4 Aplicaciones Lineales

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1 Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1 f( u + v) =f( u)+f( v) para todo u v V 2 f(a u) =af( u) para todo a R yparatodo u V Las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales también son denominadas homomorfismos Proposición 8 Si f es una aplicación lineal, es equivalente a decir que para todo a y b R y para todo u y v V se tiene que: f(a u + b v) =af( u)+bf( v) 42 Matriz asociada a una aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, R Seaf : V W una aplicación lineal, B V = { v 1, v 2,, v n ) una base de V y B W = { w 1, w 2,, w m ) una base de W Elelementof( u 1 ) es un vector de W y por tanto puede escribirse como una combinación lineal de elementos de la base B W : Análogamente: f( u 1 )=a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m f( u i )=a 1i w 1 + a 2i w a mi w m para i =1, 2,,n De este modo podemos construir la siguiente matriz: M B W B V = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm La matriz M B W B V es la matriz de la aplicación f con respecto a las bases B V y B W Si tenemos ahora cualquier otro vector x V, x =(x 1,,, ) BV, a través de la aplicación lineal f se tiene que f( x) =y, donde y W luego y =(y 1,y 2,, y m ) En forma matricial obtenemos la siguiente expresión: y 1 y 2 y m = M B W B V x 1

2 Prof Susana López 42 Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R 3 R 2, cuyas ecuaciones respecto de las bases canónicas de R 3 y R 2 respectivamente viene dadas por: f (x, y, z) =(2x y + z, 3x z) Calculamos la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de las bases R 3 y R 2 Para ello calculamos las imágenes de los vectores de la base canónica de R 3 : f (1, 0, 0) = (2, 3) f (0, 1, 0) = ( 1, 0) f (0, 0, 1) = (1, 1) de manera que la matriz asociada a la bases canónicas de R 3 y R 2 viene dada por: µ M R2 R = Queremos calcular la imagen del vector v =(3, 3, 1) cuyas coordenadas están dadas respecto de la base canónica utilizando la matriz asociada a la aplicación lineal µ f (3, 3, 1) = 3 µ 3 4 = Propiedades de las aplicaciones lineales Aplicación lineal suma Dadas dos aplicaciones lineales f : V W y g : V W definimos las aplicación lineal suma f + g : V W como: (f + g)( v) =f ( v)+g ( v) Si A y B son las matrices asociadas a la aplicaciones lineales f y g respectivamente respecto de las bases B V de V y B W de W, entonces la matriz asociada a la aplicación suma f + g viene dada por la matriz A y B Producto de una aplicación lineal por un escalar Dada la aplicación lineal f : V W definimoselproductodeunescalarλ R por la aplicación lineal λf : V W como: (λf)( v) =λf ( v) Si A es la matriz asociada a la aplicación lineal f : V W, la matriz λa es la matriz asociada a λf : V W Composición de aplicaciones lineales Dadas dos aplicaciones f : V W y g : W X se define la aplicación f compuesto con g, (g f) :V X como: (g f)( v) =g (f ( v)) Si A y B son las matrices asociadas a la aplicaciones lineales f y g respectivamente respecto de las bases B V de V, B W de W y B X de X entonces la matriz asociada a la aplicación composición viene dada por BA: (g f)( v) =g (f ( v)) = g (A v) =BA v

3 Prof Susana López 43 Aplicación inversa Dada la aplicación lineal f : V V diremos que f posee una aplicación inversa si existe una aplicación lineal f 1 : V V tal que f 1 f ( v) = v f f 1 ( v) = v Una aplicación lineal tendrá una aplicación inversa si la matriz A asociada a f : V V es invertible, en ese caso la matriz asociada a f 1 : V V será A 1 44 Núcleo e imagen de una aplicación lineal Definición 24 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W es inyectiva si para todo x e y V con x 6= y se tiene que f(x) 6= f(y) Cuandof es inyectiva la aplicación lineal también se denomina MONOMORFISMO Definición 25 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W es sobreyectiva o suprayectiva si para todo w W existe un elemento v V con f(v) =w Cuando f es sobreyectiva la aplicación lineal también se denomina EPIMORFISMO Definición 26 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W es BIYECTIVA si es inyectiva y sobreyectiva a la vez Cuando f es biyectiva la aplicación lineal también se denomina ISOMORFISMO En el caso particular de que los espacios vectoriales de origen y llegada sean iguales, V = W la aplicación lineal también se denomina ENDOMORFISMO, y si además el endomorfismo es biyectivo entonces se denomina AUTOMORFISMO Otro caso particular de aplicación lineal es el caso donde W = R, elcuerpodelosnúmeros reales, en ese caso la aplicación lineal se denomina FORMA LINEAL Definición 27 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W, f : V W, definimos el núcleo o kernel de la aplicación lineal como el conjunto de todos aquellos v V tales que f(v) =0Esdecir: N(f) =Ker(f) ={v V f(v) =0} Observar que el Ker(f) nunca es vacío ya que 0 Ker(f) Proposición 9 Si f : V W es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y W, entonces Ker(f) es un subespacio vectorial de V Proposición 10 Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si Ker(f) ={0} Definición 28 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W, f : V W, definimos el subconjunto imagen de la aplicación lineal como el conjunto de todos aquellos w W para los cuales existe un vector v V tal que f(v) =w Esdecir: img(f) ={w W existe v V f(v) =w}

4 Prof Susana López 44 Proposición 11 Si f : V W es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y W, entonces img(f) es un subespacio vectorial de W Proposición 12 Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si img(f) =W Teorema 3 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W, f : V W, si V es de dimensión finita entonces: dim(ker(f)) + dim(img(f)) = dim(v ) Definición 29 Definimos el rango, rang(f) de una aplicación lineal f como el rango de la matriz asociada la aplicación lineal Del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado: a f es inyectiva si y sólo si rang(f) =dim(v ) b f es sobreyectiva si y sólo si rang(f) =dim(w ) c dim (img (f)) = rang (f) Diremos que dos espacios vectoriales cualesquiera son isomorfos si podemos encontrar un isomorfismo entre ellos Para que esto ocurra entre espacios vectoriales de dimensión finita la dimensión de ambos debe ser la misma Teorema 4 Dado cualquier número natural cualquiera n todos los espacios vectoriales de dimensión n sobre un mismo cuerpo son isomorfos 45 Cambio de base para aplicaciones lineales Supongamos que tenemos dos bases de un espacio vectorial V B C = { e 1, e 2,, e n } base canónica B 1 = { u 1, u 2,, u n } Dado cualquier vector w V lo podemos expresar como una combinación lineal de cada una de las bases: x 1 e 1 + e e n = w = x 0 1 u 1 + x 0 2 u x 0 n u n (1) donde (x 1,,, ) son las coordenadas de w en la base B C y (x 0 1,x 0 2,, x 0 n) son las coordenadas de w en la base B 1 Sabemos además que: u 1 = u 11 e 1 + u 21 e u n1 e n u 2 = u 12 e 1 + u 22 e u n2 e n u n = u 1n e 1 + u 2n e u nn e n

5 Prof Susana López 45 donde Esto último se puede expresar en forma matricial como: u 11 u 12 u 1n u 21 u 22 u 2n u1 u 2 u n = e1 e 2 e n u n1 u n2 u nn U = u 11 u 12 u 1n u 21 u 22 u 2n u n1 u n2 u nn (1) puede escribirse matricialmente como: x 1 e1 e 2 e n = w = u 1 u 2 u n x 0 1 x 0 2 x 0 n (2) pero a través de (2) tenemos que x 1 e1 e 2 e n = e 1 e 2 e n u 11 u 12 u 1n u 21 u 22 u 2n u n1 u n2 u nn x 0 1 x 0 2 x 0 n luego tenemos entonces que x 1 = u 11 u 12 u 1n u 21 u 22 u 2n u n1 u n2 u nn x 0 1 x 0 2 x 0 n (3) es decir, U es la matriz que nos permite pasar coordenadas de la base B 1 a coordenadas de la base canónica B C U = C B C B 1 Atravésde(3) también vemos que U 1 = CB B1 C nos permite pasar coordenadas de la base canónica B C a coordenadas de la base B 1 Supongamos ahora que tenemos dos bases ninguna de las cuales es la canónica B 1 = { u 1, u 2,, u n } B 2 = { v 1, v 2,, v n } al igual que antes tenemos ahora que la matriz V = C B C B 2 nos permiten pasar de B 2 alacanónica B C y V 1 = C B 2 B C nos permite pasar de la canónica a la base B 2

6 Prof Susana López 46 Supongamos que las coordenadas de un vector w en la base B 1 son (x 1,,, ) yqueremos saber cuáles son sus coordenadas en la base B 2, (x 0 1,x 0 2,, x 0 n) Por lo visto anteriormente tenemos que para pasar de la base B 1 alacanónicahayquemultiplicarporu, de este modo tenemos que x 1 U son las coordenadas de w en la base canónica Ahora para pasar de la canónica a B 2 tenemos que multiplicar por (V 1 ), de este modo tenemos que x 1 x 0 1 x 0 2 V 1 U = Acabamos de probar de este modo que la matriz que permite pasar de coordenadas de B 1 acoordenadasdeb 2 es, V 1 U = C B 2 B C C B C B 1 Si queremos pasar de B 2 a B 1 es simplemente multiplicar por la inversa (V 1 U) 1 = U 1 V = C B 1 B C C B C B 2 : x 1 = U 1 V Veamos a continuación como realizar un cambio de base cuando trabajamos con aplicaciones lineales Sea f una aplicación lineal que va del espacio vectorial V al espacio vectorial W SeaB V 1 una base de V, B W 1 una base de W y M B W 1 B V 1 la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de las bases B V 1 y B W 1 Consideremos a continuación otras dos bases de ambos espacios vectoriales, B V 2 base de V y B W 2 base de W En este caso la matriz asociada a la aplicación lineal será M B W 2 B V 2 Queremos saber la relación que existe entre ambas matrices Sea C B V 1 B V 2 matriz de cambio de base de B V 2 a B V 1 y C B W 1 B W 2 la matriz de cambio de base de B W 2 a B W 1, de manera que la relación entre las matrices asociadas a la aplicación lineal según la base considerada es la siguiente: x 0 n x 0 1 x 0 2 x 0 n M B W 2 B V 2 =(C B W 1 B W 2 ) 1 M B W 1 B V 1 C B V 1 B V 2 (relacionar matrices con aplicaciones lineales)

7 Prof Susana López EJERCICIOS: 1 Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: (a) f(x, y, z) =(x + y, z) sol si (b) f(x, y) =(x + y, 0) sol si (c) f(x, y) =(x, y +2) sol no µ 1 (d) f : M 2 2 (R) M 2 1 (R) f(a) =AB donde B = 1 sol si (e) f : M 2 2 (R) M 2 2 (R), f(a) =A + B donde B M 2 2 es fija sol no (f) f : M 2 2 (R) M 2 2 (R), f(a) =AB BA donde B M 2 2 es fija sol si (g) f : P n (x) P n (x), f(p(x)) = p(x +1) sol si (h) f : P n (x) P n (x), f(p(x)) = p(x)+1 sol no 2 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W Demostrar lassiguientesproposiciones: (a) La imagen del elemento neutro de V mediante f es el elemento neutro de W,es decir, f( 0 V )= 0 W (b) La imagen mediante F del opuesto de un elemento v V es el opuesto de f( v), es decir, f( v) = f( v) (c) La imagen mediante f de cualquier subespacio de V es un subespacio vectorial de W (d) La imagen mediante una aplicación lineal de un subespacio vectorial de dimensión k es un subespacio vectorial de dimensión no superior a k (e) Sea B = e 1, e 2,, e n una base del espacio vectorial V y sean w 1, w 2,, w n, n vectores cualesquiera del espacio vectorial W En estas condiciones, existe una única aplicación lineal f de V a W tal que: f( e j )= w j,j =1, 2,, n 3 Comprobar si son aplicaciones lineales las siguientes funciones y en caso afirmativo calcular el núcleo y la imagen: (a) f : R 2 R, dadaporf(x, y) =2x 5y (b) f : R 2 R 3,dadaporf(x, y) =(y, x, x + y) (c) f : R 4 R 3,dadaporf(x, y, z, t) =(x y + z, t, x + y z + t) (d) f : R R 4,dadaporf(x) =(x, 1, 2x, x) 4 Sea f : R 3 R 3 dada por f(x, y, z) =(x + y, z, x + z) Encontrar la matriz de f con respecto a la base canónica Hallar la imagen mediante f de los siguientes subespacios vectoriales de R 3

8 Prof Susana López 48 (a) V 1 = {(x, y, z) R 3 x + y + z =0} (b) V 2 = {(x, y, 0) x, y R} (c) V 3 = {(x, y, z) =t(1, 1, 1) t R} En cada caso indicar la dimensión del subespacio y la dimensión de su imagen mediante f 5 Sea la aplicación lineal f : R 3 R 2 definida como f(x, y, z) =(x y, x + z) (a) Probar que f es una aplicación lineal (b) Determinar las ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen (c) Encontrar una base del núcleo y otra de la imagen (d) Comprobar que se verifica el teorema de la dimensión núcleo-imagen (e) Clasificar f 6 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida por: Calcular: f(e 1 )=3e 1 2e 2 + e 3, f(e 2 )=e 1 + e 2, f(e 3 )=2e 1 3e 2 + e 3 (a) Matriz de la aplicación lineal (b) Ecuaciones de f (c) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen 7 Dadas las aplicaciones f : R 2 R 2 y g : R 2 R 2,definidas por f(x, y) =(x + y, x) y g(x, y) =(2x, 3x y), calcular las expresiones algebráicas y matriciales de g f, f g y f + g µ Sea la matriz de una aplicación lineal de R en R 2 Calcular: (a) Expresión algebráica de f (b) f( 1, 2, 3) (c) Estudiar si existe algún vector (x, y, z) cuya imagen sea el vector (1, 1) (d) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen (e) Comprobar que se verifica el teorema núcleo-imagen (f) Clasificar f (g) Calcular la matriz de f respecto de las bases: B = {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 1)}de R 3 B 0 = {(1, 0), (1, 1)}de R 2

9 Prof Susana López 49 9 Dada la aplicación lineal f : R 3 R 3 cuya matriz respecto de la base canónica de R 3 es α 2 2 Clasificar f según los distintos valores de α y β 6 3 β 10 Demostrar que si S = { x 1,,, } son linealmente independientes, entonces {f( x 1 ), f( ),, f( )} son linealmente independientes si y sólo si f es inyectiva 11 Describir el núcleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas: µ 1 (a) M B : M 2 2 M 2 2 donde M B (A) =AB con B = 1 (b) La aplicación derivación de P n (x) en P n 1 (x) 12 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida por f(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 u 2 +2u 3,u 1 +3u 2 ) y las bases B 1 = {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)} y B 2 = {( 2, 1), (1, 1)} de R 3 y R 2 respectivamente Calcular: (a) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R 3 y R 2 (b) Matriz asociada a f respecto de la base B 1 de R 3 y la canónica de R 2 (c) Matriz asociada a f respecto de la base canónica de R 3 ylabaseb 2 de R 2 (d) Matriz asociada a f respecto de la base B 1 de R 3 ylabaseb 2 de R 2 13 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida por f(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 u 2 + u 3, 4u 2 u 3,u 1 + u 2 +5u 3 ) B = {(1, 2, 1), (3, 1, 0), ( 1, 3, 1)} base de R 3 y el vector v R 3 de coordenadas (-1,1,1) en la base B Calcular: (a) Las coordenadas del vector f( v) (b) Las coordenadas de f( v) respecto de la base B 14 Sea f : R 2 R 4 la aplicación lineal tal que f(3, 5) = (1, 1, 1, 1) Calcular: f( 1, 2) = (2, 1, 0, 2) (a) Hallar la expresión de la aplicación f, es decir, dado un vector v R 2 determinar f( v)

10 Prof Susana López 50 (b) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R 2 y R 4 (c) Determinar el subespacio imagen de la aplicación lineal f y su dimensión 15 Sea la aplicación f definida por: f( u 1 )=f(1, 0, 0) = (1, 2) f( u 2 )=f(1, 1, 0) = (1, 1) f( u 3 )=f(1, 1, 1) = (0, 2) DondeseconsideralasiguientebasedeR 3, B R 3 = { u 1, u 2, u 3 } Hallar: (a) Matriz asociada a f respecto de las bases B R 3 y la canónica de R 2 (b) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R 3 y R 2 16 Se define una aplicación f por: f( e 1 )=f(1, 0) = (1, 2, 0, 1) f( e 2 )=f(0, 1) = (0, 1, 1, 0) Sabiendo que las coordenadas de f( e 1 ) y f( e 2 ) están referidas a la base B R 4 = { v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 =(1, 1, 0, 0), v 3 =(1, 1, 1, 0), v 4 =(1, 1, 1, 1)} Calcular: (a) Matriz asociada a f referida a la base canónica de R 2 y B R 4 (b) Matriz asociada a f referida a las bases canónicas de R 2 y R 4 (c) f(1, 2) en las canónicas de R 2 y R 4 µ Sea la matriz de una aplicación lineal de R en R 2 Calcular: (a) Expresión algebráica de f (b) f( 1, 2, 3) (c) Estudiar si existe algún vector (x, y, z) cuya imagen sea el vector (1, 1) (d) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen (e) Clasificar f (f) Calcular la matriz de f respecto de las bases: B = {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 1)} B 0 = {(1, 0), (1, 1)} 18 Dada la aplicación lineal f : R 3 R 3 dada por sus ecuaciones: Calcular: f(x, y, z) =(z y, 2x 2z,y x)

11 Prof Susana López 51 (a) Matriz asociada respecto de las base canónica de R 3 (b) Transformado del vector (1,0,-2) (c) Calcular el núcleo y la imagen de f 19 Sean las aplicaciones f : R 4 R 2, f(x, y, z, t) =(x + y, z + t) y g : R 2 R 3, g(x, y) = (2x, 2y, x + y) Calcular si es posible las matrices asociadas a las aplicaciones (f g) y (g f) referidas a las bases canónicas 20 Sea la aplicación f definida por: f( u 1 )=f(1, 0, 0) = (1, 2) f( u 2 )=f(1, 1, 0) = (1, 1) f( u 3 )=f(1, 1, 1) = (0, 2) DondeseconsideralasiguientebasedeR 3, B R 3 = { u 1, u 2, u 3 } Hallar: (a) Matriz asociada a f respecto de las bases B R 3 y la canónica de R 3 (b) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R 3 y R 2 21 Se define una aplicación f por: f( e 1 )=f(1, 0) = (1, 2, 0, 1) f( e 2 )=f(0, 1) = (0, 1, 1, 0) Sabiendo que las coordenadas de f( e 1 ) y f( e 2 ) están referidas a la base B R 4 = { v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 =(1, 1, 0, 0), v 3 =(1, 1, 1, 0), v 4 =(1, 1, 1, 1)} Calcular: (a) Matriz asociada a f referida a la base canónica de R 2 y B R 4 (b) Matriz asociada a f referida a las bases canónicas de R 2 y R 4 (c) Matriz asociada a f referidaalabaseb R 2 = { w 1 =(1, 1), w 2 =(2, 1)} de R 2 y B R 4 (d) Matriz asociada a f referidaalabaseb R 2 y a la canónica de R 4 (e) f(1, 2) en B R 2 y la canónica de R 4 (f) f(1, 2) en B R 2 y B R 4 22 Clasificar el endomorfismo f(x, y, z) =(2x, 4x y, 2x +3y z) Encontrar las ecuaciones algebráicas de f 1, f 2 y f 2 en los casos que sea posible 23 La empresa IMAGE DEVELOPMENT COMPANY, IDC, fabrica en su planta de Zaragoza tres tipos de televisores: de 14, 21 y 25 pulgadas Los almacenes principales se encuentran en Madrid, Barcelona, Vigo y Sevilla Las ventas durante el año 1996 de almacéndemadridsecifraronen400,100y 500 televisores de 14, 21 y 25 pulgadas respectivamente; las del almacén de Barcelona en 300, 150 y 400; las del almacén de Vigo en 100, 100 y 200 y las del almacén de Sevilla en 200, 150 y 300 Los precios de venta de los televisores en 1996 fueron de ptas para los de 14 pulgadas, de ptas para los de 20 pulgadas y ptas para los de 25 pulgadas Se pide:

12 Prof Susana López 52 (a) Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4 3 (b) Expresar mediante un vector x columna el precio de cada tipo de televisor (c) Interpreta el significado de A x

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