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1 2. Probabilidad Estadística Ingeniería Informática Curso Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

2 Contenidos 1 Experimentos aleatorios 2 Algebra de sucesos 3 Espacios de probabilidad 4 Combinatoria 5 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos 6 Reglas de la probabilidad total y de Bayes Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

3 Experimentos aleatorios Finalidad de todo experimento: obtener información de interés Experimentos determinísticos: su desarrollo y resultado es previsible, según ciertas reglas Experimentos aleatorios: se realizan en un contexto de incertidumbre, y su desarrollo y resultado no se puede predecir: dependen del azar Los experimentos aleatorios se caracterizan por que: conocemos de antemano todos los posibles resultados que se pueden obtener no podemos predecir el resultado de cada experimento particular pueden repetirse indefinidamente en las mismas condiciones Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

4 Experimentos aleatorios Definición empírica o frecuentista de la probabilidad: Si un experimento aleatorio se repite en las mismas condiciones N veces y anotamos el número de veces n i que se presenta un resultado particular, el cociente n i tiende a estabilizarse en un valor fijo (la probabilidad del N resultado observado) cuando N. no puede usarse en la práctica como definición de probabilidad: se requiere realizar un número infinito de veces un experimento para calcular una probabilidad... se podrían aproximar estas probabilidades realizando el experimento un número suficientemente elevado de veces, pero a veces los experimentos aleatorios no pueden (o no deben) ser realizados ni siquiera un número suficientemente alto de veces Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

5 Experimentos aleatorios Espacio muestral Ω de un experimento aleatorio: conjunto de todos los posibles resultados distintos de dicho experimento Suceso A: cualquier subconjunto del espacio muestral Sucesos elementales: sucesos formados por un único resultado, A = {s} Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

6 Algebra de sucesos Operaciones entre sucesos: Unión: A B = {s Ω : s A, o s B} (sucesos elementales que pertenecen a A o bien a B, incluyendo los que están en ambos simultáneamente) Intersección: A B = {s Ω : s A, y s B} (sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez) sucesos incompatibles: tienen intersección vacía Diferencia: A \ B A B = {s Ω : s A y s / B} (sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B) Complementario: Ā A c = {s Ω : s / A} (conjunto diferencia Ω A) Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

7 Algebra de sucesos Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

8 Algebra de sucesos Ejemplo: (Sucesos y operaciones) Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas al aire. Representamos cara por C y cruz por + el conjunto de los posibles resultados (espacio muestral) sería Ω = {CC, C+, +C, ++}. Ejemplos de sucesos: A = sacar una cara = {C+, +C} B = sacar al menos una cruz = {C+, +C, ++} Operaciones con sucesos: A B = {C+, +C, ++} = B A B = {C+, +C} = A B A = {++} A B = φ A c = {CC, ++} Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

9 Espacios de probabilidad Definición axiomática de la probabilidad Definición rigurosa se establecen leyes o axiomas (menor conjunto posible de reglas tales que las demás se deducen como una consecuencia) que debe cumplir una función de probabilidad Llamamos función de probabilidad a una función P que verifica los siguientes axiomas: A1. Está definida en el conjunto de partes del espacio muestral Ω y toma valores en el intervalo [0,1]: A2. P(Ω) = 1 P : P(Ω) [0, 1], A Ω 0 P(A) 1 A3. Si A 1,..., A n,... son sucesos disjuntos o incompatibles ( i j, A i A j = φ) entonces P( n A n ) = n P(A n) Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

10 Espacios de probabilidad Consecuencias: Propiedades: 1 P(φ) = 0 2 P(A c ) = 1 P(A) 3 Si A B entonces P(A) P(B) 4 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5 P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) i<j P(A i A j )+...+( 1) n+1 P( n i=1 A i) Al espacio (Ω, P) se le denomina espacio de probabilidad Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

11 Espacios de probabilidad Caso simple: Espacio Equiprobable. Ω tiene n posibles resultados diferentes los n resultados tienen la misma probabilidad 1 n de aparecer Regla de Laplace: La probabilidad de un suceso formado por k sucesos elementales A = {a 1,..., a k } es: P(A) = k P(a i ) = i=1 k i=1 1 n = k n = #(A) casos favorables = #(Ω) casos posibles Este procedimiento para hallar la probabilidad de un suceso es correcta sólo en espacios equiprobables Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

12 Combinatoria Para usar la regla de Laplace es necesario contar: el número de resultados posibles de un experimento el número de resultados favorables a un suceso dado El proceso de conteo se simplifica mediante el empleo de permutaciones variaciones combinaciones Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

13 Combinatoria Permutación: ordenación particular de los objetos que forman un conjunto. Ejemplo: (Permutaciones) Para ordenar las letras del conjunto {a, b, c} podemos elegir para la primera posición cualquiera de las tres letras, para la segunda, a cualquiera de las dos restantes y para la tercera, debe seleccionarse la que no se utilizó. Así, existen = 6 maneras en las que se pueden ordenar las tres letras. Estas seis ordenaciones son {abc, acb, bac, bca, cab, cba} Con el mismo razonamiento, el número de permutaciones de n objetos diferentes es P n = n (n 1) (n 2) 2 1 = n! 0! = 1 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

14 Combinatoria Variación: permutación en la que sólo nos interesa escoger r < n elementos. El número de estas variaciones se calcula como sigue. Para la primera posición se puede seleccionar cualquier de los n objetos; para la segunda, uno de los restantes n 1, y se continúa el procedimiento hasta la r-ésima posición, donde ya hemos empleado r 1 elementos y nos quedan n (r 1), a partir de los cuales se hace la selección. Por tanto, el número de variaciones de n elementos tomados de r en r viene dado por: V r n = n(n 1)(n 2) (n r+1) = n(n 1)(n 2) (n r + 1)(n r)! (n r)! = = n! (n r)! Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

15 Combinatoria Combinación: agrupación en la que no nos interesa el orden en que se seleccionan los elementos de un conjunto, sino sólamente los elementos que se escogen. El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r se calcula dividiento el número total de variaciones de n elementos tomados de r en r por r!, dado que en cada combinación existen r! permutaciones: C r n = ( ) n r = n! (n r)!r! Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

16 Combinatoria Ejemplo: (Combinaciones) Se desea escoger un grupo de 5 representantes de una empresa entre 10 hombres y 4 mujeres, de manera que 3 sean hombres y 2 mujeres. El número de maneras diferentes en que se pueden seleccionar tres hombres entre 10 es: ( ) 10 = 10! 3 7! 3! = = El número de maneras diferentes en que se pueden elegir dos mujeres entre 4 es: ( ) 4 = 4! 2 2! 2! = 4 3 = 6 2 Finalmente, puesto por cada combinación de 3 hombres existen 6 combinaciones de mujeres, el número total de agrupaciones que podemos seleccionar es = 720 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

17 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos Ejemplo: (Probabilidad condicionada) Se quiere estudiar qué personas en un grupo de N mujeres y hombres tienen conocimientos de alemán. Se sabe que N A personas (entre ellas, N AM mujeres) saben alemán. Representamos por A el suceso saber alemán, y por M el suceso ser mujer. Si se elige al azar una persona entre todas las del grupo, la probabilidad de que sepa alemán, al ser un experimento equiprobable, es: P(A) = N A N Si se sabe, que la persona seleccionada es mujer, la probabilidad de que sepa alemán, condicionada a que es mujer, es: P(A M) = casos favorables casos posibles (incorporando que es mujer) = N AM N M = N AM N N M N = = P(A M) P(M) Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

18 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos Probabilidad de un suceso A condicionada por un suceso B (o conocido que ha ocurrido el suceso B): P(A B) = P(A B) P(B) Una vez que se sabe que ha ocurrido B, se puede considerar que B es el nuevo espacio muestral la probabilidad condicionada es la proporción de B que representa la parte de A que está en B Obviamente, si el suceso B ha ocurrido, será P(B) > 0 Regla de la multiplicación: Sucesos independientes: P(A B) = P(A B) P(B) La ocurrencia de B no dice nada nuevo acerca de la ocurrencia A: P(A B) = P(A) A, B independientes P(A B) = P(A) P(B) Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

19 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos Ejemplo: (Independencia) Consideremos el lanzamiento de dos monedas; estamos interesados en estudiar la independencia de los sucesos A= obtener cara en el primer lanzamiento = {C+, CC}, y B= obtener un resultado diferente en los dos lanzamientos = {C+, +C}. Se tiene que: P(A) = 2 4 = 1 2, P(B) = 2 4 = 1 2, A B = {C+}, P(A B) = 1 4 por lo que se cumple que: P(A B) = P(A) P(B) y los sucesos son independientes. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

20 Reglas de la probabilidad total y de Bayes En ocasiones, Ω se puede partir en varios sucesos de probabilidad positiva B 1, B 2,..., B r, incompatibles entre sí, es decir, en: r 1 Sucesos exhaustivos: Ω = i=1 2 Sucesos excluyentes: B i B j = φ, para todo i j B i La probabilidad de un suceso A puede calcularse a partir de las probabilidades de A condicionadas por los diferentes sucesos B 1, B 2,..., B r. P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B r ) = = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + + P(A B r )P(B r ) r P(A) = P(A B i )P(B i ) (Regla de la Probabilidad Total) i=1 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

21 Reglas de la probabilidad total y de Bayes Ejemplo: (Regla de la Probabilidad total) En una población, el 40 % son hombres, de los cuales el 80 % son aficionados al fútbol, mientras que sólo el 20 % de las mujeres, son aficionadas al fútbol. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol? El espacio muestral puede dividirse en los sucesos exhaustivos y excluyentes B 1 = hombres y B 2 = mujeres, cuyas probabilidades respectivas son P(B 1 ) = 0,40 y P(B 2 ) = 0,60. Además, A= ser aficionado al fútbol cumple que P(A B 1 ) = 0,80 y P(A B 2 ) = 0,20. Por tanto, utilizando la regla de la probabilidad total: P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) = 0,8 0,4 + 0,2 0,6 = 0,44 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

22 Reglas de la probabilidad total y de Bayes En el mismo caso de un espacio muestral particionado en sucesos exhaustivos y excluyentes B 1,..., B r, reescribimos la probabilidad de B j condicionada por el suceso A, utilizando la regla de la probabilidad total: P(B j A) = P(B j A) P(A) = P(B j A) r P(A B i )P(B i ) i=1 (Regla de Bayes) muy útil para obtener una probabilidad condicionada P(B i A) a partir de las probabilidades condicionadas en el sentido contrario P(A B j ), j = 1,..., r Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

23 Reglas de la probabilidad total y de Bayes Ejemplo: (Regla de Bayes) En el ejemplo anterior, en el que el 40 % son hombres, de los cuales el 80 % son aficionados al fútbol, mientras que sólo el 20 % de las mujeres, son aficionadas al fútbol, si sabemos que una persona elegida al azar resulta ser aficionada al fútbol, cuál es la probabilidad de que fuese una mujer? Aplicando la regla de Bayes, tenemos que: P(B 2 A) = P(mujer aficionada al fútbol) = P(mujer y aficionada al fútbol) P(aficionada al fútbol) = = P(aficionada al fútbol mujer) P(mujer) P(aficionada al fútbol) = 0,2 0,6 0,44 = 0,27 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

24 Apéndice Apéndice: El número de permutaciones con repetición de n elementos distintos, donde el primer elemento se repite r 1 veces, el segundo se repite r 2,... y el n-ésimo se repite r n veces, en grupos de k elementos es: PR r 1,r 2...r n k = (r 1 + r r n )! = r 1!r 2!...r n! k! r 1!r 2!...r n! El número de variaciones con repetición de n elementos distintos tomados de r en r es: VR r n = n r El número de combinaciones con repetición de n elementos distintos tomados de r en r es: CR r n = C r n+r 1 = (n + r 1)! r!(n 1)! Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso / 24

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