Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. José de Jesús Angel Angel.

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1 Transformaciones Lineales Definiciones básicas de Transformaciones Lineales wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido 1 Transformaciones Lineales 11 Núcleo e imagen 1 Representación matricial de una transformación lineal 4 11 Ejemplos de transformaciones lineales: 6 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 9 Valores y Vectores Propios 15 1 Diagonalización de una matriz 17

3 1 Transformaciones Lineales Definición 1 Sean V, W espacios vectoriales, una transformación lineal L es una función L : V W, tal que: 1 L(u + v = L(u + L(v L(kv = kl(u Proposición 1 Sea L : V W, una transformación lineal, entonces L(0 = 0

4 11 Núcleo e imagen Demostración: Sea L una transformación lineal entonces, L(0 = L(v v = L(v L(v = 0 Corolario 1 Sea L : V W, una transformación, si L(0 0, entonces T no es lineal 11 Núcleo e imagen Definición Sea L : V W, una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores v V tales que L(v = 0, se llama Kernel o núcleo de L Definición Sea L : V W, una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores w W tales que existe un v V y L(v = w, se llama imagen de L Proposición Sea L : V W, una transformación lineal, entonces el kernel de L es un subespacio vectorial de W Proposición Sea L : V W, una transformación lineal, entonces L es inyectiva (uno a uno si y sólo si ker(l = {0} Demostración: Sea L una transformación lineal entonces, y sean v 1, v tales que T (v 1 = T (v, entonces T (v 1 T (v = 0, o sea T (v 1 v = 0, lo que implica que v 1 v = 0, es decir v 1 = v Así T es inyectiva Definición 4 Sea L : V W, una transformación lineal, entonces el rango de L es la dimensión de la imagen de L Definición 5 Sea L : V W, una transformación lineal, entonces la nulidad de L es la dimensión del núcleo de L

5 1 Representación matricial de una transformación lineal 4 T: x,y x, y Figura 11: Transformación reflexión sobre el eje x Proposición 4 Sea L : V W, una transformación lineal, entonces nulidad(l + rango(l = dim(v Proposición 5 Sea L : V W, una transformación lineal, entonces 1 Si L es uno a uno, entonces es sobre Si L es sobre, entonces es uno a uno 1 Representación matricial de una transformación lineal Definición 6 Sea L : R n R n, una transformación lineal, definido por la matriz A, como L(x = Ax

6 1 Representación matricial de una transformación lineal 5 T: x,y y,x Figura 1: Transformación rotación de 90 ( y, x T: x,y x, y Figura 1: Transformación ( x, y

7 1 Representación matricial de una transformación lineal 6 T: x,y x,y Figura 14: Transformación ( x, y 11 Ejemplos de transformaciones lineales: 1 Son lineales las siguientes transformaciones? a L(x, y = (x + 1, y, x + y b L(x, y, z = (x + y, y, x z c L(x, y = (x + x, y y d L(x, y, z = (x y, x, z e L(x, y, z = (x y, y z, z f L(x, y = (x y, x + g L(x, y, z = (x + y, 0, x z h L(x, y = (x y, x + y i L(x, y = (x y, 0, x + Encontrar la imagen del punto P, baja la transformación L

8 1 Representación matricial de una transformación lineal 7 T: x,y y,x Figura 15: Transformación (y, x T: x,y y, x Figura 16: Transformación ( y, x

9 1 Representación matricial de una transformación lineal 8 T: x,y x,y Figura 17: Transformación (x, y a L(x, y = (x, y, P = (, b L(x, y, z = (x, y z, P = (, 1, Verificar si el punto indicado esta en la imagen de la transformación L a L(x, y, z = (x + z, y + z, x + y + z, (1, 1, 0, (, 1, b L(x, y, z = ( x + y, x + y + z, x y + z, (1,, 1, (1,, 4 Sea L : R R una transformación lineal tal que L(i = (,, L(j = ( 1, Determinar L(4, 5 Sea L : R R una transformación lineal tal que L(i = (1,, 1, L(j = (1, 0,, L(k = (1, 1, Determinar L(, 1, 6 Determinar los vectores x tal ques que L(x = 0, para las transformaciones lineales anteriores ( Cos(ϕ Sen(ϕ 7 Sea T : R R la transformación lineal dada por L(u = Au, donde A = Sen(ϕ Cos(ϕ Para ϕ = 0, L define una rotación de 0 en el sentido contrario de las manecillas de reloj a Si T 1 (u = A u describir la acción de T 1 en u b Si T (u = A 1 u describir la acción de T en u c Cual es menor valor de k tal que T (u = A k u = u 8 Determine las coordenadas de la imagen del punto P = (5, bajo transformación rotación 0

10 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 9 9 Determinar la transformación inversa de la rotación del ejercicio 7 10 Encontrar las siguientes imagenes de los siguientes puntos bajo los respectivos ángulos a P = (,, θ = 90 b P = (, 1, θ = 0 c P = (1,, θ = 45 d P = ( 5,, θ = 180 e P = (, 1, θ = 60 f P = (,, θ = 0 11 Determinar la ecuación que satisfacen el conjunto de imagenes del lugar x + y = r bajo la rotación con un ángulo θ 1 1 Determinar si la siguiente matriz es una rotación: A = 1 1 Probar que la multiplicación de matrices de rotación es cerrada, y conmutativa 14 Probar que la distancia entre dos puntos es invariante bajo la rotación 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación ( La matriz 0 1 respecto al eje y ( 1 0 La matriz 0 1 respecto al eje x ( 0 1 La matriz 1 0 respecto al la recta y = x ( La matriz 1 0 reflexión respecto al la recta y = x, mapea los puntos (x, y a los puntos ( x, y lo que significa una reflexión, mapea los puntos (x, y a los puntos (x, y lo que significa una reflexión, mapea los puntos (x, y a los puntos (y, x lo que significa una reflexión, mapea los puntos (x, y a los puntos ( y, x lo que significa una 5 El producto de cualquiera de estas reflexiones es una rotación 6 Observe que el determinante de cualquiera de estas reflexiones es 1

11 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 10 l P 0 Figura 18: P antes de la reflexión 7 Observe también que: ( 0 1 = 1 0 ( 0 1 = 1 0 ( ( De los ejemplos anteriores se puede deducir que otros tipos de matrices reflexión existen y mapean al plano a otro plano como un espejo respecto a una línea l, se puede mostrar que son iguales a T 1 RT donde T es una matriz transformación que mapea la línea l sobre el eje x, R es la transformación reflexión respecto al eje x Ejemplo: Determinar la matriz de reflexión F que mapea cada punto (x, y del plano a su imagen de espejo respecto a la línea y = x Determinar la imagen del punto P = (, 1

12 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 11 l 0 P Figura 19: P después de T P l 0 Figura 110: P después de R

13 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 1 P l 0 Figura 111: P después de T 1 Una rotación de 0 mapea la línea y = x sobre el eje y Tal rotación se representa por la matriz: T = 1 1 cuya inversa es: T 1 = 1 1 La matriz reflexión del plano respecto el eje y es R = ( Por lo tanto F = T 1 RT = 1 1 (

14 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 1 y x P 0, P,1 0 Figura 11: P P Esto es: F = T 1 RT = 1 La imagen de P bajo F es: 1 1 ( = 1 1 ( 0

15 1 Reflexión, Dilatación y Magnificación 14 1 A es no singular x = 0 es la única solución del sistema Ax = 0 A es equivalente por filas a I n 4 El sistema Ax = b tiene una única solución 5 det(a 0 6 A tiene rango n 7 A tiene nulidad 0 8 Las filas de A forman un conjunto linealmente independiente en R n 9 El operador L : R n R n definido por L(x = Ax, es uno a uno y sobre Definición 7 Sea L : V V, una transformación lineal, la transformación lineal L 1 es la inversa de L, si L(L 1 = I

16 Valores y Vectores Propios Definición 8 Sea A una matriz n n, y L la transformación lineal dada por L(x = Ax, entonces un valor propio de A es un número real λ y un vector x 0 tal que: El vector x se llama vector propio de A Ax = λx Proposición 6 Una matriz A n n, es no invertible (singular si y sólo si 0 es un valor propio de A Encontrar los valores y vectores propios de las siguientes matrices

17 Valores y Vectores Propios 16 ( 1 A = vp = 4,, V p = (1,, (, 1 ( 7 5 A = 8 10 vp = 15,, V p = (5, 8, ( 1, 1 ( 4 6 A = 1 1 vp = 5,, V p = (6, 1, ( 1, 1 ( A = 9 8 vp = 17, 1, V p = ( 1, 1, (7, 9 ( A = 4 1 vp = 8, 5, V p = ( 9, 4, (1, 1 ( 10 6 A = 7 10 vp = 11, 11, V p = ( 1, 7, (, 1 ( 0 7 A = 10 1 vp = 6, 5, V p = (1,, (, 5 ( A = 1 7 vp = 6,, V p = (1, 1, (5, 1 ( A = 6 10 vp = 1,, V p = ( 1,, (, 1 ( 7 10 A = 6 10 vp = 1, 4, V p = ( 1,, (1, 1 ( 1 11 A = 5 8 vp = 7,, V p = ( 1, 5, ( 1, 1 ( A = 11 6 vp = 5, 1, V p = ( 1, 1, ( 5, 11

18 1 Diagonalización de una matriz 17 ( A = 7 8 vp = 14, 1, V p = ( 6, 7, (, 1 ( 0 14 A = 1 6 vp = 7, + 7, V p = ( + 7, 1, ( 7, 1 ( A = 4 6 vp =,, V p = ( + 16 A = ( 5 5, 1, (, 1 vp = 1 6, 1 + 6, V p = ( + 1 ( 1 6, 1, ( + 1 ( 1 + 6, 1 ( A = 9 7 vp = 85, 85, V p = ( , 1, ( Diagonalización de una matriz 85 9, 1 Definición 9 Sea A = (a ij una matriz n n El determinante de la matriz det(λi n A le llamaremos el polinomio característico de A Teorema 1 Teorema de Cayley-Hamilton: La matriz A es cero de su polinomio característico Si A = ( 1 4, calcular A 5 usando el teorema de Cayley-Hamilton Proposición 7 Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico de A Definición 10 Se dice que una matriz B es semejante o similar a una matriz A, si existe una matriz no singular (invertible P, tal que: B = P 1 AP

19 1 Diagonalización de una matriz 18 Definición 11 Se dice que una matriz B diagonalizable si es similar a una matriz diagonal Proposición 8 Las matrices similares tienes los mismos valores propios Proposición 9 Una matriz A n n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes Proposición 10 Si todas las raíces del polinomio característico de una matriz A n n, son distintas, entonces A es diagonalizable De ejercicios anteriores sabemos que: ( 1 A = vp = 4,, V p = (1,, (, 1 ( 1 Si ponemos a P = 1, podemos verificar que P 1 AP = ( Sea A = 1 1 1, verificar si: a Si λ = 1, es un valor propio de A y (1, 0, 1 es el vector propio asociado b Si λ =, es un valor propio de A y (,, es el vector propio asociado c Si λ = 4, es un valor propio de A y (8, 5, es el vector propio asociado Determinar los polinomios característicos de las siguientes matrices 1 1 a A = b A = c A = 1 1

20 1 Diagonalización de una matriz 19 Determinar si la matriz dada es diagonalizable ( 1 4 a A = 1 ( 1 0 b A = 1 ( c A = 5 1 d A = Determinar si es posible una matriz no singular P tal que P 1 AP sea diagonal ( 0 1 a A = b A = c A = d A = e A =