Tema 3. Aplicaciones lineales Introducción

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1 Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones lineales) entre los espacios vectoriales. En el caso de que nuestro espacio vectorial sea K 1 = K, una aplicación lineal no es otra cosa que una función de la forma f : K K dada por f(x) = a x (es decir, multiplicar por un escalar a K y su representación gráfica es muy simple, una recta que pasa por el origen. Cuando el espacio es R 2 o R 3, las aplicaciones lineales transforman de forma lineal ciertas figuras, por este motivo a las aplicaciones lineales también se les conoce como transformaciones lineales. Veamos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Veamos cómo se transforma linealmente una figura en el plano. Consideremos la casa la casa dibujada en la portada del libro Introduction to Linear Algebra, de Gilbert Strang. La casa viene definida en R 2 por las coordenadas ( 6, 7), ( 6, 2), ( 7, 1), (7, 1), (0, 8), (6, 7), (6, 2), (0, 2), (0, 7), ( 3, 7) y ( 3, 2), 15

2 16 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES Supongamos que queremos hacerla más ancha y más baja. Una forma de hacerlo es, por ejemplo, multiplicando el eje X por 2 y el eje Y por 1. 2 La manera más sencilla de realizar esta transformación, ( es multiplicando ) las coordenadas y los puntos de las líneas que las unen por la matriz 2 0. Así, obtenemos nuevas coordenadas y líneas. Gráficamente tenemos la siguiente casa: 0 1 2

3 3.2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES 17 Fijaros que seguimos reconociendo la casa pero transformada; los valores en el eje X se han duplicado y los del eje Y se han reducido a la mitad. Además, las líneas que unen las coordenadas se han transformado también en líneas. Estos son algunos de los motivos por los cuales la transformación es lineal. Hay transformaciones lineales mucho más extrañas. La casa la podemos girar, estirar, deformar, etc. Por ejemplo, Esta transformación, ( ) en los ejercicios lo veremos con detalle, resulta de multiplicar 0 0,5 por la matriz. 1,1 0,3 Por último, observad que hay transformaciones del plano que no son lineales. Por ejemplo, una transformación que transforma una línea entre dos puntos en una catenaria, no es lineal Aplicaciones lineales y matrices Una vez que hemos visto en el ejemplo anterior el significado geométrico de una aplicación lineal, pasamos ahora a dar el concepto general. Aparentemente dicho concepto no guarda relación alguna con lo que acabamos de decir, pero poco después veremos que ambos conceptos (el que damos a continuación, y el de transformación geométrica de una figura) son en realidad el mismo. Damos esta definición porque nos va a facilitar el comprobar si, al darnos la expresión de una aplicación, ésta es lineal o no. Definición Una aplicación f : K n K m se dice lineal si verifica

4 18 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES a) f(v + w) = f(v) + f(w), v, w K n. b) f(r v) = r f(v), v K n, r K Ejemplo La aplicación f : R 3 R 2 dada por la fórmula f(x, y, z) = (x+y, y +z) es lineal, ya que si a, b R son dos escalares cualesquiera y (x, y, z), (x, y, z ) R 3 son dos vectores arbitrarios, tenemos por un lado que y por otro que f(a(x, y, z) + b(x, y, z )) = f((ax, ay, az) + (bx, by, bz )) = f(ax + bx, ay + by, az + bz ) = (ax + bx + ay + by, ay + by + az + bz ) af(x, y, z) + bf(x, y, z ) = a(x + y, y + z) + b(x + y, y + z ) = (a(x + y), a(y + z)) + (b(x + y ), b(y + z )) = (ax + ay, ay + az) + (bx + by, by + bz ) = (ax + ay + bx + by, ay + az + by + bz ), es decir, f(a(x, y, z) + b(x, y, z )) = af(x, y, z) + bf(x, y, z ). Sin embargo la aplicación f : R 3 R 2 dada por la fórmula f(x, y, z) = (x+y, y+z+1) NO es lineal ya que f(a(x, y, z) + b(x, y, z )) = (ax + bx + ay + by, ay + by + az + bz + 1) y af(x, y, z) + bf(x, y, z ) = (ax + ay, ay + az + 1) + (bx + by, by + bz + 1) = (ax + ay + bx + by, ay + az + by + bz + 2), y obviamente por lo que ay + by + az + bz + 1 ay + az + by + bz + 2, f(a(x, y, z) + b(x, y, z )) af(x, y, z) + bf(x, y, z ). Proposición Sea f : K n K m lineal y supongamos que tanto en K n como en K m se considera la base canónica. Entonces existe una matriz M CK nc K m(f) = M(f) de forma que si v tiene coordenadas v = (t 1,...,t n ), entonces las coordenadas de f(v) son M(f) v t. Además, las columnas de dicha matriz son las coordenadas de f(1, 0,...,0),...,f(0, 0,...,1).

5 3.2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES 19 Demostración. Sean: f(1, 0,...,0) = a 11 a 21 a m1,...,f(0, 0,...,1) = a 1n a 2n a mn Dado un vector v = (x 1,...,x n ) = x 1 (1, 0,...,0) + + x n (0, 0,...,1), como f es lineal se tiene que: f(v) = f(x 1,...,x n ) = f(x 1 (1, 0,...,0) + + x n (0, 0,...,1)) = x 1 f(1, 0,...,0) + + x n f(0, 0,...,1) a 11 a 1n = x 1 a x a 2n n a m1 a mn = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn tal que la matriz M(f) viene dada por M(f) = x 1 x 2 x n, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn Resumen: Hasta este punto, nos pueden dar una aplicación lineal f : K n K m de tres formas: mediante una fórmula. Ejemplo: f(x, y, z, t) = (3x 2y z, z t,t, 0) representa a una aplicación lineal f : R 4 R 4. Mediante una matriz A M m n (K). Es decir, A = M CK n,c K m(f). Ejemplo A = 2 3 M CR 3,C R 2(f) = 2 1 representa una aplicación lineal f : R 3 R /4 Dando las imágenes de los vectores de la base canónica de K n. Ejemplo: { f(1, 0) = ( 1, 3, 4) f(0, 1) = (3, 0, 0)

6 20 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES define una aplicación lineal f : R 2 R 3. Es muy importante saber pasar de una forma a otra dependiendo del ejercicio que estemos haciendo Operaciones con aplicaciones lineales Definición ) Sean f, g : K n K m lineales. Se llama f + g : K n K m a la aplicación definida por (f + g)(v) = f(v) + g(v). 2) Sea f : K n K m lineal, r K. Llamaremos r f : K n K m a la aplicación definida por (r f)(v) = r f(v). 3) Sean f : K n K m, g : K r K r lineales. Llamaremos composición de f y g, g f : K n K r, a la aplicación definida por g f(v) = g(f(v)). La siguiente proposición indica que todas estas aplicaciones vienen definidas por matrices y por lo tanto son lineales. Proposición ) Sean f, g : K n K m lineales, entonces M(f +g) = M(f)+M(g). 2) Sea f : K n K m lineal, r K. Entonces M(r f) = r M(f). 3) Sean f : K n K m, f : K m K r lineales. Entonces M(g f) = M(g) M(f). Demostración. 1) y 2) son inmediatas. 3) Si v V, entonces f(v) = M(f) v, por lo que g(f(v)) = M(g) f(v) = M(g) M(f) v. Por tanto, M(g f) = M(g) M(f) Matrices asociadas a otras bases En la primera sección tan sólo hemos considerado la base canónica. La siguiente proposición nos da la matriz que define la función si consideramos bases arbitrarias, tanto en el espacio de partida como en el de llegada. Proposición Sea f : K n K m lineal, y sean B = {v 1,...,v n } y B bases de K n y K m. Entonces existe una matriz M BB (f) de forma que si v tiene coordenadas v = (t 1,...,t n ) B respecto a la base B, entonces las coordenadas de f(v) B respecto a B son M(f) v t B. Además, las columnas de dicha matriz son las coordenadas de f(v 1),...,f(v n ) respecto la base B. Demostración. Sean f(v 1 ) B = a 11 a 21 a m1,...,f(v n) B = a 1n a 2n a mn

7 3.4. MATRICES ASOCIADAS A OTRAS BASES 21 Dado un vector v = (x 1,...,x n ) B = x 1 v x n v n, como f es lineal, se tiene que x 1 f(v) B = x 2 = f((x 1,...,x n ) B ) x m B = f(x 1 v x n v n ) = x 1 f(v 1 ) B + + x n f(v n ) B = x 1 = a 11 a 21 a m1 + + x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn x 1 x 2 x n B Observad que al igual que pasaba con coordenadas canónicas, tendremos: 1. Si f, g : K n K m lineales, entonces M BB (f + g) = M BB (f) + M BB (g). 2. Sea f : K n K m lineal, r K. Entonces M BB (r f) = r M BB (f). 3. Sean f : K n K m, g : K m K r lineales y cogemos bases B, B y B de K n, K m y K r. Entonces M BB (g f) = M B B (g) M BB (f). A la hora de calcular M BB (f), si seguimos el método dado por la demostración de la proposición 3.4.1, tendríamos que calcular las coordenadas de cada f(v i ) respecto la base B, lo cual implica la resolución de n sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo Calculemos la matriz de la aplicación lineal f : R 4 R 3 dada por respecto a las bases y f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z, x + 2z + t) B = {(1, 2, 3, 2), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (1, 2, 0, 3)} B = {(1, 1, 2), (1, 3, 6), (0, 1, 0)} de R 4 y R 3 respectivamente. Para calcular la matriz asociada a la aplicación lineal respecto a las bases referidas debemos calcular la imagen de cada vector de B mediante la aplicación f, y expresar dichas imágenes respecto a la base B.

8 22 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES f(1, 2, 3, 2) = ( , 2 + 3, ) = (6, 5, 9). Ahora expresamos (6, 5, 9) respecto a la base B: (6, 5, 9) = a(1, 1, 2) + b(1, 3, 6) + c(0, 1, 0) = (a + b, a + 3b + c, 2a + 6b) de donde obtenemos el SEL a + b = 6 a + 3b + c = 5 2a + 6b = 9, cuya solución es a = 27/4, b = 3/4 y c = 1/2. Por tanto la primera columna de M B,B (f) es 27/4 3/4. 1/2 Hacemos lo mismo con los tres vectores restantes de B. f(1, 1, 1, 1) = (3, 2, 4) = (a + b, a + 3b + c, 2a + 6b). Obtenemos el sistema a + b = 3 a + 3b + c = 2 2a + 6b = 4, cuya solución es a = 7/2, b = 1/2 y c = 0. f(1, 0, 0, 3) = (1, 0, 4) = (a + b, a + 3b + c, 2a + 6b). Obtenemos el sistema a + b = 1 a + 3b + c = 0 2a + 6b = 4, cuya solución es a = 1/2, b = 1/2 y c = 2. f(1, 2, 0, 3) = (3, 2, 4) = (a + b, a + 3b + c, 2a + 6b). Obtenemos el sistema a + b = 3 a + 3b + c = 2 2a + 6b = 4 cuya solución es a = 7/2, b = 1/2 y c = 0. Así pues, la matriz M B,B (f) es M B,B (f) =, 27/4 7/2 1/2 7/2 3/4 1/2 1/2 1/2 1/ ,

9 3.5. APLICACIONES LINEALES Y SUBESPACIOS 23 y, por tanto, dado un vector v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) B, la ecuación matricial de la aplicación lineal es x x 1 27/4 7/2 1/2 7/2 1 f(v) B = x 2 B = 3/4 1/2 1/2 1/2 x 2 x x 3 1/ x 4 B En la sección 3.7 encontraremos un método más sencillo para calcular M BB (f). Las mismas definiciones y resultados se aplican a aplicaciones lineales sobre otros espacios vectoriales Aplicaciones lineales y subespacios Como ya hemos visto, las aplicaciones lineales transforman vectores de un espacio en vectores de otro espacio. Pero, qué sucede cuando en una aplicación lineal nos restringimos sólo a vectores de un subespacio?. Parece lógico pensar que los vectores de un subespacio se transformen mediante la aplicación lineal en vectores de otro subespacio. En ese caso, cómo podemos calcular dicho subespacio?. Estas cuestiones son las que abordaremos en esta Sección. Definición Sea f una aplicación lineal f : V W y W 1, W 2 subespacios de V y W respectivamente. Llamaremos f(w 1 ) = {f(v)/v W 1 } f 1 (W 2 ) = {v V / f(v) W 2 } Así definimos la imagen de f y el núcleo de f como: Imagen de f: Im(f) = f(k n ) = {f(v)/v V }, Núcleo de f, ker(f) = f 1 (0) = {v V/f(v) = 0}. Proposición f(w 1 ), Im(f) son subespacios de W y f 1 (W 2 ), ker(f) son subespacios de V. Definición Llamaremos rango de f a ran(f) = dim K (Im(f)) Cómo calcular bases de Im(f) y de ker(f) Sea A la matriz asociada a la aplicación f respecto las bases canónicas. La imagen de f no es más que el subespacio generado por las imágenes de la base canónica, es decir, Im(f) =< f(e 1 ),...,f(e n ) >

10 24 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES Así, para calcular una base de este subespacio, se considera la matriz que tiene como filas f(e i ), es decir, A t, se calcula su forma reducida por filas y las filas no nulas nos dan una base de Im(f): 1. Cálculo A t 2. Cálculo la forma escalonada por filas de A t Análogamente, ker(f) es el conjunto de soluciones de la ecuación Ax = 0. Por ello, la dimensión del ker(f) será el número de variables libres, es decir, el número de incógnitas menos en rango de A. Dando valores a las variables libres, hallaremos una base del ker(f). Esta metodología no varía si se considera A = M BB (f), con B y B bases arbitrarias. Proposición Sea f : V W una aplicación lineal. Entonces dim K V = dim K ker(f) + dim K Im(f) Demostración. Supongamos que A = M BB (f). Debido a que: dim K ker(f) = n o de variables libres = n o columnas de A - rango de A, dim K Im(f) = rango de A; entonces dim K V = n o columnas de A = (n o columnas de A - rango de A) + rango de A = dim K ker(f) + dim K Im(f) Tipos de aplicaciones lineales Existen ciertos tipos especiales de aplicaciones lineales que son importantes. Por ejemplo, en la página 6 de los apuntes del Tema 4, vemos que la proyección isométrica no es más que una forma de representar el espacio tridimensional R 3 (el espacio) en R 2 (un plano, la hoja de papel). Obviamente al hacer esta transformación del espacio en el plano hay puntos que se confunden, es decir, que son puntos distintos en el espacio, pero que al proyectarlos son el mismo. Esto es un ejemplo de aplicación sobreyectiva, es decir, que es una transformación de R 3 en R 2 en la que todos los puntos de R 2 provienen de algún punto de R 3 (que no es único). Otra situación de este tipo nos aparece cuando vemos un plano dentro del espacio tridimensional. Tenemos en ese caso una transformación lineal de R 2 en R 3 en la que vemos un punto del plano (con 2 coordenadas) dentro de un plano de R 3. Esto sucede, por ejemplo, cuando a los puntos (x, y) de R 2, le hacemos corresponder los puntos (x, y, 0) de R 3. Lo que estamos haciendo es ver R 2 dentro del espacio tridimensional como el plano z = 0. Evidentemente esta no es una aplicación sobreyectiva (hay puntos del espacio que no se corresponden con ninguno del plano z = 0) pero lo que sí sucede es que dado un punto de R 2 le hacemos corresponder un y sólo un punto del plano z = 0. Esto es un ejemplo de una aplicación inyectiva.

11 3.6. TIPOS DE APLICACIONES LINEALES 25 Finalmente, el último tipo de aplicaciones lineales que consideraremos son las biyectivas, es decir, inyectivas y sobreyectivas a la vez, las cuales se corresponden geométricamente con giros y simetrías (es decir transformaciones que no modifican la dimensión de la figura que estamos transformando). Daremos a continuación las definiciones formales de los diferentes tipos de aplicaciones, y que nos ayudarán a clasificar si una aplicación es de un tipo dado o no (o de ningún tipo). Definición Una aplicación lineal f : V W se dice: a) Inyectiva si no existen dos vectores v w en V de forma que f(v) = f(w). b) Suprayectiva si para cada w W hay al menos un v V con f(v) = w. c) Biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Para saber si f es inyectiva, suprayectiva o biyectiva, vamos a utilizar el siguiente resultado. Proposición Sea f : V W una aplicación lineal y B, B bases de V y W respectivamente. Entonces a) f es inyectiva f(b) es linealmente independiente ker(f) = {0}. b) f es suprayectiva f(b) es un sistema generador de W Im(f) = W. c) f es biyectiva f(b) es base de W ker(f) = {0}, Im(f) = W. Demostración. Sea A = M BB (f) 1) f es inyectiva cada sistema AX = B, cuando tenga solución, ésta es única AX = B no tiene variables libres rango de A es igual al número de columnas las columnas de A son linealmente independiente f(b) es un conjunto de vectores linealmente independientes AX = 0 tiene un única solución. 2) f es suprayectiva Im(f) = W (por definición de Im(f)) Por otra parte, Im(f) esté generado por f(b), luego esto último se dará si y solamente si f(b) es un sistema generador de W. 3) Es una consecuencia directa de 1) y 2). Definición Sea f : V W una aplicación lineal. Si f es biyectiva, llamaremos f 1 : W V a la aplicación que lleva cada w W al único v V de forma que f(v) = w. Proposición Sea f : V W una aplicación lineal biyectiva y B, B bases de V y W respectivamente. Entonces a) f 1 es lineal. b) M B B(f 1 ) = (M BB (f)) 1. Demostración. Solamente vamos a demostrar b). Por la definición de f 1, tendremos que f(f 1 (v)) = v, v V.

12 26 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES Por lo tanto f f 1 = Id. Es decir, M BB (f) M B B(f 1 ) = M BB (Id) = Id. De la misma forma se comprueba que M B B(f 1 ) M BB (f) = Id. Así obtenemos que M B B(f 1 ) = (M BB (f)) 1. Ejemplo Volvamos a las transformaciones del ejemplo Las matrices que las definen son de rango 2 y por lo tanto, definen aplicaciones biyectivas. Geométricamente quiere decir que las transformaciones no eliminan ninguna dimensión y la imagen es de dimensión 2, es decir, todo R 2. De hecho, la casa se transforma en una figura de dimensión 2, en otra casa de diferentes medidas. Sin embargo, si multiplicamos las coordenadas de la casa y los puntos de las líneas que las unen por ( 0, ), obtenemos Todas las coordenadas han ido a parar a una recta. Dicha recta es la imagen de la aplicación, de dimensión 1, lo que indica que no es sobreyectiva. Además, la casa se ha transformado en una figura de dimensión 1, lo que indica que la transformación elimina una dimensión, es decir, no es inyectiva Cambios de base Supongamos que tenemos dos bases distintas de V, B y B. Entonces podemos definir la función identidad de la siguiente manera: Id : V V coordenadas dev en B coordenadas dev en B

13 3.7. CAMBIOS DE BASE 27 La matriz asociada a esta función es la matriz de cambio de base de B a B Definición Llamaremos matriz de cambio de base de B a B y la denotaremos por P BB a M BB (Id). Para calcularla, basta escribir por columnas las coordenadas de los vectores de B respecto a B. Como la función Id es biyectiva, P BB es siempre invertible, siendo su inversa la matriz P B B. Recíprocamente, cualquier matriz invertible puede verse como la matriz de un cambio de base. Un caso en el que dicho cálculo es muy simple es cuando B = C, la base canónica de K n, en este caso P BC no es más que escribir las coordenadas de B por columnas. Análogamente P CB = P 1 CB. Entonces, la composición de funciones nos da que: P BB = P CB P BC. Observad que la misma expresión aparece en la página 4 del documento Introducción del Tema 3. Os recomendamos leer (o volver a leer) dicho documento al final del tema y así, conoceréis las aplicaciones a la informática gráfica de todos estos conceptos. Proposición Sea f : K n K m una aplicación lineal. Sean B 1, B 1 dos bases de K n y B 2, B 2 dos bases de K m entonces: M B 1 B 2 (f) = P B 2 B 2 M B 1 B 2 (f) P B 1 B 1 Demostración. Es una consecuencia inmediata de las definiciones de M B 1 B 2 (f), M B 1 B 2 (f), P B2 B 2 y P B 1 B 1. Esta proposición nos da un método sencillo para calcular M BB (f) a partir de M(f): M BB (f) = P CB M(f) P BC Ejemplo Calculemos la matriz de la aplicación lineal del Ejemplo siguiendo el método de esta Sección. A partir de la fórmula de la aplicación lineal f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z, x + 2z + t) calculamos rapidamente M(f) (es decir, la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R 4 y R 3 respectivamente, sin más que susituir en la expresión de f los vectores de la base canónica de R 4, obtenemos así, M(f) =

14 28 TEMA 3. APLICACIONES LINEALES ahora calculamos P BCR 4 y P B C R 3 para ello sólo tenemos que poner los vectores de y por columnas. Por tanto: B = {(1, 2, 3, 2), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (1, 2, 0, 3)} P BCR 4 = B = {(1, 1, 2), (1, 3, 6), (0, 1, 0)} y P B C R 3 = Entonces M BB (f) = P CR 3B M(f) P BC R 4, donde P CR 3B = P 1 B C R 3 =

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