CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
|
|
- Amparo Rojas Ortíz
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una lista o colección bien definida de objetos, que designaremos con letras mayúsculas A,B,X,Y,... Los elementos que componen el conjunto se llaman sus elementos o miembros y los designaremos por letras minúsculas(a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos). La proposición a A se lee a pertenece a A, o bien, el elemento a pertenece al conjunto A. Su negación es a / A. Si el conjunto A está formado por los elementos a, b y c, escribiremos: A = {a,b,c} y su diagrama de Venn correspondiente será DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Por Extensión: Cuando se nombran o enumeran todos los elementos que constituyen al conjunto. Ejemplos: A = {2,3,7,8}, B = {a,e,i,o,u}, C = {Venezuela, Colombia, Brasil}. Por Comprensión: Cuando se da la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {x R : x es solución de x 2 3x+2 = 0} B = {x N : x 5} CONJUNTOS ESPECIALES Conjuntos Numéricos: C = {x N : x es par} N = {0,1,2,3,...} Conjunto de los números naturales Z Conjunto de los números enteros Q Conjunto de los números racionales I Conjunto de los números irracionales R Conjunto de los números reales C Conjunto de los números complejos
2 Z +, Q +, I +, R + Z, Q, I, R Z, Q, I, R, C Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) positivos Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) negativos Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales, complejos) sin el cero Conjunto Universal: Depende de lo que se estudie en el momento, es fijado de antemano y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés. Se denotará como U. Conjunto Vacío: Es aquel que carece de elementos. Se denotará por. CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO Es el número de elementos distintos que posee el conjunto. Si A es un conjunto finito con n elementos distintos, escribiremos card(a) = A = n. Ejemplos: El cardinal del conjunto A = {x,y} es A = 2. El cardinal del conjunto B = {a,a,b,c,c,c} es B = 3. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A pertenece a B diremos que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y escribiremos A B. Simbólicamente, tendremos que: A B ( x)(x A x B) Ejemplos: Si A = {2,4} y B = {2,3,4,5}, entonces A B, dado que todo elemento de A pertenece también a B. Si A = {p,q,r} y B = {m,n,p,q}, entonces A B, dado que r A, pero r / B. IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos y escribiremos A = B. Simbólicamente, tendremos que: A = B ( x)(x A x B) A B B A Ejemplos: Si A = {7,8,9} y B = {8,9,7}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los mismos elementos. Si A = {a,a,b} y B = {a,b,b,b}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los mismos elementos (aún cuando un conjunto contenga elementos repetidos, éstos se consideran 2
3 como uno solo). INCLUSIÓN PROPIA A es un subconjunto propio de B si y sólo si A B y A B. En este caso, escribiremos A B. Ejemplos: Si A = {1,2} y B = {1,2,3}, entonces A B, dado que A B y A B. Si A = {q,e,t} y B = {q,t,e}, entonces A B, porque aún cuando A B se tiene que A = B. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN 1. Para todo conjunto A se cumple que A A. (Reflexividad) 2. Si A B y B A, entonces A = B. (Antisimetría) 3. Si A B y B C, entonces A C. (Transitividad) 4. A, para todo conjunto A. OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x B} x A B x A x B 2. Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x B} x A B x A x B 3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Simbólicamente: A B = {x U : x A x / B} x A B x A x / B 4. Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A B y B A. Simbólicamente: A B = (A B) (B A) 3
4 Ejemplo: Si consideramos los conjuntos A = {w,x,y} y B = {y,z}, entonces A B = {w,x,y,z} A B = {y} A B = {w,x} B A = {z} A B = {w,x,z} COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea A U, el complemento de A, que denotaremos por A c, es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A. Ejemplo: Si consideramos los conjuntos U = {1,2,3,4,5} y A U tal que A = {1,3}, entonces A c = {2,4,5}. 4
5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. A B A C B C ; A B A C B C 2. A B C D A C B D ; A B C D A C B D 3. (A c ) c = A 4. A B B c A c 5. A A = A ; A A = A 6. A B = B A ; A B = B A 7. (A B) C = A (B C) ; (A B) C = A (B C) 8. A (B C) = (A B) (A C) ; A (B C) = (A B) (A C) 9. (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c 10. A B A A B 11. A B A B = A ; A B A B = B 12. A (A B) = A ; A (A B) = A 13. A = ; A U = U ; A U = A ; A = A ; A A c = U ; A A c = 14. A B = A B c ; A B = U A c B 15. A B = A B c 16. A B = (A B) B 17. A (B C) = (A B) (A C) 18. A B = (A B) (A B) 19. A B = B A 20. A = A 21. A U = A c 22. A A = 23. (A B) C = A (B C) 24. A B = A C B = C 25. (A B) C = (A C) (B C) 26. (A B) C = (A C) (B C) 5
6 CONJUNTOS DISJUNTOS Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos si A B =. Ejemplo: Los conjuntos A = {1,3} y B = {2,4,5} son disjuntos ya que A B =. FAMILIA DE CONJUNTOS Es un término que se emplea en lugar de conjunto de conjuntos. CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO Sea A U. El conjunto potencia de A, que denotaremos por P(A) (o 2 A ), es la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. En símbolos, P(A) = {X U : X A} Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto A = {a,b,c} es P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},a} Propiedades: 1. Si A es un conjunto finito tal que A = n, entonces P(A) = 2 n. 2. P(A B) = P(A) P(B). Nota: En general, no siempre es cierto que P(A B) = P(A) P(B). Podrías encontrar un contraejemplo? PARTICIÓN DE UN CONJUNTO Sea A = {A i } i I una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto A. Diremos que A es una partición de A si y sólo si se cumplen las siguiente condiciones: (a) A = i IA i, donde A i, para todo i I. (b) A i A j =, para todo i,j I con i j. Ejemplo: La familia de conjuntos A = {{a,e},{d},{b,c}} es una partición del conjunto A = {a,b,c,d,e} ya que (a) A = {a,e} {d} {b,c}, donde {a,e}, {d} y {b,c}. (b) {a,e} {d} =, {a,e} {b,c} = y {d} {b,c} =. 6
7 PARES ORDENADOS Intuitivamente, un par ordenado consta de dos elementos, a y b, por ejemplo, que en el par se designan como primera y segunda componentes, respectivamente. Un par ordenado se simboliza por (a,b). Diremos que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si y sólo si a = c y b = d. Observación: Rigurosamente, se suele definir a un par ordenado (a, b) como (a,b) = {{a},{a,b}} PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A y B al conjunto de todos los pares ordenados (a,b) con a A y b B. A este producto se le denota por A B. Simbólicamente: A B = {(a,b) : a A, b B} Ejemplo: Si se consideran los conjuntos A = {a,b,c} y B = {2,4}, entonces A B = {(a,2),(a,4),(b,2),(b,4),(c,2),(c,4)} Propiedades: 1. Si A y B son conjuntos finitos tales que A = m y B = n, entonces A B = m n. 2. A = A =. 3. (A B) C = (A C) (B C). 4. (A B) C = (A C) (B C). RELACIONES BINARIAS Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B, en símbolos, R A B. Si A = B, diremos que R es una relación binaria definida en A y se identifica como un subconjunto de A 2 = A A. Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación R suele escribirse arb, lo que equivale a (a,b) R. 7
8 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: D R = Dom(R) = {a A : (a,b) R para algún b B} El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: R R = Rgo(R) = {b B : (a,b) R para algún a A} Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R entre los conjuntos A y B dados: R = {(1,2),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)}, donde A = {1,2,3,4} y B = {2,3,4}. R = {(x,y) A B : x y 6}, donde A = B = Z. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R A 2. Dicha relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades: 1. Reflexividad: R es reflexiva x A : (x,x) R. 2. Irreflexividad: R es irreflexiva x A : (x,x) / R 3. Simetría: R es simétrica x,y A : (x,y) R (y,x) R. 4. Asimetría: R es asimétrica x,y A : (x,y) R (y,x) / R. 5. Antisimetría: R es antisimétrica x,y A : (x,y) R (y,x) R x = y. 6. Transitividad: R es transitiva x,y,z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R. Ejercicios: Para cada una de las siguientes relaciones, determine si la relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica o transitiva. 1. R Z Z, donde arb si y sólo si a b. 2. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3,4} donde R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. 3. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3} donde R = {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}. 4. R es la relación binaria sobre A = {a,b,c} donde R = {(a,a),(b,c),(c,c)}. 5. R es la relación binaria sobre A = {1,2,3,4} donde R = {(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)}. 6. R es la relación binaria sobre Z tal que arb si y sólo si a b. 8
9 7. R es la relación binaria sobre Z + tal que arb si y sólo si a b. RELACIONES INVERSAS Sea R una relación de A en B. La relación inversa de R es el subconjunto de B A definido por: R 1 = {(b,a) B A : (a,b) R} COMPOSICIÓN DE RELACIONES Sean las relaciones R A B y S B C, definiremos una relación de A en C, llamada composición entre R y S, mediante Propiedades: R S = {(a,c) A C : (a,b) R y (b,c) S, para algún b B} 1. Si R A B, S B C y T C D son relaciones, entonces (R S) T = R (S T). 2. Si R A B y S B C son relaciones, entonces (R S) 1 = S 1 R 1. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, que se denotará por [x], se define como [x] = {y A : yrx}. El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de A por la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R. Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a,b,c,d,e} y la relación de equivalencia sobre A determinada por R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,e),(e,b),(c,e),(e,c)} se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son: [a] = [d] = {a,d} [b] = [c] = [e] = {b,c,e} y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a,d},{b,c,e}}. 9
10 Propiedades: Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y x,y A, entonces : 1. x [x]. 2. xry [x] = [y]. 3. [x] = [y] ó [x] [y] =. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Si A es un conjunto, entonces (a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición de A; y (b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R sobre A. Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo, es claro que el conjunto cociente A/R = {{a,d},{b,c,e}} es una partición del conjunto A = {a,b,c,d,e}. Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por ejemplo, {{a,b},{c,e},{d}}, se tiene que ésta representa al conjunto cociente A/ R, donde R es la relación de equivalencia sobre A determinada por R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,b),(b,a),(c,e),(e,c)} RELACIONES DE ORDEN Sea R una relación binaria definida sobre un conjunto A. Diremos que R es una relación de orden parcial: si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. total: si R esuna relaciónde ordeparcial y si para todox,y Ase cumple que (x,y) R o (y,x) R. estricto: si R es irreflexiva, asimétrica y transitiva. Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1,2,3} y las relaciones (a) R 1 = {(a,b) A 2 : a b} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,3)} es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que R 1 es una relación de orden parcial. Sin embargo, como 2,3 A, pero (2,3) / R 1 y (3,2) / R 1, entonces R 1 no es una relación de orden total. (b) R 2 = {(a,b) A 2 : a b} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que R 2 es una relación de orden parcial. Además, para todo x,y A se cumple que (x,y) R 2 o (y,x) R 2, por lo que R 2 es una relación de orden total. (c) R 3 = {(a,b) A 2 : a < b} = {(1,2),(1,3),(2,3)} es irreflexiva, asimétrica y transitiva, por lo que R 3 es una relación de orden estricto. 10
Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
Más detallesPara representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:
2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,
Más detallesMódulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias
Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional
Más detallespersonal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12
Teoría de conjuntos. Teoría de Conjuntos. personal.us.es/elisacamol Curso 2011/12 Teoría de Conjuntos. Teoría de conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Propiedades. Un conjunto es la reunión en un todo
Más detallesRelaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d
Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en
Más detallesUna relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B.
Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B. Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que un elemento a de A está relacionado con un elemento b de
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones
Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................
Más detallesRelaciones entre conjuntos
Relaciones entre conjuntos Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos,
Más detallesConjuntos, Relaciones y Funciones
Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de
Más detallesGrupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.
1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial
Más detallesLiceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno. Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora. María del Rosario Quintans 1
Liceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno. Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora. María del Rosario Quintans 1 TEORÍA DE CONJUNTOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS Cuando decimos: "un elemento
Más detalles9.1 Primeras definiciones
Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Parte 1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Parte 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Una estructura algebraica es una n-tupla (a 1,a 2,...,a n ), donde a 1 es un conjunto dado no vacío, y {a 2,...,a n } un conjunto de operaciones
Más detallesINSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER Manual del Alumno ASIGNATURA: Matemática I PROGRAMA: S3C Lima-Perú SESION 1 SISTEMAS DE NUMERACION DEFINICION : Es un conjunto de reglas y principios que nos
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detallesRelaciones binarias. Matemática discreta. Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones binarias Matemática discreta 1 Relación binaria en A Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB Dados a A y b B, a está relacionado con b por R si (a,b)
Más detallesRELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Dpto. de Matemáticas (Área de Álgebra) 1. Sean X e Y conjuntos. Demostrar: a) X = X Y Y X. b) X = X Y X Y. RELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES
Más detallesOperaciones Booleanas y Compuertas Básicas
Álgebra de Boole El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesMatemáticas Discretas
Matemáticas Discretas Conjuntos (11) Curso Propedéutico 2009 Maestría en Ciencias Computacionales, INAOE Conjuntos (2) Dr Luis Enrique Sucar Succar esucar@inaoep.mx Dra Angélica Muñoz Meléndez munoz@inaoep.mx
Más detallesMATEMÁTICA DISCRETA: Conjuntos, combinatoria y grafos. Roberto J. de la Fuente López. Versión 20110923. (corrección de erratas a versión 20100712)
MATEMÁTICA DISCRETA: Conjuntos, combinatoria y grafos Roberto J. de la Fuente López Versión 20110923 (corrección de erratas a versión 20100712) Índice general PRESENTACIÓN... 5 AVISO DE DERECHOS DE AUTOR...
Más detallesConjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.
Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,
Más detallesÁlgebras de Boole. Juan Medina Molina. 25 de noviembre de 2003
Álgebras de Boole Juan Medina Molina 25 de noviembre de 2003 Introducción Abordamos en este tema el estudio de las álgebras de Boole. Este tema tiene una aplicación directa a la electrónica digital ya
Más detallesCapítulo 1 Lenguajes formales 6
Capítulo 1 Lenguajes formales 6 1.8. Operaciones entre lenguajes Puesto que los lenguajes sobre Σ son subconjuntos de Σ, las operaciones usuales entre conjuntos son también operaciones válidas entre lenguajes.
Más detallesTEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A.
TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN OBJETIVOS GENERALES 1. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura algebraica más simple en la que se ambientarán el resto de las estructuras
Más detallesNÚMERO REAL. 1. Axiomas de cuerpo y propiedades operatorias. Axioma 2 La suma es asociativa:
NÚMERO REAL El conjunto de los números racionales se nos hace insuficiente a la hora de representar con exactitud magnitudes tan reales como la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida 1, por ejemplo, o
Más detallesAPLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES
APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D. I) LOS NUMEROS REALES. Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detalles1. Teoría de Conjuntos
1. Teoría de Conjuntos 1.1. CONJUNTOS Considere las siguientes expresiones: 1. Los estudiantes de la Facultad de Matemática y Computación de la Universidad de La Habana del curso 2001-2002. 2. Los tomos
Más detallesEstructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria.
Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Operación Binaria Se conoce una operación binaria
Más detallesGuía de conjuntos. 1ero A y B La importancia del lenguaje.
Guía de conjuntos. 1ero A y B La importancia del lenguaje. El lenguaje nos permite salir de nosotros mismos y comunicarnos con el mundo; a veces un gesto nos transmite un pensamiento o un sentimiento.
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia
Más detallesPreliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones.
Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. En este tema expondremos nociones y notaciones fundamentales que se emplearán cotidianamente en cualquier desarrollo matemático.
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden
Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido
Más detallesProf. Alberto Escande
CONJUNTOS Prof. Alberto Escande Conjunto es una palabra familiar, que conocemos de cursos anteriores. Una constelación es un conjunto de estrellas; una circunferencia es un conjunto de puntos que verifican
Más detallesNúmeros Reales. MathCon c 2007-2009
Números Reales z x y MathCon c 2007-2009 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Propiedades básicas de los números naturales....................... 2 1.2. Propiedades básicas de los números enteros........................
Más detallesI. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }
I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
Más detallesConjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.
Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma
Más detallesGUÍA PRÁCTICA DE CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL GUÍA PRÁCTICA DE CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS 1. Sean los conjuntos A = {x
Más detallesJosé de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización
José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesFunciones Reales en una Variable
Funciones Reales en una Variable Contenidos Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesVII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesÍndice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones
Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación
Más detalles{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por.
2. Nociones sobre Teoría de Conjuntos y Lógica Para llevar a cabo nuestro propósito de especificar formalmente los problemas y demostrar rigurosamente la correctitud de nuestro programas, introduciremos
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesEjemplo No. 2 Empleando esta notación, los conjuntos del ejemplo anterior se pueden escribir como:
UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS En esta unidad se ofrece una información general sobre los diferentes conjuntos de números que se utilizaran en el desarrollo de este curso. Comencemos con un breve repaso
Más detallesEn matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto se
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que
Más detallesSemana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo
Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie
Más detallesx : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3
3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1.1. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Definición 1.1.1. Sea E un conjunto, se llama ley de composición interna en E si y sólo si a b = c E, a, b E. Observación 1.1.1. 1. también se llama
Más detallesSISTEMAS NUMERICOS. Ing. Rudy Alberto Bravo
SISTEMAS NUMERICOS SISTEMAS NUMERICOS Si bien el sistema de numeración binario es el más importante de los sistemas digitales, hay otros que también lo son. El sistema decimal es importante porque se usa
Más detallesÁlgebra II. Tijani Pakhrou
Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................
Más detalles3. RELACIONES Y FUNCIONES 41 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS... 41 3.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA... 42 3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES...
ÍNDICE 3. RELACIONES Y FUNCIONES 41 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 41 3.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA............ 42 3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES.....................
Más detallesRELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Definición 1.1.1. Sean A, B conjuntos, definimos el par ordenado A coma B, denotado (A, B) como el conjunto (A, B) = {{A}, {A, B}}. Observación 1.1.1.
Más detallesFundamentos algebraicos
Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesA estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Más detalles3. OPERACIONES CON FUNCIONES.
3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos
Más detallesGrupos. 2.1 Introducción. Capítulo
Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesMultiplicación. Adición. Sustracción
bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesHaydee Jiménez Tafur Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Estudiante de maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.
"Otras Alternativas Para La Definición De Relación En Teoría De Conjuntos" Carlos Julio Luque Arias Profesor Universidad Pedagógica Nacional Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Haydee Jiménez
Más detallesTarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4
Tarea 4 Soluciones Extracto del libro Baldor. Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy,
Más detallesTEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.
Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,
Más detallesQué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Más detallesPensamiento numérico del preescolar a la educación básica
Pensamiento numérico del preescolar a la educación básica GilbertoObandoZapata 6 NormaL.VásquezLasprilla 7 Introducción TalcomoloexpresaelMinisteriodeEducaciónNacionalensudocumentosobrelosLineamientos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO 1º) Considérese un número estrictamente positivo del sistema de números máquina F(s+1, m, M, 10). Supongamos que tal número es: z = 0.d 1 d...d s 10 e Responde
Más detallesI. ALGEBRA DE BOOLE. c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a. ( b + c) = a. b + a. c a + ( b. c ) = ( a + b ).
I. I.1 DEFINICION. El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesComo ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.
NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 1 Estructuras algebraicas 1.1 Álgebras binarias Sea A un conjunto no vacío, una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación *: A A A (x, y) x * y es decir, una regla que a cada
Más detalles2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24
2. Probabilidad Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 Contenidos 1 Experimentos aleatorios 2 Algebra de sucesos 3 Espacios
Más detallesAutora: Jeanneth Galeano Peñaloza. 3 de febrero de Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá 1/ 45
Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá 3 de febrero de 2013 1/ 45 Parte I 2/ 45 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto
Más detallesCapitulo 4. Polinomios
Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.
Más detallesConcepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
Más detallesSi un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe: x A.
Conjuntos. Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesTutorial MT-b15. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones
134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b15 Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Relaciones y Funciones Matemática 006 Tutorial Relaciones y Funciones Marco teórico: 1. Producto cartesiano: El producto
Más detallesPolinomios y Fracciones Algebraicas
Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.
Más detallesProyecto Unico Interpretador de SetCalc
Universidad Simón Bolívar Dpto. de Computación y Tecnología de la Información CI3721 - Traductores e Interpretadores Abril-Julio 2008 Proyecto Unico Interpretador de SetCalc A continuación se describe
Más detallesMATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS
Tema 1.- MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría
Más detallesRELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES Y FUNCIONES Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Universidad de Buenos Aires 2002 V 2.01 INDICE 4.- RELACIONES Y FUNCIONES 4.1.- PAR ORDENADO (PO) 4.1.1.- DEFINICIÓN
Más detallesColegio Alpha y Omega Alotenango Sacatepèquez, Guatemala INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN Bienvenido al más actual y moderno sistema de enseñanza de la Matemática. Este sistema rompe con todos los tabús existentes en este campo y hacen de esta materia, un sencillo juego de números,
Más detallesTema 7: ESPACIOS VECTORIALES AFINES
Tema 7: ESPACIOS VECTORIALES AFINES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:
Más detallesRELACIONES BINARIAS. (1, b)} es una relación de A en B. Sea A = {1, 2, 3, 4}. En A se tiene la relación R = {(a, b)/a, b A y a divide a b}:
RELACIONES BINARIAS 1. Relaciones Las relaciones entre elementos de conjuntos se dan en muchos contextos y, en informática, aparecen con frecuencia en programación, bases de datos informáticas, etc. 1.1.
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,
Más detallesGeometría Tridimensional
Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesMINISTERIO DE EDUCACIÓN Concurso Nacional de Matemática Educación Preuniversitaria Curso 2009 2010 Temario por Grados
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Concurso Nacional de Matemática Educación Preuniversitaria Curso 009 010 Temario por Grados Nombre: Grado: Escuela: Provincia: Municipio: Número C.I.: Calif: La distribución de
Más detallesMateria Introducción a la Informática
Materia Introducción a la Informática Unidad 1 Sistema de Numeración Ejercitación Prof. Alejandro Bompensieri Introducción a la Informática - CPU Ejercitación Sistemas de Numeración 1. Pasar a base 10
Más detallesGuía de estudio. Para la primera evaluación de álgebra octavo 2015
Guía de estudio Para la primera evaluación de álgebra octavo 2015 Encontrará una serie de ejercicios que tienen como finalidad hacer un breve repaso sobre lo abordado durante este periodo en clase de álgebra,
Más detallesSISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema decimal
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal Desde antiguo el Hombre ha ideado sistemas para numerar objetos, algunos sistemas primitivos han llegado hasta nuestros días, tal es el caso de los "números romanos",
Más detalles