INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: CASTILLO GUTIÉRREZ EDUARDO edd_012@hotmail.com Boleta: MORENO SÁENZ JAIRO jsaenz_7@hotmail.com Boleta: GRUPO: LA VARIABLE MATRIZ ESTRUCTURA Y BASES DE DATOS ING. JESÚS RODRÍGUEZ BUENDÍA 1 P á g i n a

2 INTRODUCCIÓN C++ es un lenguaje de programación que surgió con la intención de extender el lenguaje de programación C a la manipulación de objetos, sumando con esto dos paradigmas de programación que maneja este lenguaje: Programación Estructurada y la Programación Orientada a Objetos. C++ tiene tipos de datos fundamentales del lenguaje, los cuales pueden manejar caracteres, números enteros, números de punto flotante, e incluso, usando arreglos de tipo char, guardar texto; Pero en C++ también es posible definir nuestros propios datos, a esto se le llama tipos de datos agregados o definidos por el usuario, entre los que podemos mencionar struct y class. Podemos definir a las clases como declaraciones o abstracciones de objetos, lo que significa, que una clase es la definición de un objeto. Dentro de la clase, se encuentran uno o más datos (llamados atributos), y funciones (llamados métodos) que permiten la manipulación de los atributos. Retomando la idea de los tipos de datos y de la cual será esta propuesta, hablaremos de una variable de gran utilidad en el campo de las matemáticas y la ingeniería, la variable MATRIZ definida con class. 2 P á g i n a

3 OBJETIVO Crear una variable llamada matriz, la cual será capaz de reconocer el álgebra de las matrices y poder efectuar sus operaciones usando operadores de C++, además de guardar su declaración en un archivo header (<matriz.h>) que solo con agregarlo al código se pueda acceder a todas las funciones disponibles MATRIZ. Es un arreglo rectangular de números que consta de m renglones por n columnas (mxn). Las matrices son utilizadas para escribir sistemas de ecuaciones lineales, existe también el álgebra de matrices, en el cual se afirma que pueden sumarse, restarse, multiplicarse, entre otras operaciones que veremos más adelante. Aunque existen herramientas en C++ con las cuales podríamos trabajar matrices, como el uso de arreglos bidimensionales, son complicadas de manipular ya que no se podría sumar dos matrices usando el operador +, puesto que no son datos fundamentales. Por lo tanto, definimos una clase llamada matriz con todos estos métodos para hacer más eficaz el uso de esta variable. 3 P á g i n a

4 A continuación veremos la declaración de la variable matriz, la cual se encuentra en un archivo header, cuyo nombre es matriz.h y cuando se desee usar una variable de este tipo de dato agregado, solo se debe agregar en las directivas del preprocesador #include matriz.h. Cabe mencionar que es común usar < > para el nombre del archivo, pero para nuestra variable usaremos, la diferencia se encuentra en que el uso de paréntesis angulares significa que los archivos se encuentran en la carpeta default (la carpeta include), mientras que con las comillas se busca en el directorio del proyecto. 4 P á g i n a

5 Es importante decir que las definiciones de la clase no se muestran en esta propuesta, ya que el archivo es compilado (traducido a lenguaje de maquina). Ahora, nos enfocaremos a hablar de las operaciones que se pueden realizar con las matrices, así como su respectiva función en C++ con la clase que se definió. SUMA Y RESTA DE MATRICES Si A y B son matrices del mismo tamaño entonces la suma A+B es la matriz obtenida al sumar los elementos de A con los elementos correspondientes de B, y la diferencia A-B es la matriz que se obtiene de restar cada elemento de A con sur respectivo elemento en B. No es posible sumar o restar matrices de tamaños diferentes. Para realizar estas operaciones en C++, usamos el operador + para realizar la suma y el operador para realizar la sustracción. Veamos un ejemplo: 5 P á g i n a

6 Si las condiciones para la suma y la resta no se cumplen, es imposible realizar la operación 6 P á g i n a

7 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Para poder realizar la multiplicación de dos matrices, se debe cumplir con la siguiente condición: el número de columnas de la matriz A sean iguales al número de renglones de la matriz B, de lo contrario es imposible multiplicarlas: Para realizar esta operación en C++, usamos el operador *. Veamos un ejemplo: 7 P á g i n a

8 Si la condición no se cumple, es imposible realizar la operación: MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sea A una matriz, c un escalar, el producto ca se calcula multiplicando cada miembro de la matriz por el escalar. Para esta operación usamos de nueva cuenta el operador *, colocando primero el nombre de la variable matriz y después el nombre de la variable escalar (double). Veamos un ejemplo: 8 P á g i n a

9 MATRIZ TRANSPUESTA La transpuesta de una matriz A mxn es la matriz nxm A T formada al intercambiar las filas y columnas. 9 P á g i n a

10 Para realizar esta operación, utilizamos en C++ el operador! Veamos un ejemplo: MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada (una matriz que tiene el mismo número de renglones que de columnas), se dice que A -1 es su matriz inversa si al realizar el producto A A -1 da como resultado la matriz identidad I (matriz conformada por ceros, y cuya diagonal principal contiene 1). Para realizar esta operación usamos el operador ~. Veamos un ejemplo: 10 P á g i n a

11 Usando la matriz inversa, es posible resolver un sistema de ecuaciones, usando ecuaciones matriciales de la forma: 11 P á g i n a

12 Veamos un ejemplo de este método. Resolver el sistema de ecuaciones: Si hacemos una matriz columna con los términos independientes del sistema y la multiplicamos por la matriz inversa de los coeficientes del sistema, podremos calcular las soluciones de las ecuaciones simultáneas: 12 P á g i n a

13 REDUCCIÓN GAUSS-JORDAN El método de Gauss-Jordan sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando la matriz aumentada del sistema, realizando operaciones básicas para hacer ceros y dejar unos en la diagonal principal. Matriz Aumentada Reducción de Gauss-Jordan Donde son las soluciones del sistema. Para realizar esta reducción, usamos la función gauss( ) que se encuentra dentro de la clase, por lo tanto: void matriz.gauss( ); 13 P á g i n a

14 Veamos un ejemplo: DETERMINANTE Sea A una matriz cuadrada, se define la función determinante de la siguiente manera: Para un determinante 2x2 14 P á g i n a

15 Para un determinante 3x3 Para un determinante de orden 4 o mayor El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1) i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante. Para realizar esta operación, se utiliza la función det( ), que se encuentra dentro de la clase. double matriz.det( ); Veamos un ejemplo: 15 P á g i n a

16 Una aplicación de los determinantes es el cálculo del área de un triangulo conociendo las coordenadas de sus vértices, de la siguiente manera: Tomando cualquier vértice y de ahí el siguiente en sentido contrario de las manecillas del reloj. Veamos el siguiente ejemplo: Calcular el área del siguiente triángulo 16 P á g i n a

17 Es muy fácil e demostrar que el área es correcta, pues la base mide 5, la altura es de 4, y tomando la fórmula del área Otro uso de los determinantes, al igual que las matrices, es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Veamos el ejemplo: Resolver es sistema Encontraremos las soluciones usando la regla de Cramer, primero calcularemos el determinante del sistema, que es el determinante de la matriz de los coeficientes. Después calcularemos los determinantes, que se calculan sustituyendo de la matriz de los coeficientes, la columna respectiva x, y z por los términos independientes 17 P á g i n a

18 Teniendo las soluciones: 18 P á g i n a

19 19 P á g i n a

20 CONCLUSIONES Como ya se ha mencionada el lenguaje de programación C++ es muy poderoso y sobretodo es muy útil para nosotros los estudiantes de ingeniería, ya que con el se pueden crear muchas herramientas útiles para la resolución de problemas. Una de las tantas aplicaciones que se pueden crear con el lenguaje C++ es la Variable Matriz, la cual nos servirá para resolver un sistema de n número de ecuaciones con n numero de incógnitas, se podrán realizar desde sumas y restas hasta la denominada matriz inversa, esto utilizando el algebra de matrices y algunos otros procesos matemáticos aprendidos previamente, tales como la reducción Gauss- Jordan. Enfocándonos más hacia lo que es este proyecto y su aplicación práctica se pude decir que sería muy útil para la resolución de problemas ya que acortaría el tiempo de resolución de ecuación u operaciones que en algún momento sean de un desarrollo demasiado largo, así los programas efectuarían todo el trabajo y nos entregaría un resultado directo y confiable. También, esta variable puede servir de base para algunas otras operaciones (como divergencia, rotacional, jacobiano) pero agregando otras herramientas de derivación, con esto se podrían crear los fundamentos para una calculadora, la cual podría además de tener estas variables, otras muy poderosas y útiles (como variable complejo, variable vector). 20 P á g i n a