Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización

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1 TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones: Una pareja adulta de conejos cría una nueva pareja cada mes y, después de dos meses cada pareja se comporta del mismo modo; por tanto, si disponemos de una pareja de conejos inicialmente, F 0 = 1, al cabo de un mes seguiremos teniendo F 1 = 1 pareja. Sin embargo, al cabo de dos meses nuestra pareja de conejos, ya adulta, criará una nueva pareja, luego dispondremos de F = parejas de conejos. En general, para n, en el n-ésimo mes dispondremos de F n = F n 1 + F n parejas de conejos. Es decir, podemos calcular el número de parejas en cada mes si conocemos este número para los dos meses anteriores. Ahora bien, si queremos calcular F 1000, deberemos calcular para ello todos los valores de F n para n < 1000, no es posible calcular F 1000 directamente?, en otras palabras, no es posible obtener una expresión explícita de F n como función de n? Veamos como hacerlo. Nuestra ecuación inicial, F n = F n 1 + F n, con n, puede escribirse como n 1, F n+1 = F n + F n 1. y si añadimos a esta expresión la ecuación (siempre cierta), F n = F n, obtenemos un sistema de ecuaciones F n+1 = F n + F n 1 F n = F n Sea, para cada n 0, u n = [ Fn+1 F n y A = Ahora, matricialmente, nuestro sistema se expresa como Podemos razonar ahora del siguiente modo, n 0, u n+1 = Au n. u 1 = Au 0 u = Au 1 = AAu 0 = A u 0 [ etcétera. En general, por inducción, obtenemos, considerando A 0 = I, n 0, u n = A n u 0. Por tanto, podemos obtener una expresión explícita de u n, y, en consecuencia de F n, sin más que calcular las potencias de A. Aquí resulta útil el siguiente resultado Proposición. 1.1 Sea A M p diagonalizable y P M p regular tal que P 1 AP = D = diag(λ 1,..., λ p ) Entonces, para todo n 0, A n = P D n P 1 = P λ n 1... λ n p P 1. (Considerando D 0 = I).

2 TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA En nuestro caso particular P A (λ) = λ λ 1 y, por tanto, los autovalores de A son: λ 1 = y λ 1 = 1 5 Puesto que los autovalores de A son distintos entre si, A es diagonalizable. Calculando una matriz de paso obtenemos [ [ λ1 λ P = y P λ = 1 1 λ 1 λ 1 λ 1 En consecuencia, tenemos para u 0 = (1, 1), u n = A n u 0 = P [ λ n 1 λ n P 1 [ 1 1 Operando, y teniendo en cuenta que λ 1 λ = 1, λ 1 + λ = 1, resulta [ [ [ Fn+1 λ1 λ u n = = λ n F n λ n λ 1 λ [ 1 λ n+1 1 λ n+1 [ λ 1 1 λ 1 λ λ n 1 λ n = λ λ 1 λ luego ( F n = λn+1 1 λ n+1 = 1 λ 1 λ ) n+1 ( 5 [ 1 λ = 1 + λ 1 [ λ n+ 1 λ n+ λ n+1 1 λ n+1 1 ) n+1 5 Hemos obtenido así una expresión explícita para F n. En el resto de la sección intentaremos generalizar los métodos empleados en este ejemplo particular. Definición. 1. Dados a 1,..., a p R, a p 0, una ecuación en diferencias lineal y homogénea de orden p es una relación de recurrencia del tipo n > p, z n = a 1 z n a p z n p Observemos que una ecuación en diferencias como la de arriba nos permite, dados z 1,..., z p R, definir una sucesión de numeros reales {z n } n N. De manera general, el problema que pretendemos resolver es el siguiente: Dada una ecuación en diferencias: z n = a 1 z n 1 + +a p z n p, y los datos iniciales, z 1,..., z p R, Consideremos, para cada n p, Consideremos ahora la matriz A M p, Cómo calcular z n de manera explícita en función de n? z n = a 1 z n a p z n p z n 1 = z n 1. z n p+1 = z n p+1 A = a 1 a a p 1 a p

3 TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 3 Entonces, si, para cada n p, u n = (z n, z n 1,..., z n p+1 ), tendremos u n = Au n 1. Vemos, por tanto, que para dar una expresión explícita de z n, como función de n, basta dar una expresión explícita de u n, ya que z n es la primera componente de dicho vector. Por inducción en p, podemos probar Proposición. 1.3 El polinomio característico de A es p A (λ) = ( 1) p (λ p a 1 λ p 1 a p ) Definición. 1.4 El polinomio λ p a 1 λ p 1 a p se denomina polinomio característico de la ecuación en diferencias z n = a 1 z n a p z n p. Definición. 1.5 Sea A M p y (u n ) n N una sucesión de vectores de R p definidos por n 1, u n = Au n 1 a partir de cierto vector u 0 R p. Una relación de recurrencia de este tipo se denomina un sistema de ecuaciones en diferencias lineal y homogéneo de orden p. Lema. 1.6 Dada A M p, sea, para cada n 1, u n = Au n 1, con u 0 R p dado. Entonces, n 0, u n = A n u 0. Esto nos permite dar una expresión explícita de u n, como función de n, para cada sistema de ecuaciones en diferencias, lineal y homogéneo, sin mas que calcular la potencias de la matriz de coeficientes A. Sin embargo, caso de ser A diagonalizable podemos encontrar una expresión más útil en la práctica. Teorema. 1.7 Sea A M p diagonalizable y sea u 0 R P. Entonces la solución del sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n 1 con vector incial u 0, es: u n = c 1 λ n 1 x 1 + c λ n x + + c p λ n p x p donde λ 1,..., λ p R son los autovalores de A, x 1,..., x p R p son autovectores l.i. asociados a ellos y (c 1,..., c p ) R p es una solución del S.E.L. siendo P = [x 1... x p M p, regular tal que P c = u 0 P 1 AP = diag(λ 1,..., λ p ). Estabilidad Definición..1 Sea A M p y u n = Au n 1 un sistema de ecuaciones en diferencias. Diremos que la solución {u n }, correspondiente al vector inicial u 0 R P es: 1) Asintóticamente estable, si para cada v 0 R p la solución, {v n }, del sistema correspondiente a v 0, verifica: lim n u n v n = 0.

4 TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 4 ) Estable, si para todo v 0 R p, existe α R tal que la solución, {v n }, correspondiente a v 0, verifica n 0, u n v n α. 3) Inestable, si existe v 0 R p tal que la sucesión { u n v n } no está acotada. Proposición.. La estabilidad de la solución correspondiente a u 0, es equivalente a la estabilidad de la solución nula. Es decir, el tipo de estabilidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones en diferencias es siempre el mismo, dependiendo sólo de la matriz de coeficientes y no del vector inicial. Como consecuencia de esto, un sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n 1 es: 1) Asintóticamente estable, si v 0 R p, lim n An v 0 = 0. ) Estable, si v 0 R p, α R, n 0, A n v 0 α. 3) Inestable, si v 0 R p, { A n v 0 } no está acotada. En el caso diagonalizable tenemos: Teorema..3 Sea A M p diagonalizable. Entonces, el sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n 1 es: 1) Asintóticamente estable, si, para todo autovalor, λ, de A, es λ < 1. ) Estable, si λ 1, para todo autovalor λ de A. 3) Inestable, si existe un autovalor λ de A, con λ > 1. 3 Matrices estocásticas: cadenas de Markov En esta sección veremos un caso particular de sistema de ecuaciones en diferencias, que ofrece una interesante interpretación en términos de probabilidad. Definición. 3.1 Diremos que una matriz A M p, A = (a ij ), es estocástica, o de Markov, si: 1) i, j = 1,..., p, a ij 0. ) j = 1,..., p, p a ij = 1. i=1 Una cadena de Markov es un sistema de ecuaciones en diferencias, u n = Au n 1, cuya matriz de transición, A, es una matriz estocástica. Cada vector u n se denomina vector de estados y cada una de sus componentes, estado. En términos de probabilidad el elemento a ij se interpreta como la probabilidad de pasar del estado j, en el paso n 1, al estado i, en el paso n. Proposición. 3. Sea A = (a ij ) M p tal que, para todo i, j = 1,..., p, a ij 0. Entonces, siendo e = (1,..., 1) R p. Como consecuencia: A es estocástica e t A = e t

5 TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 5 1) Si A, B M p son estocásticas, entonces AB es estocástica. ) Si A es estocástica, entonces A n es estocástica, para todo n. 3) Si A es estocástica, entonces 1 es un valor propio de A. El siguiente teorema resulta útil a la hora de localizar los autovalores de una matriz. Teorema. 3.3 (Gerhgorin) Sea A = (a ij ) M n y sea, para cada i = 1,..., n, p i = Consideremos, para i = 1,..., n, los intervalos, n a ij. j=1 j i I i = {x R : x a ii p i } Entonces, si λ R es un autovalor de A, se tiene λ n I i. Nota. 3.4 Se tiene un resultado similar si utilizamos las columnas de A para definir los p i, ya que los autovalores de A y A t son los mismos. Corolario. 3.5 Si A es una matriz estocástica, entonces todo autovalor λ de A verifica λ 1. En particular, toda cadena de Markov, cuya matriz de transición sea diagonalizable, es estable. Definición. 3.6 Un vector estacionario, de una matriz estocástica A, es un autovector de A asociado al autovalor 1. Teorema. 3.7 Sea A M p una matriz estocástica cuyo único autovalor de módulo 1, es λ = 1. Entonces, si A es diagonalizable, para todo u 0 R p, existe lim n A n u 0, y dicho valor es un vector estacionario. Si, además, λ = 1 es un autovalor simple (de multiplicidad algebraica 1) entonces el límite anterior existe y sólo depende de la suma de las componentes del estado inicial, u 0, elegido. i=1