Teoría de Conjuntos. Conjunto es: colección de cosas, o una colección determinada de objetos.

Transcripción

1 Teoría de Conjuntos Apuntes Fernando Toscano tomados por A.Diz-Lois La teoría de conjuntos es una herramienta formal semántica que trata de dotar de significado, o lo que es lo mismo dotar de interpretación. Sirve para formular cualquier teoría matemática, nosotros la vamos a utilizar para la semántica de la lógica de primer orden LPO. Conjunto es: colección de cosas, o una colección determinada de objetos. A = { a, b, c, d, e, f} es el conjunto A B = { a, b, c, g, h, i, j} es el conjunto B Para definir un conjunto se puede hacer: a) por extensión nombrando todos sus elementos b) por intensión o comprensión designando las propiedades que cumplen los elementos. Hay conjuntos que solo podemos definir por intensión o comprensión como el conjunto de números naturales, enteros, pares, complejos, reales, etc. A) Elementos, propiedades y relaciones que se dan en los conjuntos:.- Relación de pertenencia: a A Solo elementos, nunca conjuntos. Se dá cuando el elemento está o no en el conjunto ocurre. s: a A, b A, d B.- Cardinalidad: Es el número de elementos que se dan en un conjunto. Se representa entre dos barras s: A = 6 B = 7.- Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no contiene ningún elemento y por tanto = 0. Se representa por o por {} 4.- Relación de inclusión o subconjunto: Cuando tenemos dos conjuntos y uno está incluido completamente en el otro. si tememos C = { a, b} C A también que, A A, X, pero NO A B ni B A ni A C 5.- Igualdad de conjuntos: = Ambos contienen idénticos elementos A = A pero no A = B Notas: En la teoría de conjuntos no tiene sentido el orden entre los elementos. Tampoco tiene sentido decir que pertenece dos veces, su representación es única. Los conjuntos usuales numéricos son naturales (contar objetos), enteros (naturales sin 0 y negativos), racionales (cociente entre entero y natural positivo), reales (racionales e irracionales) y complejos (reales +imaginarios). Unos son subconjuntos de otros N Z Q R C. Lo que significa N < Z < Q < R < C.

2 Ejercicio de ejemplo Sea A = {{ }, a, {b, c}, {a}} su cardinalidad A = 4 { } A verdadero A Falso, en el conjunto A no está el elemento sino { } luego A A verdadero { a, {a}} A Falso no hay un elemento {a, {a}} que esté en A, no es ninguno de los cuatro. Luego { a, {a}} A { a, {a}} A verdadero {a} A verdadero x q hay un elemento {a} elemento 4º {a} A verdadero x q hay un elemento a y por tanto {a} es subconjunto elem. º B) Algebra de conjuntos: Son operaciones entre conjuntos:.- Unión.- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A y de B. Formulación: A B = {x (x A) v (x B)} A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i,j} A B = 0 mientras A = 6 y B = 7.- Intersección.- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Formulación: A B = {x (x A) ^ (x B)} A B = {a, b, c} luego A B =.- Diferencia.- - La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A - B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Formulación: A - B = {x (x A) ^ (x B)}ó A - B = {x (x A) ^ (x B)} A - B = {d, e, f} B - A = {g, h, i, j} 4.- Complementario.- Ā El complementario de un conjunto A es el conjunto Ā que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial, U) que no pertenecen a A. Formulación: A, Ā = { x U x A} Dado U las 0 primeras letras del abecedario, Ā = {g, h, i, j} y Bc = {d, e, f} y ( A B)c = {} o y (A B)c = {d, e, f, g, h, i, j} 5.- Partes de un conjunto (conjunto potencia).- P (A) Es un conjunto con todos los subconjuntos del conjunto. Formulación P (A) = {x x A} P (A) = {{a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f}, {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{b,c},{b,d},{b,e},{b,f}, {c,d},{c,e}{c,f},{d,e},{d,f},{e,f},{a,b,c},{a,b,d}...,, {a,b,c,d,e,f}} Luego P (A) = A = 6 =

3 64, la cardinalidad del conjunto potencia es elevado a la cardinalidad del conjunto base. 6.- Producto cartesiano.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A Bque contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B. Formulación A x B ={ (x,y) (x A) ^ (y B)} En los conjuntos no hay orden pero para hablar de relaciones sí hace falta el orden como estructura que se obtiene a través de relaciones. En particular en el producto cartesiano. Son todas las posibles parejas pero siempre con el orden A > B, luego A x B B x A Dado A = {,,} y B = {a,b} Ax B = {(,a),(,b),(,a), (,b), (,a), (,b)} y B x A = {(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,)} Y A x B = A x B =. = 6 Otros: - A x = x A = A x A = A A x B x C = {(x,y,z) ( x A) ^ (y B) ^ (z C)} A x B x C x D = {(x,y,z,u) ( x A) ^ (y B) ^ (z C)^( u D)} A x A x A = A AxAxAxA = A 4 (tupla) (n-tupla) o (n-pla) Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano. 7.- Relación: Sean A, A, A, A 4,...A n conjuntos, una relación n-aria sobre estos conjuntos donde R A xa x A xa 4,...xA n Dado A = {,,} y B = {a,b} la relación R binaria en A,B R = {(,a),(,b),(,a), (,b), (,a), (,b)} R = {(,a),(,b), (,b)} A x B R' = A x B R'' = {(,a)} A x B La relación T en A : T = {(,), (,)} T A Propiedades en relaciones binarias en A x A: R A R es reflexiva syss (x,x) R Ұ x A (nota: Ұ = para todo) R es simétrica syss (x,y) R (y, x) R R es transitiva syss (x,y) R ^ (y,z) R (x, z) R La relación con las tres propiedades es una relación de equivalencia. La relación de igualdad también las cumple, es reflexiva (a = a), simétrica (a = b, b = a) y transitiva (a = b, b = c > a = c) La relación tener la misma cardinalidad también es equivalente porque tiene las tres propiedades.

4 8.- Noción de Función.- Una función f de A, A, A, A 4,...A n a B es una relación f A xa x A xa 4,...xA n x B tal que para cada elemento (a, a,...a n ) de A xa x A xa 4,...xA n existe un único elemento b de B tal que (a, a,...a n,b) f. f : A, A, A, A 4,...A n B A = {,,} B = {a,b} a b funcion a b No es funcion f : A B f () = a f () = b f () = b elemento de B f = {(,a), (,b), (,b)} es función La funcion de cada elemento del primero devuelve un único valor del segundo {(,a), (,b), (,a), (,b)}no es función porque tiene dos relaciones con un Es un conjunto de pares (o tuplas) ordenados. La función es un tipo especial de relación en la que para cada uno y solo uno de la relación cartesiana un elemento de la función. A cada elemento del primer conjunto se le asigna uno y solo uno del segundo. A = {,,} B = {a,b} C = {e, f} g: B x C A g B x C x A g = {(a,e,), (a,f,),(b,e,),(b,f,)} C) Idea de formalización del lenguaje en LPO: Todo A es B... A B... A B = Ningún A es B... A B... A B = Algún A es B... A B...NO A B Algún A no es B... A B NO A B 4

5 Ejercicios: EP-6 (4) Indicar si se cumplen las afirmaciones para cualesquiera conjuntos A y B: (a) A B A ; SI, la intersección de cualquier conjunto es subconjunto de cualesquiera de los conjuntos que se interseccionan. Sea x un elemento que pertenece a la intersección, entonces dado que la intersección contiene elementos tanto de A como de B, cualquier elemento de la intersección es tanto de A como de B y por tanto x pertenece a A. (b) Si A B entonces A B = B; NO siempre, ya que eso solo se cumplirá si A = B; B puede ser más amplio que A y en ese caso no se cumpliría. (c) A A B; SI cualquier conjunto es subconjunto de la unión de si mismo con otro conjunto. (d) A (A B) = B ; NO solo se cumplirá si A = B, ya que la intersección de A con cualquier cosa podrá considerarse incluida o subconjunto pero no identidad, la identidad solo será con A, no con B. es decir A (A B) = A sí es cierto siempre. (e) Si A B entonces A B = A; SI se cumple en todo caso que la intersección de un conjunto con su subconjunto es al menos ese subconjunto. (f) Si A B entonces A B = B; SI se cumple que la unión entre un conjunto y su subconjunto será como máximo el conjunto. EP-6 (5) Considerar los pares de conjuntos siguientes: (a) A = {,,, {}} y B = {, {}} (b) A= {} y B = {A, {A}} (c) A = - {,} y B = (d) A = y B = P (A) (e) A = {(,), (,)} y B = {(, )} Indicar si en cada uno de ellos se cumplen las afirmaciones -5: (a) (b) (c) (d) (e) () A B NO SI NO SI NO () A {B} NO NO SI NO NO () A B NO NO SI SI NO (4) {A} B NO SI NO NO NO (5) B A SI NO SI NO SI comentarios: Que A = también es A = { } A = - {,} es lo mismo que A = { - {,}} B = P (A) es lo mismo que B = {P (A) } 5