Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.

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1 Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva. (ii) Dando una razón para su respuesta, indique si f es sobreyectiva o no. (c) La función g se define como g : [ k, k] A, donde g(x) = e senx 1 y k > 0. (i)halle el valor máximo de k para el cual g es inyectiva Para ese valor de k (ii) halle una expresión de g 1 (x) (iii) escriba el dominio de g Sea S = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. La relación R se define en S tal que para a, b S, arb si y sólo si a 2 b 2 (módulo 6) (a) Compruebe que R es una relación de equivalencia (b) Halle todas las clases de equivalencia 3. Considere la operación binaria a dividido b sobre R +. Determine sis se satisface o no cada uno de los axiomas de grupo. 4. Considere el grupo G definido en el conjunto S = {1, 2, 4, 5, 7, 8} que tiene la siguiente tabla de Cayley (a) Explique qué se entiende al decir que esta tabla es un cuadrado latino. (b) Resuelva la ecuación 2 x 7 = 4 donde x S (c) (i) Compruebe que G es cíclico y halle los generadores (ii) Enumere los subgrupos propios de G. 5. Suponga que G es un grupo y H un subconjunto no vacio de G. Compruebe que si ab 1o inh, donde a, b H entonces H es un subgrupo de G. 1

2 Mayo 2005 i) Se define la relación # sobre los conjuntos A y B como A#B = A B. Compruebe algebraicamente que (a) A#A = A (b) (A#A)#(B#B) = A B; (c) (A#B)#(A#B) = A B; ii) Sea S = {enteros mayores que 1}. Se define sobre S la relación R como (a) Muestre que R es reflexiva (b) Muestre que R es simétrica mrn mcd(m, n) > 1, para m, n S. (c) Muestre, mediante un contraejemplo, que R no es transitiva. iii) Sea T = {Todos los números reales excepto el 1}. Se define sobre T la operación como a b = ab a b + 2, para a, b T. (a) Muestre que T es cerrado para la operación. Asuma, ahora que T es un grupo para. (b) Halle el elemento neutro de T para. (c) Mayo 2004 Note que (i) Demuestre por inducción matemática que { }} { a a.. n veces.. a = (a 1) n + 1, n Z + { }} { a a.. 5 veces.. a = a a a a a (ii) A partir de lo anterior, muestre que existe un único elemento en T, aparte del elemento neutro, que tiene orden finito. Halle ese elemento y su orden 1. La relación R está definida sobre los puntos (x, y) del plano por (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) si y sólo si x 1 + y 2 = x 2 + y 1. (a) Compruebe que R es una relación de equivalencia. (b) Dé una descripción geométrica de las clases de equivalencia. 2. La operación binaria está definida para x, y R (a) Halle el elemento neutro de. (b) Halle el simétrico de 3 para. x y = xy x y

3 (c) Compruebe que y determine si la operación es asociativa. (x y) z = xyz yz zx xy + x + y + z 3. Considere el conjunto S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15} con la operación multiplicación módulo 16, que representamos por. (a) Calcule 3 5, 3 7 y (b) (i) Copie y complete la tabla con la operación en S (ii) Considerando que es asociativa, compruebe que (S, ) es un grupo. (c) Halle todos los elementos de orden 2 y 4. (d) Halle un subgrupo cíclico de orden 4. Noviembre a) Compruebe, mediante un diagrama de Venn, que (A B) = A B. b) Demuestre que [(A B) (A B )] = (A B ) (A B). 2. Sea S = {f, g, h, j} el conjunto de las funciones definidas por f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 1 x, j(x) = 1 x, con x 0 a) Construya la tabla de las operaciones del grupo (S, ) donde es la composición de funciones. b) A continuación se muestran las tablas de los grupos {0, 1, 2, 3} para la adición módulo 4 y {1, 2, 3, 4} para la multiplicación módulo Comparando los elementos de las dos tablas dadas junto con la construida en el apartado anterior, determine que grupos son isomorfos. Razone la respuesta e indique claramente los elementos homólogos. 3

4 3. a) Se define la operación binaria en el conjunto de los números reales mediante a b = a + b + 1. Compruebe que la operación es asociativa y conmutativa b) Compruebe que (R, ) es un grupo. 4. a) Determine, razonando la respuesta, cual de las siguientes funciones de R en R son biyectivas. Mayo 2003 p(x) = x 2 + 1, q(x) = x 3, r(x) = x2 + 1 x b) Sea t una aplicación del conjunto A en el conjunto B, y sea s una aplicación del conjunto B en el C. Compruebe que si s y t son ambas biyectivas, entonces s t también lo es. i. El conjunto de todos los números reales R es un grupo para la adición (R, +) y el conjunto de todos los números reales positivos R + es un grupo para la multiplicación (R +, ). Sea f la aplicación de (R, +) en(r +, ) definida por f(x) = 3 x. (a) Demuestre que f es un isomorfismo. (b) Halle una expresión de f 1. ii. Sea {( a b G = c d ) } / a, b, c, d R, ad bc 0 (a) Demuestre que (G, ) es un grupo, donde denota la multiplicación de matrices. (b) Es el grupo abeliano?. Razone su respuesta. Sea (H, ) un subgrupo cualquiera de (G, ) y sean M y N elementos cualquiera de G. Se define la relación R H sobre G como sigue: MR H N existe L H tal que M = L N. (d) Demuestre que R H es una relación de equivalencia en G. Sea K el conjunto de los elementos de G que verifican ab cd > 0. (e) Demuestre que (K, ) es subgrupo de (G, ). Sean M y N dos elementos cualesquiera de G. Se define la relación de equivalencia R K sobre G de forma análoga a la anterior, es decir MR K N existe L K tal que M = L N. (e) (i) Demuestre que sólo hay dos clases de equivalencia. (ii) Explique cómo determinar a qué clase de equivalencia pertenece un cierto elemento M de G. 4

5 Mayo Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto universal dado. a) Use diagramas de Venn para mostrar que (A B) C = (A B) (A C). b) A partir de aquí y usando las leyes de Morgan, muestre que (A B) C = (A C ) (B C). 2. Sea R una relación definida en Z tal que para m Z +, xry si y sólo si m es divisor de x y. a) Demuestre que R es una relación de equivalencia en Z. b) Demuestre que esta relación de equivalencia divide a Z en clases distintas. c) Sea Z m el conjunto de todas las clases de equivalencia halladas en el apartado anterior. Defina una operación binaria adecuada + m en Z m y demuestre que (Z m, + m ) es un grupo abeliano aditivo. d) Sea (K, ) un grupo cíclico de orden m. Demuestre que (K, ) es isomorfo a (Z m, + m ). 3. Sea (G, ) un grupo con subgrupos (H, ) y (K, ). Demuestre que (H K, ) es un subgrupo de (G, ) sii uno de los conjuntos H y K está contenido dentro del otro. Noviembre Sea (Z 4, +) el grupo de los elementos 0, 1, 2, 3, 4 con la operación de suma de los enteros módulo 4. Sea (G, ) otro grupo de orden 4, con los elementos a, b, c, d. Sea φ yn isomorfismo de (Z 4, +) en (G, ), definido de la manera siguiente: a) Escriba la tabla del grupo (Z 4, +). φ(0) = a, φ(1) = d, φ(2) = a, φ(3) = c. b) A partir de ello, escriba la tabla del grupo (G, ). 2. Sea Y el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Defina la relación R sobre Y como arb a 2 b 2 0(mod5), donde a, b Y. a) Muestre que R es una relación de equivalencia. b) 1) Que significa la clase de equivalencia que contiene a a 2) Escriba todas las clases de equivalencia. 3. Sea X un conjunto que contiene n elementos (donde n es un entero positivo). Muestre que el conjunto de todos los subconjuntos de X tiene 2 n elementos. 4. Sea (S, ) el grupo de las permutaciones de cuatro ( elementos a, ) b, c, d. La permutación que aplica a b c d a en c, b en d, c en a, d en b se representa por. c d a b ( ) a b c d El elemento identidad se representa por. a b c d Observe que AB denota la permutación obtenida cuando la permutación B es seguida de A. 5

6 Mayo 2001 ( a b c d a) Halle la inversa de la permutación c a d b b) Halle un subgrupo de S de orden 2. c) Halle un subgrupo de S de orden 4, mostrando que es subgrupo de S. 1. Sean dos conjuntos no vacios A y B, y sea A \ B el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B. Dibuje diagramas de Venn para A \ B y B \ A y determine si B (A \ B) = B (B \ A). 2. Considere el conjunto Z Z +. Sea R la relación de equivalencia dada del siguiente modo: ). (a, b)r(c, d) ad = bc. a) Demuestre que R es una relación de equivalencia en Z Z +. b) Muestre la partición que efectua R en Z Z + y escriba las clases de equivalencia. 3. ABCD es un cuadrado unidad de centro O. Los puntos medios de los segmentos [CD], [AB], [AD], [BC] son M, N, P, Q, respectivamente. L 1 y L 2 son las rectas (MN) y (P Q) respectivamente. Considere las siguientes simetrías del cuadrado, U es un giro alrededor de O de 2π en el sentido de las agujas del reloj. H es una simetría de los vértices del cuadrado respecto de la recta L 2. V es una simetría de los vértices del cuadrado respecto de la recta L 1. K es un giro alrededor de O de π en el sentido de las agujas del reloj. a) Escriba la tabla de operaciones para el conjunto S = {U, H, V, K} bajo, composición de estas transformaciones geométricas. b) Suponiendo que es asociativa, demuestre que (S, ) es grupo. Considere el conjunto C = {1, 1, i, i} y la operación binaria definida en C, donde,, es la multiplicación de números complejos. c) Halle la tabla de operaciones para el grupo (C, ). d) Determine si (S, ) y (C, ) son isomorfos. Razone la respuesta. 4. Sea (G, ) un grupo. El elemento neutro de G es e y G {e}. El grupo G es cíclico y sus únicos subgrupos son los propios. Demuestre que G es finito y de orden primo. Mayo Sean X e Y dos conjuntos no vacios. a) Defina la operación X Y = (X Y ) (X Y ). Demuestre que (X Y ) = (X Y ) (X Y ). b) Sea f : N N una aplicación definida por f(n) = n + 1 para todo n N. Diga si es inyectiva, exhaustiva o biyectiva. Razone la respuesta. 6

7 c) Sea h : X Y y R la relación de equivalencia definida en Y. y 1 R y 2 indica que los elementos de Y, y 1 e y 2, están relacionados. Defina una relación S en X del siguiente modo, a, b S, asb h(a) R h(b). Detemine si S es una relación de equivalencia en X. 2. a) Sean f 1 (z) = z, f 1 (z) = z, f 3 (z) = 1 z, f 4(z) = 1, definidad en Q \ {0}. Sea T = z {f 1, f 2, f 3, f 4 } y,, la composición de funciones. Demuestre que (T, ) es un grupo abeliano. b) Sea G = {1, 3, 5, 7} y sea (G, ) el grupo multiplicativo bajo la operación, multiplicación módulo 8. Demuestre que los grupos (T, ) y (G, ) son isomorfos. 3. Sean a, b, p elementos de un grupo (H, ) con elemento identidad e. a) Si el elemento a tiene de orden n y el elemento a 1 tiene de orden m, demuestre que m = n. b) Si b = p 1 a p, demuestre, por inducción matemática, que b m = p 1 a m p, donde m = 1, 2,.... Noviembre a) A \ B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no a B. Mediante diagramas de Venn compruebe que (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). b) A partir de las leyes de Morgan demuestre que (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). {( ) } a b 2. Demuestre que el conjunto H =, a = ±1, b Z forma grupo con la operación 0 1 producto de matrices. ( Puedes dar por demostrado que el producto de matrices es asociativo). 3. a) Enuncie el teorema de Lagrange. b) Sea (G, ) un grupo de orden 24 con elemento identidad e. Sea a G tal que a 12 e y a 8 e. Demuestre que G es un grupo cíclico generado por a. 4. a) Sea S = {x x = a + b 2, a, b Q, a 2 b 2 0}. Demuestre que S tiene estructura de grupo con la multiplicación. b) Para x = a + b 2 se define f(x) = a b 2. Demuestre que f es un isomorfismo de (S, ) en (S, ). 7

8 Muestra del Sea S = {(x, y), x, y R}, en S definimos la relación (a, b)r(c, d) a 2 + b 2 = c 2 + d 2. a) Demuestre que R es una relación de equivalencia. b) Halle todos los pares ordenados (x, y) tales que (x, y)r(1, 2). c) Describa la partición creada por esta relación en S. 2. Dada la función f : R 2 R 2 dada por f(x, y) = (2y x, x + y). a) Demuestre que es inyectiva. b) Demuestre que es suprayectiva. c) Demuestre que existe f 1, halle f 1 y compruebe el resultado. 3. Considere los siguientes conjuntos A = {3 n (módulo 10), n N}, B = a) Demuestre que B es grupo con la multiplicación ordinaria. b) Escriba la tabla de multiplicar de A. c) Halle el orden de cada elemento de A. {z k = cos kπ2 + isenkπ2, k {0, 1, 2, 3} }. d) Partiendo del apartado anterior, o de otro modo, demuestre que A y S son isomorfos. Escriba el isomorfismo. 8

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