CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS

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1 UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una lista o colección bien definida de objetos, que designaremos con letras mayúsculas A,B,X,Y,... Los elementos que componen el conjunto se llaman sus elementos o miembros y los designaremos por letras minúsculas(a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos). La proposición a A se lee a pertenece a A, o bien, el elemento a pertenece al conjunto A. Su negación es a / A. Si el conjunto A está formado por los elementos a, b y c, escribiremos: A = {a,b,c} y su diagrama de Venn correspondiente será DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Por Extensión: Cuando se nombran o enumeran todos los elementos que constituyen al conjunto. Ejemplos: A = {2,3,7,8}, B = {a,e,i,o,u}, C = {Venezuela, Colombia, Brasil}. Por Comprensión: Cuando se da la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {x R : x es solución de x 2 3x+2 = 0} B = {x N : x 5} CONJUNTOS ESPECIALES Conjuntos Numéricos: C = {x N : x es par} N = {0,1,2,3,...} Conjunto de los números naturales Z Conjunto de los números enteros Q Conjunto de los números racionales I Conjunto de los números irracionales R Conjunto de los números reales C Conjunto de los números complejos

2 Z +, Q +, I +, R + Z, Q, I, R Z, Q, I, R, C Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) positivos Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) negativos Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales, complejos) sin el cero Conjunto Universal: Depende de lo que se estudie en el momento, es fijado de antemano y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés. Se denotará como U. Conjunto Vacío: Es aquel que carece de elementos. Se denotará por. CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO Es el número de elementos distintos que posee el conjunto. Si A es un conjunto finito con n elementos distintos, escribiremos card(a) = A = n. Ejemplos: El cardinal del conjunto A = {x,y} es A = 2. El cardinal del conjunto B = {a,a,b,c,c,c} es B = 3. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A pertenece a B diremos que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y escribiremos A B. Simbólicamente, tendremos que: A B ( x)(x A x B) Ejemplos: Si A = {2,4} y B = {2,3,4,5}, entonces A B, dado que todo elemento de A pertenece también a B. Si A = {p,q,r} y B = {m,n,p,q}, entonces A B, dado que r A, pero r / B. IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos y escribiremos A = B. Simbólicamente, tendremos que: A = B ( x)(x A x B) A B B A Ejemplos: Si A = {7,8,9} y B = {8,9,7}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los mismos elementos. Si A = {a,a,b} y B = {a,b,b,b}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los mismos elementos (aún cuando un conjunto contenga elementos repetidos, éstos se consideran 2

3 como uno solo). INCLUSIÓN PROPIA A es un subconjunto propio de B si y sólo si A B y A B. En este caso, escribiremos A B. Ejemplos: Si A = {1,2} y B = {1,2,3}, entonces A B, dado que A B y A B. Si A = {q,e,t} y B = {q,t,e}, entonces A B, porque aún cuando A B se tiene que A = B. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN 1. Para todo conjunto A se cumple que A A. (Reflexividad) 2. Si A B y B A, entonces A = B. (Antisimetría) 3. Si A B y B C, entonces A C. (Transitividad) 4. A, para todo conjunto A. OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x B} x A B x A x B 2. Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x B} x A B x A x B 3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x / B} x A B x A x / B 4. Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A B y B A. Simbólicamente: A B = (A B) (B A) 3

4 Ejemplo: Si consideramos los conjuntos A = {w,x,y} y B = {y,z}, entonces A B = {w,x,y,z} A B = {y} A B = {w,x} B A = {z} A B = {w,x,z} COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea A U, el complemento de A, que denotaremos por A c, es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A. Ejemplo: Si consideramos los conjuntos U = {1,2,3,4,5} y A U tal que A = {1,3}, entonces A c = {2,4,5}. 4

5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. A B A C B C ; A B A C B C 2. A B C D A C B D ; A B C D A C B D 3. (A c ) c = A 4. A B B c A c 5. A A = A ; A A = A 6. A B = B A ; A B = B A 7. (A B) C = A (B C) ; (A B) C = A (B C) 8. A (B C) = (A B) (A C) ; A (B C) = (A B) (A C) 9. (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c 10. A B A A B 11. A B A B = A ; A B A B = B 12. A (A B) = A ; A (A B) = A 13. A = ; A U = U ; A U = A ; A = A ; A A c = U ; A A c = 14. A B = A B c ; A B = U A c B 15. A B = A B c 16. A B = (A B) B 17. A (B C) = (A B) (A C) 18. A B = (A B) (A B) 19. A B = B A 20. A = A 21. A U = A c 22. A A = 23. (A B) C = A (B C) 24. A B = A C B = C 25. (A B) C = (A C) (B C) 26. (A B) C = (A C) (B C) 5

6 CONJUNTOS DISJUNTOS Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos si A B =. Ejemplo: Los conjuntos A = {1,3} y B = {2,4,5} son disjuntos ya que A B =. FAMILIA DE CONJUNTOS Es un término que se emplea en lugar de conjunto de conjuntos. CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO Sea A U. El conjunto potencia de A, que denotaremos por P(A) (o 2 A ), es la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. En símbolos, P(A) = {X U : X A} Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto A = {a,b,c} es P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},a} Propiedades: 1. Si A es un conjunto finito tal que A = n, entonces P(A) = 2 n. 2. P(A B) = P(A) P(B). Nota: En general, no siempre es cierto que P(A B) = P(A) P(B). Podrías encontrar un contraejemplo? PARTICIÓN DE UN CONJUNTO Sea A = {A i } i I una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto A. Diremos que A es una partición de A si y sólo si se cumplen las siguiente condiciones: (a) A = i IA i, donde A i, para todo i I. (b) A i A j =, para todo i,j I con i j. Ejemplo: La familia de conjuntos A = {{a,e},{d},{b,c}} es una partición del conjunto A = {a,b,c,d,e} ya que (a) A = {a,e} {d} {b,c}, donde {a,e}, {d} y {b,c}. (b) {a,e} {d} =, {a,e} {b,c} = y {d} {b,c} =. 6

7 PARES ORDENADOS Intuitivamente, un par ordenado consta de dos elementos, a y b, por ejemplo, que en el par se designan como primera y segunda componentes, respectivamente. Un par ordenado se simboliza por (a,b). Diremos que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si y sólo si a = c y b = d. Observación: Rigurosamente, se suele definir a un par ordenado (a, b) como (a,b) = {{a},{a,b}} PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A y B al conjunto de todos los pares ordenados (a,b) con a A y b B. A este producto se le denota por A B. Simbólicamente: A B = {(a,b) : a A, b B} Ejemplo: Si se consideran los conjuntos A = {a,b,c} y B = {2,4}, entonces A B = {(a,2),(a,4),(b,2),(b,4),(c,2),(c,4)} Propiedades: 1. Si A y B son conjuntos finitos tales que A = m y B = n, entonces A B = m n. 2. A = A =. 3. (A B) C = (A C) (B C). 4. (A B) C = (A C) (B C). RELACIONES BINARIAS Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B, en símbolos, R A B. Si A = B, diremos que R es una relación binaria definida en A y se identifica como un subconjunto de A 2 = A A. Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación R suele escribirse arb, lo que equivale a (a,b) R. 7

8 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: D R = Dom(R) = {a A : (a,b) R para algún b B} El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: R R = Rgo(R) = {b B : (a,b) R para algún a A} Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R entre los conjuntos A y B dados: R = {(1,2),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)}, donde A = {1,2,3,4} y B = {2,3,4}. R = {(x,y) A B : x y 6}, donde A = B = Z. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R A 2. Dicha relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades: 1. Reflexividad: R es reflexiva x A : (x,x) R. 2. Irreflexividad: R es irreflexiva x A : (x,x) / R 3. Simetría: R es simétrica x,y A : (x,y) R (y,x) R. 4. Asimetría: R es asimétrica x,y A : (x,y) R (y,x) / R. 5. Antisimetría: R es antisimétrica x,y A : (x,y) R (y,x) R x = y. 6. Transitividad: R es transitiva x,y,z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R. Ejercicios: Para cada una de las siguientes relaciones, determine si la relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica o transitiva. 1. R Z Z, donde arb si y sólo si a b. 2. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3,4} donde R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. 3. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3} donde R = {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}. 4. R es la relación binaria sobre A = {a,b,c} donde R = {(a,a),(b,c),(c,c)}. 5. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3,4} donde R = {(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)}. 6. R es la relación binaria sobre Z tal que arb si y sólo si a b. 8

9 7. R es la relación binaria sobre Z + tal que arb si y sólo si a b. RELACIONES INVERSAS Sea R una relación de A en B. La relación inversa de R es el subconjunto de B A definido por: R 1 = {(b,a) B A : (a,b) R} COMPOSICIÓN DE RELACIONES Sean las relaciones R A B y S B C, definiremos una relación de A en C, llamada composición entre R y S, mediante Propiedades: R S = {(a,c) A C : (a,b) R y (b,c) S, para algún b B} 1. Si R A B, S B C y T C D son relaciones, entonces (R S) T = R (S T). 2. Si R A B y S B C son relaciones, entonces (R S) 1 = S 1 R 1. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, que se denotará por [x], se define como [x] = {y A : yrx}. El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de A por la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R. Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a,b,c,d,e} y la relación de equivalencia sobre A determinada por R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,e),(e,b),(c,e),(e,c)} se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son: [a] = [d] = {a,d} [b] = [c] = [e] = {b,c,e} y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a,d},{b,c,e}}. 9

10 Propiedades: Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y x,y A, entonces : 1. x [x]. 2. xry [x] = [y]. 3. [x] = [y] ó [x] [y] =. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Si A es un conjunto, entonces (a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición de A; y (b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R sobre A. Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo, es claro que el conjunto cociente A/R = {{a,d},{b,c,e}} es una partición del conjunto A = {a,b,c,d,e}. Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por ejemplo, {{a,b},{c,e},{d}}, se tiene que ésta representa al conjunto cociente A/ R, donde R es la relación de equivalencia sobre A determinada por R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,b),(b,a),(c,e),(e,c)} RELACIONES DE ORDEN Sea R una relación binaria definida sobre un conjunto A. Diremos que R es una relación de orden parcial: si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. total: si R esuna relaciónde ordeparcial y si para todox,y Ase cumple que (x,y) R o (y,x) R. estricto: si R es irreflexiva, asimétrica y transitiva. Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1,2,3} y las relaciones (a) R 1 = {(a,b) A 2 : a b} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,3)} es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que R 1 es una relación de orden parcial. Sin embargo, como 2,3 A, pero (2,3) / R 1 y (3,2) / R 1, entonces R 1 no es una relación de orden total. (b) R 2 = {(a,b) A 2 : a b} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que R 2 es una relación de orden parcial. Además, para todo x,y A se cumple que (x,y) R 2 o (y,x) R 2, por lo que R 2 es una relación de orden total. (c) R 3 = {(a,b) A 2 : a < b} = {(1,2),(1,3),(2,3)} es irreflexiva, asimétrica y transitiva, por lo que R 3 es una relación de orden estricto. 10

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