1. Cambios de base en R n.

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1 er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos.. Cambios de base en R n. Sea B = fv ; ; v n g una base de R n. Sabemos que cada vector x R n puede escribirse de manera única como combinación lineal de los elementos de dicha base x = v + + n v n El vector cuyas entradas son ; ; n se llama vector de coordenadas de x en la base B y se representa por (x) B. Para escribir la igualdad anterior en forma matricial, llamamos P = [v ; ; v n ] y (x) B = [ ; ; n ] T y tenemos la igualdad x = P (x) B Las coordenadas funcionan como los códigos, cambian cuando cambia la base a la que están referidos. Por ejemplo, si estamos en R y tenemos la base B = fv = [; ] T ; v = [; ] T g y nombramos el dato (x) B = [ ; ] T, no nos estamos re riendo al vector [ ; ] T sino al vector x = v + v = [; ] T. Lógicamente, para reconstruir el vector x a partir de sus coordenadas hemos necesitado conocer la base fv ; v g, por eso se habla siempre de coordenadas respecto de una base y a las bases se las conoce también como sistemas de referencia. Las igualdades que relacionan coordenadas en distintas bases se llaman ecuaciones de cambio de base. Hay que señalar que si x = [x ; ; x n ] T entonces x se puede escribir de manera natural como combinación lineal de la base canónica x x =. 5 = x x n. 5 = x e + + x n e n x n Observamos que las coordenadas del vector x en la base canónica coincide con sus entradas o componentes. Si (x) C denota las coordenadas de x en la base canónica entonces, es obvio que, x = (x) c. Por esta razón la igualdad x = P (x) B es una relación de cambio de base entre la base B y la base canónica. Por lo tanto, escribimos (x) C = P (x) B. Una matriz A puede considerarse simplemente como cajas de números ordenados en las y columnas o como dispositivos (entrada/salida) que funcionan asignando al vector x el producto Ax (in) x! A! y = Ax (out) Esta manera de ver a las matrices es fundamental en la teoría pues permite estudiar y clasi car las matrices viendo el efecto geométrico-algebraico que producen en las guras que forman los vectores de entrada cuando pasan a través del dispositivo (o sistema) y se transforman en los vectores de salida. Si vemos la relación de cambio de base x = P (x) B de esta manera (in) (x) B! P! x = (x) C = P (x) B (out) Observamos que P transforma coordenadas en la base B en coordenadas en la base canónica. Por esta razón la matriz P se llama matriz de cambio de base de la base B a la base canónica. Para denotar esta dirección de cambio se usa la notación P = P B!C

2 Las matrices de cambio de base en R n son invertibles (son cuadradas y tienen columnas linealmente independientes). Por lo tanto, si (x) C = P (x) B entonces (x) B = P (x) C Ejemplo Consideremos en R la base B = fv = [; ] T ; v = [; ] T g Calcule la matriz P C!B. Sea V el subespacio de ecuación implícita x + x = (x ; x son las entradas del vector o coordenadas en la base canónica). Calcule la ecuación implícita que han de veri car las coordenadas en la base B de los vectores de V. Solución Sea la matriz P = [v ; v ] = Entonces el cambio de base entre B y la base canónica viene dado por (x) C = x = P (x) B. Queremos calcular P C!B, es decir, una matriz que al multiplicar a (x) C nos dé como resultado (x) B. Por lo tanto (x) C = P (x) B ) P (x) C = (x) B ) P C!B = P = = Para la segunda parte del ejercicio escribimos la ecuación implícita de V en forma matricial x x + x = ) Ax = ; donde A = [; ] y x =. Como la relación de cambio de base es x = P (x) B, sustituyendo en la ecuación Ax = se tiene que AP (x) B =. Si denotamos las coordenadas en B como (x) B = [, ] entonces AP (x) B = ) [; ] = ) x = ) =. Por lo tanto, la condición que tienen que veri car las coordenadas de un vector para estar en V es =. A partir de la fórmula de cambio de base entre una base cualquiera y la base canónica se puede deducir una fórmula de cambio de base entre dos bases cualesquiera (pero conocidas). Cambio de base entre dos bases cualesquiera conocidas. Si B = fu ; ; u n g y B = fv ; ; v n g son dos bases de R n y consideramos las matrices P = [u ; ; u n ] y Q = [v ; ; v n ] entonces x = P (x) B y x = Q(x) B y se veri ca que P (x) B = Q(x) B La anterior igualdad puede utilizarse para relacionar las coordenadas de x en B con las coordenadas de x en B. De ella se deducen también las matrices de cambio de base (sin más que despejar el vector que interese en cada momento) Q P (x) B = (x) B ) P B!B = Q P y P Q(x) B = (x) B ) P B!B = P Q. Cambio de base entre dos bases cualesquiera, no necesariamente conocidas. Veamos la fórmula de cambio de base entre dos bases cualesquiera, no necesariamente conocidas, de las que se conocen las coordenadas de los vectores de una base en función de la otra base.

3 Si B = fu ; ; u n g y B = fv ; ; v n g son dos bases de R n de manera que los valores concretos de dichos vectores son desconocidos. Supongamos que conocemos las coordenadas de los vectores de B en la base B, es decir, nos dan el dato P = [(v ) B ; ; (v n ) B ] Entonces la relación de cambio de base es es decir, (x) B = P (x) B ; P = [(v ) B ; ; (v n ) B ] = P B!B En la sección siguiente demostraremos esta última relación de cambio de base.. Aplicaciones Lineales de R n en R m. De nición Una aplicación f R n! R m se dice que es lineal si f (v + v ) = f (v ) + f(v ), para todo, R y para todo v, v R n... Aplicaciones Lineales y Matrices. Las matrices siempre de nen aplicaciones lineales (es obvio a partir de las propiedades del producto de matrices) f R n! R m x! Ax Recíprocamente, toda aplicación lineal es la actuación de una (única) matriz. En efecto, si descomponemos un vector como combinación lineal de los vectores de la base canónica x x =. 5 = x x n. 5 = x e + + x n e n x n entonces, por la linealidad de f se tiene que f (x) = f (x e + + x n e n ) = x f (e ) + + x n f(e n ) = [f (e ); ; f(e n )] {z } =A x. x n 5 = Ax Vemos que la matriz asociada a la aplicación tiene por columnas las imágenes de los elementos de la base canónica. Propiedad Una aplicación lineal queda determinada si se conocen las imágenes de los elementos de cualquier base (del espacio de partida). Prueba Para demostrarlo, sea B = fu ; ; u n g una base de R n y supongamos conocidas sus imágenes B = [f (u ) ; ; f (u n )] = [Au ; ; Au n ] {z } es un dato Sea P = [u ; ; u n ], sabemos que esta matriz es invertible, entonces A = A[u ; ; u n ][u ; ; u n ] = [Au ; ; Au n ][u ; ; u n ] = BP

4 En muchos ejercicios es más sencillo despejar directamente los vectores ff (e ); ; f(e n )g (veasé los ejercicios resueltos más adelante ). Ejercicio La aplicación que a cada vector de R n le hace corresponder las coordenadas de dicho vector en una base pre jada es una aplicación lineal f R n! R m x! (x) B Solución Supongamos que la base es B = fu ; ; u n g y formamos la matriz P = [u ; ; u n ]. Hemos visto que x = P (x) B. Por lo tanto, la aplicación que a cada vector de R n le hace corresponder las coordenadas de dicho vector en la base B es una aplicación lineal ya que viene dada por una matriz, ésta es concretamente P. En la siguiente propiedad, usaremos el ejercicio anterior para demostrar la relación de cambio de base que quedó pendiente en la sección anterior. Propiedad Supongamos que B = fu ; ; u n g y B = fv ; ; v n g son dos bases de R n de manera que los valores concretos de dichos vectores son desconocidos. Supongamos que conocemos las coordenadas de los vectores de B en la base B, o sea nos dan el dato P = [(v ) B ; ; (v n ) B ] Supongamos que (x) B = [ ; ; n ] T. Eso signi ca que x = v + + n v n Si aplicamos la linealidad de la aplicación coordenadas en B "tenemos que las coordenadas de una combinación lineal será la combinación lineal de las coordenadas, es decir (x) B = (v ) B + + n (v n ) B Aplicando que el producto de una matriz por una columna de números es una combinación lineal de las columnas de la matriz y los coe cientes de dicha combinación lineal son las componentes del vector", se tiene que (x) B = [(v ) B ; ; (v n ) B ].. n 5 = P (x) B.. Propiedades de las aplicaciones lineales. Propiedad Una aplicación lineal siempre transforma en. Es obvio pues f() = A =. Propiedad Las aplicaciones lineales transforman subespacios vectoriales en subespacios vectoriales. Prueba Sea V un subespacio vectorial de R n, generado por una base B = fv ; ; v k g. Si V = fg no tiene base, en este caso es obvio que f(v ) = fg. Si V = fg y tomamos v V entonces existirán escalares tales que v = v + + k v k. Por la linealidad de f se tiene que f(v) = f( v + + k v k ) = f(v ) + + k f(v k ) Es decir, la imagen del subespacio V está generada por los vectores ff(v ); ; f(v k )g

5 Nota Cabe señalar que dichos vectores no tienen porqué ser una base de f (V ) Por ejemplo, si A = ; ] T g es un plano y se transforma en el sube- entonces el subespacio generado por los vectores f[; ; ] T ; [; spacio generado por f[; ] T ; [; ] T g; que es una recta. De niciones Los subespacios más importantes asociados a una aplicación lineal son el núcleo y la imagen. El núcleo está formado por todos los vectores que van al cero N(f) = fx f(x) = g Por lo tanto, el núcleo de f es lo mismo que el núcleo de la matriz de f. La imagen son todos los vectores que son imagen de alguien Im(f) = ff(x) x R n g Por lo tanto, la imagen es lo mismo que el espacio columna (o rango) de la matriz de f. También es cierto que Im(f) = f(r n ). Una aplicación que transforma vectores distintos en vectores distintos se dice que es inyectiva. Esto equivale a decir que f es inyectiva si cumple la condición f (x) = f (y) ) x = y. Propiedad Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si tiene núcleo cero. Prueba Supongamos que la aplicación lineal es inyectiva. Si f(x) = entonces (como es lineal) se tiene que f() = ; por lo tanto f(x) = f() ) x =. Luego N(f) es fg. Recíprocamente, si tiene núcleo cero y f (x) = f (y) entonces, como f es aplicación lineal, Luego f es inyectiva = f (x) f (y) = f (x y) ) x y N(f) ) x y = ) x = y Propiedad Antes hemos observado que una aplicación lineal f no tiene porqué transformar una base en otra base. Pues bien, si N(f) = fg entonces transforma un sistema linealmente independiente (base de V ) en otro linealmente independiente (base de f(v )) Por consiguiente, una aplicación lineal con núcleo cero transforma un subespacio en otro con la misma dimensión. Este hecho es consecuencia de la siguiente propiedad. Propiedad 5 Si V es un espacio vectorial y f es una aplicación lineal entonces se veri ca que dim (f(v )) = dim(v ) dim(v \ N(f)). Prueba Para demostrar dicha igualdad nos damos cuenta de que V \ N(f) es un subespacio de V. Usando ampliaciones de base podemos construir una base de V a partir de una base de V \ N(f) 8 9 >< >= > fv ; ; v k g ; fv k+ ; ; v m g {z } {z } >; base de V \N(f) ampliación 5

6 Es obvio que dicha base se transforma en f; f(v k+ ); ; f(v m )g, que son generadores de f(v ). Además, es fácil ver que ff(v k+ ); ; f(v m )g son linealmente independientes, ya que k+ f(v k+ ) + + m f(v m ) = ) (f es lineal) f( k+v k+ + + m v m ) = y, por tanto, k+ v k+ + + m v m N(f) (y a V ). Observemos que dicho vector no puede estar en la ampliación a menos que sea cero. Si k+ v k+ + + m v m = entonces todos los escalares son cero pues fv k+ ; ; v m g son linealmente independientes. Si contamos los vectores obtenemos la fórmula... Propiedades del rango de una matriz.. El rango de un producto no puede superar el rango de ninguno de los factores, es decir, r(ab) r(a) y r(ab) r(b) Esto es cierto porque un vector de R(AB) es siempre de la forma ABx De ese modo, es de la forma Av con v = Bx y, por lo tanto, está en R(A). Es decir, R(AB) R(A) y, por tanto, su dimensión será menor o igual. La otra desigualdad se puede deducir de la anterior (para ello léase rango(producto)rango(primera)) usando la traspuesta r(ab) = r((ab) T ) = r(b T A T ) r(b T ) = r(b).. Si A tiene columnas independientes (en particular, si A es invertible) entonces r(ab) = r(b). Esto es fácil de ver a partir de la propiedad anterior, pues si una matriz tiene columnas independientes entonces tiene núcleo fg y, por tanto, transforma un subespacio (R(B)) en otro que tiene la misma dimensión (R(AB)).. Si B tiene las independientes (en particular, si B es invertible) entonces r(ab) = r(a). Para demostrar esto basta aplicar la propiedad anterior y las propiedades de la traspuesta (si B tiene las independientes entonces B T tiene columnas independientes)... Cambios de base en aplicaciones lineales. Antes hemos visto que un vector queda caracterizado por sus coordenadas en una base. Se plantea en esta sección calcular la matriz de una aplicación lineal cuando los datos de entrada y salida vienen determinados, no por sus valores, sino por sus coordenadas en ciertas bases. Consideremos una aplicación lineal f R n! R m x! y = Ax y sean B = fu ; ; u n g y B = fv ; ; v m g dos bases de R n y R m, respectivamente. Consideramos las matrices P = [u ; ; u n ] y Q = [v ; ; v m ] entonces y = Ax x = P (x) B y = Q(y) B 9 = ; ) Q(y) B = AP (x) B ) (y) B = Q AP (x) B La matriz Q AP se llama matriz de la aplicación lineal f en las bases B y B. Con esta nomenclatura la matriz A resulta ser la matriz de f en las bases canónicas (pues en ese caso P y Q son la identidad de orden n y m respectivamente).

7 Por otro lado, la matriz de la aplicación lineal f en las bases B y B también puede determinarse de otra manera. Para ello partimos de que un vector x R n se puede escribir como combinación lineal de la base B mediante sus coordenadas (x) B =. n 5, x = u + + n u n Aplicando la linealidad de f obtenemos que f (x) = f(u ) + + n f(u n ).Si aplicamos la linealidad de las coordenadas obtenemos que (f (x)) B = (f(u )) B + + n (f(u n )) B escribiendo dicha combinación lineal en forma matricial se tiene (f (x)) B = (f(u )) B ; ; (f(u n )) B. n 5 = (f(u )) B ; ; (f(u n )) B (x)b Eso quiere decir que la matriz Q AP que hemos calculado anteriormente coincide con (f(u )) B ; ; (f(u n )) B Los ejercicios que hay en la relación de problemas sobre cambios de base en aplicaciones lineales se resuelven aplicando directamente las fórmulas obtenidas..5. Ejercicios Resueltos. Ejercicio. De una matriz A se sabe que es y que para v = [; ; ; ] T, los valores de A n v, para n = ; ; ; son Av = [; ; ; ] T ; A v = [; ; ; ] T ; A v = [; ; ; ] T ; A v = [; ; ; ] T. Comprueba que los vectores v; Av; A v; A v son linealmente independientes.. Calcula A.. Sea f(x) = Ax, calcula la matriz de f en la base B = fv; Av; A v; A vg Solución Sabemos que una aplicación lineal queda determinada conociendo las imágenes de los elementos de una base (cuatro vectores independientes en R son una base). Por lo tanto, del apartado se deduce que A queda determinada con los datos que da el problema 8 f(v) = Av; >< f(av) = A v = A(Av); f(a > v) = A v = A(A v); f(a v) = A v = A(A v). Los vectores son independientes porque al aplicar el método de Gauss obtenemos cuatro pivotes 5! Gauss

8 . Si colocamos las imágenes en una matriz B y la base en una matriz P, sabemos que la matriz A es BP. Otra forma de calcular A es despejar de los datos que nos dan, los vectores f (e ), f (e ),... No siempre es fácil, pero en este caso sí lo es. Para ello renombramos los vectores de la manera habitual v = u Av = u A v = u A v = u 9 >= 8 ><! >; > v = f(u ) = f (e + e + e + e ) = f(e ) + f(e ) + f(e ) + f(e ) v = f(u ) = f (e e + e e ) = f(e ) f(e ) + f(e ) f(e ) v = f(u ) = f (e e ) = f(e ) f(e ) v = f(u ) = f (e e ) = f(e ) f(e ) Sumando la primera y la segunda ecuación nos queda f(e ) + f(e ) = v + v Si sumamos esto a la tercera ecuación (multiplicada por dos) nos queda f(e ) = v + v + v ) f(e ) = Restando la primera la segunda ecuación nos queda f(e ) + f(e ) = v v Si sumamos esto a la cuarta ecuación (multiplicada por dos) nos queda f(e ) = v v + v ) f(e ) = Los dos vectores que faltan se despejan de las dos últimas ecuaciones f(e ) = f(e ) v = 5 5 = f(e ) = f(e ) v = 5 5 = Para comprobar el resultado vemos que, efectivamente, Au i = v i, i = ; ; ; 5 5 =. Sea f(x) = Ax, calcula la matriz de f en la base B = fv; Av; A v; A vg. La matriz de f en B es B = [(f(v)) B ; (f(av)) B ; (f(a v)) B ; (f(a v)) B ] = [(Av) B ; (A v) B ; (A v) B ; (A v) B ] 8

9 Calculemos las coordenadas de cada uno de estos vectores respecto de la base B f(v) = Av = v + Av + A v + A v f(av) = A v = v + Av + A v + A v f(a v) = A v = v + Av + A v + A v f(a v) = A v = v + Av + A v + A v Vamos a obtener las coordenadas de f(a v) = A v respecto de la base B A v = 5 = que equivale a resolver el sistema de ecuaciones 5 = cuya solución es Por tanto, la matriz de f en B es B = 5 = = 5= = 5 = 5= = Ejercicio +. Sea G el subespacio de R G x + x = ; x x + x =. Halla A, la matriz de una aplicación lineal f R! R tal que si u G? entonces f(u) = u; [; ; ; ] T N (f) ; n n oo G? + Gen [; ; ; ] T? N (f). Halla la imagen por f del subespacio G? + N (f).. Calcula A n v para v un vector genérico de R Solución 9

10 . Una aplicación lineal f R! R queda determinada sabiendo la imagen de cuatro vectores de R linealmente independientes. Examinemos los datos para ver si tenemos eso. En primer lugar, observamos que G tiene dimensión y que su ortogonal, que está generado por los coe cientes de las ecuaciones de G, también tiene dimensión Luego ya conocemos la imagen de dos vectores independientes f( En segundo lugar, cabe esperar que los otros dos datos den dos vectores independientes cuyas imágenes son conocidas, ya que valen cero por estar en el núcleo. n n oo G? + Gen [; ; ; ] T?. La suma se genera juntando gener- Calculamos primero las ecuaciones de adores 8 >< G? + Gen > 5 ) = 5, f( 5 ) = 9 8 >= >< 5 = Gen >; > Calculamos las ecuaciones implícitas de G? + Gen n[; o ; ; ] T x x x x 5! Gauss 9 >= >; x x x x x x x + x + x n n oo Luego G? + Gen [; ; ; ] T? está generado por el vector [; ; ; ] T. La matriz de la aplicación lineal se calcula mediante la expresión A = BP = 5 5 o bien despejando las imágenes de los vectores de la base canónica con los datos que tenemos. Hacemos esto último. El sistema que tenemos que resolver es 8 >< donde v = [; ; ; ] T y v = [; ; ; ] T. > f(e ) + f(e ) = v ; f(e ) f(e ) + f(e ) = v ; f(e ) + f(e ) = ; f(e ) f(e ) + f(e ) + f(e ) = ; Para resolver el sistema podemos trabajar algebraicamente con las ecuaciones, como se hizo en el ejercicio anterior, o bien se puede aplicar el método de eliminación gaussiana considerando como incógnitas a los vectores f(e ), f(e ), f(e ), f(e ), y los términos independientes son también vectores. Esto es válido porque las propiedades algebraicas de las operaciones del espacio vectorial coinciden con las propiedades de las operaciones entre números v v 5! Gauss v v v + v v + v

11 Si despejamos en las ecuaciones obtenidas vamos obteniendo los vectores f(e ) = ( v + v ) = f(e ) = v + f(e ) f(e ) = f(e ) = v v + f(e ) = f(e ) = v f(e ) = Por lo tanto, la matriz de f es A =. En las notas teóricas hemos comentado cómo se calcula la imagen de un subespacio los transformados de un sistema de generadores de V generan el subespacio transformado f(v ). En este caso sabemos cuales son los generadores de G? + N (f) los generadores de G? junto con los generadores de N (f). También sabemos cuáles son las imágenes de cada uno de ellos los de N(f) van al cero y los de G? van a sí mismos. Por lo tanto, deducimos que f G? + N (f) = G?. En este ejemplo particular, el problema de calcular A n v la respuesta es sencilla si nos damos cuenta de que juntando las bases respectivas de los subespacios G? y N (f) formamos una base de R (gracias a eso la aplicación lineal ha quedado determinada). Supongamos que fv ; v g es la base de G? y que fv ; v g es la base de N (f). Luego un vector v R siempre se podrá escribir de la forma v = v + v + v + v Como sabemos los transformados de todos los vectores de G? y de N (f) Av = f(v) = f(v ) + f(v ) + f(v ) + f(v ) = v + v Si a este vector le volvemos a aplicar f el resultado es A v y por el mismo razonamiento es v + v. En general, se ve que A n v = Av; para todo v R Ejercicio. Sea la aplicación lineal f R! R tal que f((; ; ) T ) = (8; ; ; ) T ; f((; ; ) T ) = (; ; ; ) T ; f((; ; ) T ) = (; ; ; ) T. Halla la matriz de f. Cuál es el transformado de (; ; ) T?. Determina N(f).. Determina Im(f).. Existe algún x = [x ; x ; x ] T R tal que f(x) = [y ; y ; y ; y ] T con y =? En caso a rmativo, determínelos.

12 5. Calcule una matriz R de la forma R = r r r r r r 5 tal que Ry = x, para todo x, y que veri quen la ecuación y = f (x). (Observe que A y R veri carán RA = I, pero no se puede calcular R invirtiendo A porque A no es cuadrada). Solución. Como en todos los ejercicios anteriores se puede calcular la matriz de f obteniendo las imágenes de los vectores de la base canónica. También podemos calcular la matriz BP 8 A = BP = = = 8. Puede resolverse el sistema Ax = o bien esperar a resolver el apartado siguiente. El motivo es que la nulidad más el rango es el número de columnas. Por lo tanto, si el rango es tres, que es lo que sucede en este problema, deducimos que el núcleo es cero sin hacer operaciones.. El rango (o imagen) está generado por las columnas de A (también por las de B piénselo). El problema de calcular las ecuaciones implícitas de un subespacio a partir de un sistema de generadores debe ser ya conocido de temas anteriores. Si se lleva a cabo se obtiene la ecuación implícita y y + y y =.. La respuesta es mucho más sencilla si la pregunta se reformula de la siguiente manera y el vector y y 5 Im (f)? y Como hemos calculado la ecuación de Im (f) en el apartado anterior, sólo tenemos que sustituir Vemos que la respuesta es sí, para todo y R. y y + y ( y ) = 5. Tal y como dice el enunciado, la matriz R hay que calcularla imponiendo que Ry = x, para todo y = f(x). Si tomamos como valores de f (x) los datos del problema r 8 r r r 5 5 = 5 r r

13 se obtienen más ecuaciones (nueve) que incógnitas (cuatro). Seleccionamos cuatro ecuaciones que determinen las cuatro incógnitas 8 >< > 8r + r = r r = r r = r = ) r =, r =, r =, r =. Y ya sólo nos queda comprobar que las cinco ecuaciones que no hemos tenido en cuenta se veri can para los valores que hemos calculado. Lo que hemos comprobado es que RB = P. Por lo tanto, R(BP ) = I. Como A = BP, tenemos que RA = I Como f(x) = x, para todo x, tenemos que Rf(x) = RAx = Ix = x; para todo x. Ejercicio 9. Consideremos los siguientes subespacios de R V x x = x + x + x = W = Genf 5 g. Determina V + W y V \ W.. Sea f R! R la aplicación lineal que veri ca Calcula f (e ) y f (e ) y la matriz de f. N(f) = V f (e ) = (; ; ; ) T f (e ) = (; ; ; ) T. Demuestra que Im(f) = W (hay un error en la relación de problemas).. Quién es f (V + W )? Quién es f (V \ W )? Razone su respuesta. 5. Puede encontrar dos subespacios E y F para los cuales f (E \ F ) no sea igual a f (E) \ f(f )? Solución. La suma V + W se calcula juntando generadores y la intersección V \ W se calcula juntando ecuaciones. Calculemos una base de V!! base de V = fv Gauss = [; ; ; ] T ; [; ; ; ] T g Calculemos ecuaciones implícitas de W x x x 5! Gauss x x x + x x x x x x 5! ecuaciones de W x x = ; x x x = Juntamos la base de V con la de W y reducimos para quedarnos con los vectores linealmente independientes 5! Gauss

14 Luego una base de V + W es 8> < > Unas ecuaciones de V + W se calculan x x x 5! Gauss x x x + x x x x x x 9 >= >; 5! ecuaciones de V + W fx x = g Con la fórmula de las dimensiones ya sabemos que V \ W tiene dimensión. Juntamos las ecuaciones de V y W y lo calculamos 5! Gauss 5! base de V \ W = f[ ; ; ; ]T g. Con los datos que nos da el problema conocemos f (e ) ; f (e ) y como e nos ha salido en el apartado anterior en V y nos dicen que V = N(f), pues también conocemos f (e ). Del otro generador de V podemos deducir f (e ) f C 5A = ) f (e ) f (e ) + f (e ) = ) f (e ) = f (e ) + f (e ) = Luego la matriz es A =. La imagen está generada por las columnas de A. Como el núcleo (es V ) tiene dimensión sabemos que la imagen tiene dimensión (luego ya sé que la imagen estará generada por las dos primeras columnas de A). Calculamos sus ecuaciones x x x x 5! Gauss x x x x x x x 5! ecuaciones de Im(f) x x = ; x x x = Podemos observar que los generadores de W veri can las ecuaciones de Im(f), por lo tanto W Im(f) y como tienen ambos la misma dimensión tienen que ser iguales.. Se calculan las imágenes de los tres generadores de V + W y eso genera f (V + W ). La solución es f (V + W ) = Genf[ ; ; ; ] T g El problema lo que pregunta es si sabemos cosas acerca de f (V + W ) sin hacer cálculos Sabemos que un espacio se transforma en otro que tiene la misma dimensión menos la del corte con el núcleo. En este caso, el núcleo es V y como V + W tiene dimensión tres, sabemos que f (V + W ) tiene dimensión uno. Otra cosa que sabemos (para cualquier f lineal) es que f (V + W ) = f(v ) + f(w )

15 Eso es inmediato de demostrar porque V + W = fv + w v V, w W g En este caso, tenemos que V = N(f) luego f (V + W ) = f(w ). Por otro lado, la imagen de la intersección también se puede calcular directamente transformando el único generador de V \ W. La solución es el vector nulo y por lo tanto f (V \ W ) = fg. Eso ya se sabía sin cuentas porque V \ W V = N(f). 5. En general, f (E \ F ) no es igual a f(e) \ f(f ). Siempre se tiene una contención si v E \ F entonces v E y v F, por lo tanto f(v) f(e) \ f(f ). Es decir, f (E \ F ) f(e) \ f(f ). Un ejemplo de que la otra contención no es cierta en general puede ser el siguiente. Tomamos v un vector del núcleo y w otro vector que no esté en el núcleo y consideramos el plano generado por esos dos vectores. La intersección de ese plano con el núcleo tiene que tener dimensión uno (por descarte de las demás posibilidades que son cero y dos). Eso signi ca que podemos tomar w y w, dos vectores independientes en dicho plano y que no estén en el núcleo (imagine un plano con una recta dentro, lo que estamos diciendo es que podemos tomar dos vectores que formen un ángulo y ninguno de ellos en la recta). De nimos E = Genfw g y F = Genfw g. Es obvio que E \ F es la intersección de dos rectas que sólo se cortan en el cero. Por otro lado E + F es el plano y su imagen tiene que tener dimensión uno (es una recta), porque se cumple la fórmula dim (f(v )) = dim(v ) dim(v \ N(f)) = Luego f (E) y f(f ) son dos rectas (porque w y w no pertenecen al núcleo) que están obligadas a estar dentro de la misma recta (o sea, que son la misma). Piense que E y F están dentro de E + F y por lo tanto f(e) y f(f ) f(e + F ) que es una recta. Por lo tanto, f(e) \ f(f ) es una recta. Este ejemplo vale para cualquier f que tenga núcleo (como la de nuestro ejercicio). Si quiere una visualización de la idea anterior piense en una proyección ortogonal sobre el suelo OXY. El núcleo es el eje OZ Tome dos vectores independientes fuera de OZ, pero que formen un plano con OZ. Esos dos vectores se proyectan en el suelo en dos vectores que pertenecen a la misma recta. Se plantea a los alumnos pensar si la igualdad es cierta cuando N(f) = fg 5