MATEMÁTICAS BÁSICAS. 2 de marzo de Universidad Nacional de Colombia MATEMÁTICAS BÁSICAS

Transcripción

1 2 de marzo de 2009

2 Parte I Conjuntos

3 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {a, e, i, o, u} B = {blanco, gris, negro} C = {2, 4, 6, 8, 9} D = {x x es un país de América Latina}

4 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.

5 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.

6 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos A = {x x es un número primo menor que 50} A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

7 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos B = {x x es un entero mayor que -3} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}

8 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos C = {x x es un número par y primo} C = {2}

9 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5}

10 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }.

11 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }. OJO { } NO es el conjunto vacío, es un conjunto con un elemento.

12 Pertenencia Definición Consideremos una relación binaria denotada por, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a A. En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a / A.

13 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto hay un conjunto de referencia? letras? colores? reales? naturales? A = {x x es primo }, El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjunto lo tomamos como conjunto universal.

14 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : R U : Z U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional U : Habitantes de Colombia

15 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. En otras palabras ( x)(x A x B). Para decir que A B negamos la proposición anterior así: ( x)(x A x B) ( x)(x A x / B)

16 Subconjuntos B U A Figura: A B

17 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Pues de no ser así, existiría x tal que x / A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos.

18 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Pues de no ser así, existiría x tal que x / A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos.

19 Subconjuntos Si A B y B C entonces A C. Veamos { ( x)(x A x B) = ( x)(x A x C) ( x)(x B x C)

20 Igualdad entre conjuntos Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. En otras palabras ( x)(x A x B)

21 Subconjuntos Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tenemos que B A, pero C A.

22 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A}. Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.

23 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A}. Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.

24 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}.

25 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}.

26 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}.

27 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}.

28 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a, b, c}. P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

29 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a, b, c}. P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

30 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2 n elementos.

31 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2 n elementos.

32 Operaciones entre conjuntos Unión Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como A B := {x x A o x B}.

33 Unión A B U Figura: A B

34 Intersección Intersección Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y B como A B := {x x A y x B}.

35 Intersección A B U Figura: A B

36 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A A A = A A A = A

37 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

38 Complemento Definición Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como A = {a U a / A}. El complemento de A se nota por A o por A C.

39 Complemento U A A Figura: A

40 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A (A B) = A B (A B) = A B

41 Diferencia Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como A B = {x x A x / B}

42 Diferencia A B U Figura: A B

43 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A A B = A si y sólo si A B = A B = si y sólo si A B

44 Diferencia Ejercicio Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 6} y C = {3, 5, 7}. Encuentre A B B A (A B) C

45 Diferencia Simétrica Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica de A y B como A B = (A B) (B A)

46 Diferencia Simétrica A B U Figura: A B

47 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A A A = Si A B entonces A B = B A

48 Producto Cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado por A B como A B := {(a, b) a A b B}. Los elementos de A B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) (b, a). Así B A = {(b, a) b B a A}

49 Producto Cartesiano Ejercicio Sean A = {1, 5, 9} y B = {6, 7}. Encuentre A B B A

50 Producto Cartesiano Propiedades A B es igual a B A?

51 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} entonces n(b) =

52 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} entonces n(b) = 5

53 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto cartesiano Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = n(a) n(b) = n(b) n(a) = ab.

54 Producto Cartesiano Ejercicios Encuentre el número cardinal en cada caso Si n(a B) = 36 y n(a) = 12, encuentre n(b) Si n(a B) = 100 y n(b) = 4, encuentre n(a)

55 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} La unión de A y B es A B = {x x A x B} La intersección de A y B es A B = {x x A x B} La diferencia de A y B es A B = {x x A x / B} La diferencia simétrica de A y B es A B = {x (x A x / B) (x / A x B)}

56 Resumen Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B (A B) = A B (A B) = A B

57 Conjuntos Ejercicio Cierta empresa entrevistó a 140 personas en un centro comercial de un suburbio con el fin de averiguar algunas de sus costumbres para cocinar, y obtuvo los siguientes resultados. 58 utilizan horno microondas, 63 utilizan hornillas eléctricas, 58 utilizan gas, 19 utilizan microondas y hornillas eléctricas, 17 utilizan microondas y gas, 4 utilizan tanto gas como hornillas eléctricas, 1 utiliza los tres, 2 cocinan sólo con energía solar, Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos.