Guía de estudio Introducción a la teoría de conjuntos Unidad A: Clase 4

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1 Guía de estudio Introducción a la teoría de conjuntos Unidad A: Clase 4 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Teoría de conjuntos 3.1 Introducción La palabra conjunto será uno de los términos básicos no definidos. En lo que sigue se tratará de aclarar y precisar la idea intuitiva de conjunto de objetos por medio de ejemplos y nociones relacionadas. Los objetos que integran un conjunto se llaman elementos de ese conjunto. Para indicar que un objeto a es elemento de un conjunto A se escribe a A que se lee a pertenece a A o a es elemento de A. Si por el contrario, el objeto a no es elemento del conjunto A se escribe a A, que se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Como se ha visto en el ejemplo anterior las letras mayúsculas se utilizan para representar conjuntos, mientras que las minúsculas para representar elementos. Ejemplos de conjuntos El conjunto A de todos los habitantes de Medellín (Cuyos elementos son todos los habitantes de Medellín y solo ellos). El conjunto N de todos los números naturales. El conjunto C cuyos elementos son 10, 12, y 45. El conjunto S de todos los números naturales mayores que 54 y menores que Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Félix Ruiz de Villalba. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: feruvi@yahoo.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 18

2 3.2 Algunos conjuntos importantes Conjunto universal: Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio o conjunto referencial. Se representa por U. Conjunto vacio: Es el conjunto que carece de elementos. Se denota por. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que solo contiene un elemento. 3.3 Inclusión y subconjuntos Se dice que un conjunto A está incluido en B, o es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A es elemento de B. Como equivalentes se pueden utilizar las siguientes expresiones. A es parte de B A está contenido en B B contiene a A B incluye a A Notación: Para expresar que el conjunto A es subconjunto del conjunto B se escribe indistintamente A B o B A, que se lee A está incluido en B y B incluye a A. Las negaciones de las relaciones anteriores se escriben como A B, que se lee A no está incluido en B, y significa que existe un elemento en A que no está en B. Propiedades de la inclusión 1. A. El vacío es subconjunto de cualquier conjunto. 2. Propiedad reflexiva. A A Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. 3. Propiedad transitiva ( A B B C) A C. Relaciones de igualdad Dos conjuntos son iguales si y sólo si todos los elementos que los conforman son iguales. Simbólicamente: A = B A B B A A = B ( x)( x A x B) 19

3 Propiedades de la igualdad de conjuntos Reflexiva: A = A Simétrica: A = B B = A Transitiva: si A = B B = C A = C 3.4 Operaciones entre conjuntos Unión: Sean A y B dos conjuntos. Se llama unión de A y B al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A, al conjunto B o al tiempo a A y a B. Observación: La conjunción o se emplea aquí en sentido no restringido, es decir un elemento que pertenece simultáneamente a A y a B también pertenece a la unión. La unión de dos conjuntos A y B se designa con A B, en forma abreviada se puede escribir: { : o } A B = x x A x B Intersección: Sean A y B dos conjuntos. Se llama intersección de A y B al conjunto de elementos que pertenecen a la vez a A y a B. Observación: La intersección de los conjuntos A y B se designa con A B, en forma abreviada se puede escribir. { : y } A B = x x A x B Complemento: El complemento de un conjunto A corresponde a todos los elementos que están en conjunto universal que no están en A. 20

4 { } c A' = A = x : x U, x A Diferencia: Sean A y B dos conjuntos. Se llama diferencia de A y B al conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. Observación: La diferencia de A y B se designa con A B, en forma abreviada se puede escribir: A B = { x : x A, x B} Que esquemáticamente es: De manera similar la diferencia de B y A se designa con B A, en forma abreviada se puede escribir. B A { x : x B, x A} esquemática sería: =, que de manera Nota: Debe tenerse en cuenta el hecho de que U B = B Diferencia simétrica: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica de A y B al conjunto ( A B)( A B). La diferencia simétrica de A y B es entonces el conjunto de puntos que pertenecen a A o B, pero no a ambos a la vez. Observación: Se designa con A B a la diferencia simétrica de A y B. 21

5 3.5 Número de elementos de un conjunto El número de elementos de un conjunto finito A se denota por n ( A ) y se obtiene de la forma: n( A B) = n( A) + n( B) n( A B) A la suma de los elementos de A y de B se le deben restar los elementos comunes con el fin de no realizar una doble cuenta. Si se trata de tres conjuntos tenemos n( A B C ) = n( A) + n( B) + n( C ) n( A B) n( B C ) n( A C ) + n( A B C ) Ejemplo 1 En el colegio se dictan clases de preparación para las pruebas Saber. 80 estudian Matemáticas y 55 castellano. 25 de ellos estudian ambas materias. Cuántos Estudiantes se están preparando para las pruebas Saber? Solución n( M C ) = n( M ) + n( C ) n( M C ) = = 110 Ejemplo estudiantes realizan los cursos de matemáticas, lenguaje y ciencias. 2 estudiantes perdieron las tres materias, seis perdieron matemáticas y lenguaje, 5 perdieron lenguaje y ciencias, 8 perdieron matemáticas y ciencias, 29 perdieron matemáticas, 32 perdieron lenguaje y 36 perdieron ciencias. a. Realice un diagrama de Venn b. Cuántos estudiantes aprobaron las tres materias?. Rta 20. c. Cuántos estudiantes perdieron ciencias y alguna otra materia? Rta:11 d. Cuántos perdieron al menos una materia: Rta 80. e. Cuántos perdieron Matemáticas y Ciencias pero no Lenguaje?. Rta 6 E 22

6 Referencias Uribe Calad, Julio A. Matemáticas básicas y operativas. Susaeta. Primera edición Sobel, Max A. y Lerner, Norbert. Precálculo. Pearson. Sexta edición México. ISBN Páginas