Probabilidad y Estadística Descripción de Datos

Transcripción

1 Descripción de Datos Arturo Vega González Division de Ciencias e Ingenierías Universidad de Guanajuato Campus León Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 1 / 19

2 Contenido 1 Teoria de 2 Probabilidad Probabilidad Condicional Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 2 / 19

3 Conjunto colección de elementos u objetos definidos en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colección Cuando un elemento x 1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x 1 A. En caso de que un elemento y 1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y 1 / A Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 3 / 19

4 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensión : Enumerar los elementos Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 4 / 19

5 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensión : Enumerar los elementos Comprensión : Se definen a través de una condición A = {x x es par } Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 4 / 19

6 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensión : Enumerar los elementos Comprensión : Se definen a través de una condición A = {x x es par } Diagramas de Venn Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 4 / 19

7 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensión : Enumerar los elementos Comprensión : Se definen a través de una condición A = {x x es par } Diagramas de Venn Descripción verbal : Enunciado que describe la característica que es común para los elementos Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 4 / 19

8 A B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 5 / 19

9 A B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 5 / 19

10 A B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : número de elementos que posee el conjunto Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 5 / 19

11 A B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : número de elementos que posee el conjunto φ o {}: Conjunto vacío (no posee elementos) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 5 / 19

12 A B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : número de elementos que posee el conjunto φ o {}: Conjunto vacío (no posee elementos) U : Conjunto universal (contiene todos los elementos bajo consideración) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 5 / 19

13 Conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados. A = {x x es el nombre de un día de la semana } B = {x x es la cantidad de estudiantes en la DCI } Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 6 / 19

14 Conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados. A = {x x es el nombre de un día de la semana } B = {x x es la cantidad de estudiantes en la DCI } Conjunto infinito: es aquel cuyos elementos no pueden ser contados A = {x x es par } B = {1, 3, 5, 7, 9, 1, } Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 6 / 19

15 Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento. Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos. Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 7 / 19

16 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A B A B = {x x A o x B} Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 8 / 19

17 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A B A B = {x x A o x B} La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecena B : A B A B = {x x A y x B} Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 8 / 19

18 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A B A B = {x x A o x B} La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecena B : A B A B = {x x A y x B} Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 8 / 19

19 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A B A B = {x x A o x B} La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecena B : A B A B = {x x A y x B} Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A : A o Ā, entonces: (A ) = A, φ = U, U = φ Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 8 / 19

20 La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A B A B = {x x A y x B} U A B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 9 / 19

21 Del diagrama de Ven anterior se deduce que: A B = A B A B = φ sí y sólo sí: A B A B = B A sí y sólo sí: A = B A B = A sí y sólo sí: A B = φ (A B) A A φ = A A B = B A Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 10 / 19

22 Propiedades: Identidad A φ = A A U = U A U = A A φ = φ Idempotencia A A = A A A = A Complemento A A = U A A = φ Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 11 / 19

23 Propiedades: Asociativas (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Comnutativas A A = B A A B = B A Distributivas A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 12 / 19

24 Leyes D Morgan Propiedades: El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos. (A B) = A B El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos (A B) = A B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 13 / 19

25 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional La probabilidad Condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se representa mediante P (A B), ( probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B). Ω B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 14 / 19

26 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional Como únicamente conocemos el evento B, la probabilidad de que exista A está dada por la posible intersección del evento A con el evento B. Ω A B Entonces P (A B) = n A B /n B con n A B como el número de elementos en la intersección de A con B, mientras que n B es el numero de elementos en el evento B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 15 / 19

27 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional Dividiendo entre n Ω y aplicamos el concepto de probabilidad y teoria de conjuntos, entonces P (A B) = (n A B /n Ω )/(n B /n Ω ) = P (A B)/P (B) También lo podemos escribir como: P (A B) = P (AB)/P (B) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 16 / 19

28 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional Algunas propiedades: Si B A entonces P (A B) = 1 Si A B entonces P (A B) = P (A)/P (B) P (A) Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 17 / 19

29 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad Conjunta Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos. De la expresión P (A B) = P (A B)/P (B) se pude despejar P (A B) = P (A)P (B A). Esta expresión es llamada Ley de multiplicación de probabilidades. P (A B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B. Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 18 / 19

30 Probabilidad Probabilidad Condicional Probabilidad de eventos independientes Si los eventos A y B son independientes entre sí, entonces la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad condicional sería igual a la probabilidad de que ocurra cualquier P (A B) = P (A) y P (B A) = P (B). Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta, se tiene que P (A B) = P (A)P (B), siempre y cuando A y B sean eventos independientes entre sí y se le denomina Ley de multiplicación de eventos independientes. Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 19 / 19