Ejemplo No. 2 Empleando esta notación, los conjuntos del ejemplo anterior se pueden escribir como:

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1 UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS En esta unidad se ofrece una información general sobre los diferentes conjuntos de números que se utilizaran en el desarrollo de este curso. Comencemos con un breve repaso de los conceptos básicos sobre teoría de conjuntos. 1.1 CONJUNTOS Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, que pueden ser de distinta naturaleza. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplo No. 1 Son ejemplos de conjuntos los siguientes: Los números: 1,3 7 y 10 Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u Las personas que habitan la tierra. Las ciudades capitales de Europa. 1. NOTACIÓN Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A, B, X, Y. Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, x, y. Al definir un conjunto por medio de la enumeración de sus elementos, se escriben sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves { }. Esta notación es llamada forma tabular de un conjunto, por ejemplo A 1,3,7,10. Pero si se define un conjunto enunciando las propiedades que deben tener sus elementos, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera, por ejemplo B x x es par, lo cual se lee «B es el conjunto de los números x tales que x es par». Se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Ejemplo No. Empleando esta notación, los conjuntos del ejemplo anterior se pueden escribir como: A 1,3,7,10 B a, e, i, o, u C x x es una persona que habita en la tierra D x x es una capital y x esta en Europa Si un objeto x es un elemento de un conjunto A, se escribe x A. Lo cual se lee «x pertenece a A» o «x está en A». Si por el contrario un objeto x no es un elemento de un conjunto A, se escribe x A. Lo cual se lee «x no pertenece a A» o «x no está en A» W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 7

2 Ejemplo No. 3 Si x x es par B, entonces 1 B y 11 B. 1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito. Ejemplo No. 4 Si A es el conjunto de los días de la semana, entonces A es finito. Si B x x es par, entonces B es infinito. C x x es un río de la tierra, entonces C es finito. Aunque es difícil contar los ríos del mundo. Si 1.4 IGUALDAD DE CONJUNTOS El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A B Ejemplo No. 5 Si A 1,,3,4,5 y 1,,3,4,5 1.5 CONJUNTO VACÍO B, entonces A B Un conjunto vacío es un conjunto que carece de elementos y se denota por. Ejemplo No. 6 Si A x x es una persona y x tiene 00 años estadísticas demográficas conocidas. Es decir A, entonces A es un conjunto vacío según las 1.6 SUBCONJUNTOS Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Lo anterior se denota por A B y se lee «A es subconjunto de B» o «A está contenido en B» Ejemplo No. 7 Si A 1,3,5 y 5,4,3,,1 B, entonces A B W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 8

3 Observación: En el caso de que A no sea subconjunto de B se denotara como A B El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto. Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A B y B A 1.7 CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los conjuntos a los que se hace referencia y se denota por U. Ejemplo No. 8 En los estudios sobre población humana el conjunto U es el conformado por todas las personas del mundo. 1.8 CONJUNTOS DISJUNTOS Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos. Ejemplo No. 9 Si A x x es un número positivo y B x x es un número negativo disjuntos., entonces A y B son 1.9 OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B o a ambos. La unión de A y B se denota por A B y se lee «A unión B» o «A unido con B». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es A B. Ejemplo No. 10 Si A a c, y B f g, entonces B A a c, f, g A B Propiedades: A B B A A A B y B A B 1.9. Intersección La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B. La intersección de A y B se denota por A B y se lee «A intersección B» o «A interceptado con B». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente cómo es A B. A B W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 9

4 Ejemplo No. 11 Si A a c, y B f g, entonces A B b, d Propiedades: A B B A A B A y A B B Si A y B son disjuntos, entonces A B Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. La diferencia de A y B se denota por A B y se lee «A diferencia B» o «A menos B». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es la diferencia de dos conjuntos. Ejemplo No. 1 Si A a c, d y B f g, entonces A B a, c A B Propiedades: A B A Los conjuntos Complemento A B, A B y B A son mutuamente disjuntos. El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A, es decir la diferencia del conjunto universal C U y del conjunto A. El complemento de A se denota por A y se lee «complemento de A». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es el complemento de un conjunto. Si Ejemplo No. 13 U N y x x es par Propiedades: A,4,6,8,, entonces A C x x es impar 1,3,5,7, A A C C U U C A C A A A C C U C A A B A B C W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 10

5 1.10 CONJUNTOS NUMÉRICOS El Conjunto de los Números Naturales El primer conjunto de números que el hombre utilizó formalmente fue el conjunto de los números naturales, el cual se simboliza y se define como: N 1,,3,4, Nótese que este conjunto tiene como primer elemento el uno, pero no existe un último elemento. Por esta razón diremos que el conjunto de los números naturales es infinito El Conjunto de los Números Enteros El conjunto de los números enteros, se simboliza y se define como: Z, 4, 3,, 1, 0,1,, 3, 4, El conjunto Z no tiene primer elemento ni último elemento, por lo que se dice que es un conjunto infinito y además se divide en tres subconjuntos: Z Z 0 Z Observación: 1,, 3, 4, 1,,3,4, La anterior clasificación muestra que el cero no es un entero negativo ni positivo. Z Z 0 Z Z N N Z El Conjunto de los Números Racionales El conjunto de los números racionales, se simboliza y se define como: a Q a Z, b Z, con b 0 b Enteros negativos El cero Enteros positivos (los naturales) Donde ba es el cociente, en el cual el numerador y denominador son números enteros, con el denominador diferente de cero. Es decir, la división por cero está excluida (no está definida), eliminando la posibilidad de dividir por cero. Observación: Según la definición de Q, todo número entero es un número racional, es decir Z Q Z Z Q Z Z Q Todo número racional se puede representar por una expansión decimal periódica finita o por una expansión decimal infinita periódica (o simplemente por una expansión decimal periódica). W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 11

6 El Conjunto de los Números Irracionales Los números con expansiones decimales infinitas no periódicas (aperiódicas) reciben el nombre de números irracionales. El conjunto de los números irracionales, se simboliza y se define como: I x x no es un número racional Las representaciones decimales para números irracionales son siempre infinitas no periódicas, por ejemplo: 1, e El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos, es decir Q I El Conjunto de los Números Reales La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales determina un nuevo conjunto de números que se denomina el conjunto de los números reales, el cual se simboliza y se define como: R Q I Observación: Q R I R El conjunto de los números reales se puede colocar en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los puntos de una recta l. Es decir, a cada número real se le hace corresponder un punto de la recta l y a cada punto de la recta l se le hace corresponder un número real, tal como se muestra en la figura: A B a b l Números reales negativos Números reales positivos La representación gráfica de los números sobre la recta real, implica un orden entre los números reales y la división en tres subconjuntos así: R R 0 R Reales negativos El cero Reales positivos W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 1

7 El Conjunto de los Números Complejos El conjunto de los números complejos, se simboliza y se define como: C a bi ar,b R El número a se denomina parte real, bi se denomina parte imaginaria e i se denomina unidad imaginaria, con i Diagrama Lineal de los conjuntos Numéricos Números complejos Números reales Números racionales Números irracionales Números enteros Enteros negativos El cero Números naturales En el siguiente diagrama también se observa la manera como se encuentran organizados y estructurados todos los números reales: 1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Propiedades de la adición Propiedad conmutativa: Si a R y b R, entonces a b b a Propiedad asociativa: Si a R, b R y c R, entonces a b c a b c Elemento neutro: Para todo a R existe el numero 0 R tal que a 0 0 a a Inverso aditivo: Para todo a R existe el numero a R a a a a tal que 0 Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa: Si a R y b R, entonces a b ba Propiedad asociativa: Si a R, b R y c R, entonces a b c a bc Elemento neutro: Para todo a R existe el numero 1 R tal que a1 1a a 1 1 Inverso multiplicativo: Para todo a R, con a 0 existe el numero R tal que a 1 a 1 a a a W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 13

8 Propiedad distributiva Si a R, b R y R Propiedad del doble negativo c, entonces ab c ab ac Para cualquier número real a, se tiene que a a Propiedad de la resta de números reales a b a b Productos donde interviene el cero Para todo número real a se cumple que a 0 0a 0 Si ab 0, entonces a 0 o b 0 Propiedades de los cocientes a 1 a b a b b a c Si entonces ad bc b d a a a b b b a c a c b b b a c ad bc b d bd a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc a ad bc b c d Actividad No Dados los conjuntos x x 3x 0 A, B 1,3 y C 1,. Si A x x 6 y b 3 es b A? 3. Si B x, y, z. Diga cuales de las afirmaciones siguientes son correctas: a. x B b. y B 4. Exprese los siguientes conjuntos de forma tabular: x N x 1 0 c. z B d. z B a. A b. B x Q x 3 Cuáles son iguales? W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 14

9 c. C x Q x 3 d. D x R x Cuáles de los siguientes conjuntos son finitos y cuales infinitos: x x es par a. b. 1,,3,,99, Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos: A x x x e. E x Z x 4 0 f. F x C x 1 0 c. x x es un ser humano d. 1,,3, a. c. C x x es un ser humano inmortal b. B x x 8 8 d. D x x 3x 7. Si A x, y, z, Cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son? 8. Sea U 1,,3,4,5,6,7,8,9, A 1,,3,4 y B,4,6,8, determine A B, A B, A B, A C C A y B. 9. Indique cuál de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos: a. 7 N d. 6 Q g. 3 8 N C 1 b. Q e. Z h. R c. 4 Z f. 5 C i. 4 R Actividad No. 1. Porque no existe elemento neutro para la adición en el conjunto de los Números Naturales?. Cuáles operaciones son cerradas en el conjunto de los Números Naturales? 3. Existe elemento neutro para la multiplicación en el conjunto de los Números Naturales? Si existe, Cuál es? 4. Existen los inversos aditivos y multiplicativos en el conjunto de los Números Naturales? 5. Tiene la ecuación 5 x 3 alguna solución en el conjunto de los Números Naturales? Justifique. 6. Tiene la ecuación x 7 alguna solución en el conjunto de los Números Enteros? Justifique. 7. Tiene la ecuación x 0 alguna solución en el conjunto de los Números Racionales? Justifique. A x N x 10 7 entonces A? Por qué? 8. Si 9. Conteste Falso o Verdadero, pero cuando conteste Falso dé un contraejemplo: a. Todo número real es racional. b. Todo número entero es un racional. c. Todo número entero es natural. d. Todo número racional es entero. e. Todo número entero es irracional. f. Todo número real es complejo. g. Todo número complejo es real. W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s Página 15 B,