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1 Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 3 + x 4, x 1 + x 3 + x 4, x 1 + x 3 + x 4 ) Solución Apartado a Tenemos una aplicación lineal f : R 3 R 4 cuya expresión matricial es f(x 1, x 2, x 3 ) = Determinamos el rango de la matriz para calcular las dimensiones del núcleo y la imagen: x 1 x 2 x 3 rg(a) = rg dim[ker(f)] = n rg(a) = 3 2 = 1 = 2 = dim[im(f)] = rg(a) = 2 Determinamos el núcleo de f (espacio inicial), ker(f) R 3 : Obtenemos unas ecuaciones implícitas igualando la expresión matricial de f al vector cero: A X = θ x 1 x 2 x 3 = x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes (por tanto, la dimensión dim[ker(f)] = n rg(a) = 3 2 = 1): n o ecuaciones implícitas l.i. = rg(a) = 2

2 2 Las ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo se obtienen eliminando las ecuaciones dependientes: ker(f) : x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = Obtenemos la ecuación paramétrica del núcleo de f resolviendo el sistema (ejercicio): x 1 = α ker(f) x 2 = α α R. x 3 = α Una base del núcleo está formada por el vector u 1 = ( 1, 1, 1) (coeficientes de α): Base de ker(f) = {( 1, 1, 1)} Determinamos la imagen de f (espacio final), Im(f) R 4 : Obtenemos un sistema generador de la imagen de f con las columnas de la matriz A (son las imágenes de la base canónica): A = = {(1,, 1, ), (, 1,, 1), (1, 1, 1, 1)} s. g. de Im(f) El rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión de la imagen) dim[im(f)] = rg(a) = rg = 2. Por tanto, una base de la imagen está formada por los vectores: Base de Im(f) = {(1,, 1, ), (, 1,, 1)} Obtenemos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de la imagen al añadir un vector genérico a la base e imponer que sea combinación lineal de los vectores de la base. Para

3 ello, como la dimensión se se mantiene, el rango sigue siendo 2 y son cero los menores que se obtiene al orlar el menor que determina el rango con las dos filas que quedan fuera de éste. 3 rg 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 4 = 2 = 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 1 x 2 1 x 4 = = x 3 x 1 = = = x 4 x 2 = Así, las ecuaciones implícitas de la imagen son: x 1 x 3 = Im(f) x 2 x 4 = Obsérvese que como hay dos vectores y estamos en R 4 (espacio final) obtenemos dos ecuaciones implícitas linealmente independientes n o ecuaciones implícitas l.i. = n o variables dim[im(f)] = m rg(a) = 4 2 = 2. Como el rango de la matriz asociada a la aplicación es dos, no es inyectiva ni sobreyectiva: dim[ker(f)] = n rg(a) = 3 2 = 1 = f no es inyectiva rg(a) = 2 = dim[im(f)] = rg(a) = 2 m (m = 4) = f no es sobreyectiva Obsérvese que al ser n = 3 y m = 4 nunca podría haber sido sobreyectiva.

4 4 Apartado b La matriz asociada con respecto a las bases canónicas es 1 A = 1. 1 El rango de la matriz permite calcular las dimensiones del núcleo y la imagen rg(a) = 1 = dim[ker(f)] = n rg(a) = 4 1 = 3 dim[im(f)] = rg(a) = 1 lo que nos permite afirmar que no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Determinación de los elementos de ker(f) R 4 (espacio inicial): Obtenemos unas ecuaciones implícitas del núcleo de f: 1 A X = θ 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 + x 3 + x 4 = x 1 + x 3 + x 4 = x 1 + x 3 + x 4 = El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o ecuaciones implícitas l.i. = rg(a) = 1. La única ecuación implícita del núcleo linealmente independiente es: ker(f) : x 1 + x 3 + x 4 =. Obtenemos las ecuaciones paramétricas del núcleo de f resolviendo el sistema Como hay una ecuación implícita linealmente independiente una de las cuatro variables del sistema depende de las otras tres y tendremos tres parámetros (también se obtiene la dimensión del núcleo): n o parámetros = dim[ker(f)] = n o variables n o ecuaciones implícitas l.i. = 4 1 = 3.

5 5 Tomamos como parámetros las variables que quedan fuera del menor que determina el rango (obsérvese que x 2 tiene que ser uno de ellos ya que no aparece en la ecuación y puede tomar cualquier valor): x 2 = α, x 3 = β y x 4 = γ con α, β, γ R. Sustituimos los parámetros en la ecuación implícita y resolvemos el sistema despejando la variable x 1 x 1 + x 3 + x 4 = = x 1 + β + γ = = x 1 = β γ Al ordenar todas las variables se obtiene la ecuación paramétrica del núcleo: x 1 = β γ x 2 = α ker(f) α, β, γ R. x 3 = β x 4 = γ Obtenemos una base del núcleo de f a partir de las ecuaciones paramétricas Una base del núcleo está formada por los vectores u 1 = (, 1,, ) (coeficientes de α), u 2 = ( 1,, 1, ) (coeficientes de β) y u 3 = ( 1,,, 1) (coeficientes de γ): Base de ker(f) = {(, 1,, ), ( 1,, 1, ), ( 1,,, 1)} Determinación de los elementos de Im(f) R 3 (espacio final): Obtenemos una base de la imagen de f utilizando que las columnas de la matriz A forman un sistema generador A = = {(1, 1, 1), (,, ), (1, 1, 1), (1, 1, 1)} s. g. de Im(f) El número de vectores linealmente independientes es la dimensión de la imagen 1 dim[im(f)] = rg(a) = rg 1 = 1. 1

6 6 Por tanto, una base de la imagen está formada por un único vector y es: Base de Im(f) = {(1, 1, 1)} Obtenemos las ecuaciones paramétricas de la imagen de f (no se pide): Las ecuaciones paramétricas de la imagen dependen de un único parámetro n o parámetros = dim[im(f)] = 1 Un vector genérico es combinación lineal de los vectores de la base (ecuación vectorial): (x 1, x 2, x 3 ) = α (1, 1, 1) Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la imagen son: x 1 = α Im(f) x 2 = α α R. x 3 = α Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de la imagen: Añadimos un vector genérico a la base y, para que sea combinación lineal de la base, imponemos que la dimensión se mantenga (para que el rango siga siendo 1 orlamos el menor que determina el rango con las dos filas que quedan fuera de éste): 1 x 1 1 x 1 1 x 2 = = x 1 x 2 = rg 1 x 2 = 1 = 1 x 3 1 x 1 1 x 3 = = x 1 x 3 = Obsérvese que como hay un vector y estamos en R 3 (espacio final) obtenemos dos ecuaciones implícitas linealmente independientes n o ecuaciones implícitas l.i. = n o variables dim[im(f)] = m rg(a) = 3 1 = 2. Así, las ecuaciones implícitas de la imagen son: x 1 x 2 = Im(f) x 1 x 3 =

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