Definimos la aplicación lineal f : V V definida por f(w 1i ) = 0 V, siendo w 1i B W1 y f(w 2j ) = w 2j, para todo w 2j B W2. Es evidente que la aplicación f definida cumple lo solicitado. Veamos ahora la unicidad. Supongamos que g : V V es otra aplicación lineal que satisface g 2 = g, kerg = W 1 y Img = W 2. Entonces, g(w 1i ) = 0 V = f(w 1i ), para cada w 1i B W1. Nos falta probar que g(w 2j ) = w 2j, para todo w 2j B W2. En efecto, por ser g 2 = g, se tiene g(g(w 2j )) = g(w 2j ). Pero al ser g lineal, la igualdad anterior implica g(g(w 2j ) w 2j ) = 0 V, así que g(w 2j ) w 2j kerg = W 1. Ahora, g(w 2j ) w 2j W 2 por ser diferencia de dos elementos de W 2. Consecuentemente, g(w 2j ) w 2j W 1 W 2 = {0 V }, ya que por hipótesis V = W 1 W 2. En definitiva, g(w 2j ) = w 2j, para todo w 2j B W2.
4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
1. APLICACIONES LINEALES
1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Tema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Aplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)
ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin
1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
Anexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Tema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
4.1 El espacio dual de un espacio vectorial
Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo
Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)
Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales
Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
1. Cambios de base en R n.
er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid
Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Subespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:
.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)
BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el
E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)
Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,
Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de
Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x
4 Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación
Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización
Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización Ejercicio. Decidir cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales. Cuál es la dimensión del espacio imagen? a f(x, x 2, x 3 = (x 2 + x
4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-
Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.
Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................
ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6
ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,
1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Formas bilineales y cuadráticas.
Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos
Práctica de Aplicaciones Lineales
practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una
Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES
Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos
Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados
Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación
CAPÍTULO II. 4 El grupo afín
CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando
Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas
Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones
Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Aplicaciones abiertas y cerradas
44 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las únicas propiedades
Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal
Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.
TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA
TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no
Funciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Relaciones entre conjuntos
Relaciones entre conjuntos Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos,
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará
2 Matrices. 1. Tipos de matrices. Piensa y calcula. Aplica la teoría
2 Matrices 1. Tipos de matrices Piensa y calcula Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 en comida y 150 en vestir; en febrero, 500 en comida y 100 en vestir;
Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas
Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos
Estructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal
CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas
4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d
GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-
Vectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
Tema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Espacios vectoriales con producto interno
Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.
3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21
3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles
no descompone no descompone no descompone
Problema 1. Sea I n el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I 3 = {1, 3, 5, I 6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, etc. Para qué números n el conjunto I n se puede descomponer en dos partes
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 18 Nov 2013-24 Nov 2013 Núcleos e Imágenes Definición Sea f : V W una aplicación lineal. Se
13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.
ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN
Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
1 El espacio vectorial R n.
Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más
Matrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa
Funciones uno-uno, sobre y biunívocas
Funciones uno-uno, sobre y biunívocas La inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte lo
Clasificación de métricas.
Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye
y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.
Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =
Criterio de Sylvester
Criterio de Sylvester Objetivos. Aprender a aplicar el criterio de Sylvester para analizar cuándo una forma cuadrática es positiva definida, usando los menores principales de su matriz asociada. También
VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.
VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar
Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo
Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................
1. Teorema del Valor Medio
1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio
Transformaciones lineales invertibles (no singulares)
Transformaciones lineales invertibles (no singulares) Objetivos. Estudiar la definición y los criterios de invertibilidad de una transformación lineal. Requisitos. Funciones inyectivas, suprayectivas e
Aplicaciones lineales
aplicaciones_lineales.nb Aplicaciones lineales Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T, Grupos ºA y ºB, 005 Aplicaciones lineales y matrices Hay una relación muy estrecha entre aplicaciones lineales y matrices:
Subconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Aplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones
Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal
Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS
Ahora podemos comparar fácilmente las cantidades de cada tamaño que se vende. Estos valores de la matriz se denominan elementos.
Materia: Matemática de 5to Tema: Definición y Operaciones con Matrices 1) Definición Marco Teórico Una matriz consta de datos que se organizan en filas y columnas para formar un rectángulo. Por ejemplo,
Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Transformaciones Lineales Definiciones básicas de Transformaciones Lineales wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 007-009 Contenido 1 Transformaciones Lineales 11 Núcleo e imagen
1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.
Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto
Listas de vectores y conjuntos de vectores
Listas de vectores y conjuntos de vectores La explicación de los temas Dependencia lineal y Bases en el curso de Álgebra Lineal se puede basar en uno de los siguientes dos conceptos (o en ambos): ) listas
Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración