VECTORES COORDENADOS (R n )

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1 VECTORES COORDENADOS (R n ) Cómo puede ser representado un número Real? Un número real puede ser representado como: Un punto de una línea recta. Una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano Una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Existen interpretaciones útiles para representar cada una de estas anotaciones. Por ejemplo: 1) Solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas,

2 2) Sistema de Coordenadas en Dos Dimensiones R 2 3) Sistema de Coordenadas en Tres Dimensiones R 3

3 Vectores en R 2 y R 3 Sabemos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La frase vector se refiere a los elementos de cualquier espacio R n. Cuando se tiene que: R 1 = R el vector es un punto, que llamado escalar. R 2 el vector es de la forma (x 1, x 2 ) R 3 el vector es de la forma (x 1, x 2, x 3 ). En R 2 : DEFINICIÓN 1: Suma de dos Vectores Sean y, vectores en R 2, entonces se tiene que: Representación Grafica:

4 A la suma de dos parejas ordenadas, se le puede asociar el vector fijo que tiene por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY. DEFINICIÓN 2. Multiplicación por un Escalar Sea α Є R y, un vector en R 2 entonces:, En R 3 : Espacio Vectorial DEFINICIÓN 3. Suma de Vectores Sean x, y Є R 3, entonces: x + y = (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ). DEFINICIÓN 4. Producto Escalar Sea α Є R y a un vector en R 3, entonces: αa = α(a 1, a 2, a 3 ) = (α a 1, α a 2, αa 3 ) Definición 5. Producto Interno de dos Vectores Sean a y b vectores en R n, tal que: a = (x 1, x 2, x 3,, x n ) y b = (y 1, y 2, y 3,, y n ). Se define el producto interno de x y y representado por. al escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:..... Los vectores y es igual a cero. se llaman ortogonales si su producto interno

5 Definición 6. Longitud ó Norma de un Vector Sea a = (x 1, x 2, x 3,, x n ) un vector en R n, la longitud o norma del vector, representada de la forma x ó x, se define como la raíz cuadrada no negativa de: Notas: 1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección. 2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: a+ b a + b. Definición 6. Angulo entre dos vectores.. Definición 7. Distancia entre dos Puntos Sean A y B vectores en R 3, donde A = (x 1, y 1, z 1 ) y B= (x 2, y 2, z 2 ). La distancia entre a y b representada por dab está de finida por:! " " # "#

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