ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Transcripción

1 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1 CONJUNTO EJEMPLOS NOTACIÓN NOTACIÓN TABULAR O POR EXTENSIÓN DE UN CONJUNTO Cuando se define el conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos separándolos por comas y encerrándolos entre llaves. EJEMPLO NOTACIÓN CONSTRUCTIVA O POR COMPRENSIÓN DE UN CONJUNTO Cuando se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos. EJEMPLO

2 RELACIÓN ELEMENTO CONJUNTO 2 IGUALDAD DE CONJUNTOS CONJUNTO VACÍO El conjunto que no tiene elementos se denota por { } o por el símbolo y se denomina conjunto vacío. SUBCONJUNTOS Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B y se nota A B. SUBCONJUNTO PROPIO A es subconjunto propio de B si A es subconjunto de B, pero A no es igual a B. IMPORTANTE: para todo conjunto A se tiene que A. SUPERCONJUNTO A es un superconjunto de B si B es un subconjunto de A, se nota CONJUNTO UNIVERSAL A B. En toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y se notará con U. DIAGRAMAS DE VENN En un diagrama de Venn, el conjunto universal se representa mediante un rectángulo, y el conjunto de interés, digamos A, se representa mediante el interior de un círculo o cualquier otra curva cerrada simple dentro del rectángulo.

3 CONJUNTOS COMPARABLES 3 Dos conjuntos A y B son comparables si subconjunto del otro. A B o B A, esto es, si uno de los conjuntos es CONJUNTO DE CONJUNTOS Cuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de subconjuntos de A. En estos casos se les suele llamar Familia de Conjuntos o Clase de Conjuntos. CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto potencia de A. Se nota por A 2 o también P (A). EJEMPLO Sea A = { a, b} entonces P ( A) = {, { a, b},{ a},{ b } DIAGRAMAS LINEALES EJERCICIO 1. EJERCICIO 2. EJERCICIO 3. Haga un diagrama lineal con los conjuntos A, B, C y D del ejercicio 2.

4 EJERCICIO 4. 4 EJERCICIO 5. Haga un diagrama lineal con los conjuntos A, B, C, D y E del ejercicio 4. OPERACIONES CON CONJUNTOS. UNIÓN DE CONJUNTOS EJEMPLO INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

5 EJEMPLO 5 DIFERENCIA DE CONJUNTOS También se conoce como complemento de B con respecto a A. EJEMPLO COMPLEMENTO También se nota con A o con A. EJEMPLO A' = { x x U y x A} TEOREMA Sean p y q dos proposiciones, y sean P y Q los conjuntos de verdad de tales proposiciones. Entonces: i) P Q es el conjunto de verdad de p q.

6 ii) P Q es el conjunto de verdad de p q iii) P o P el complemento de P, es el conjunto de verdad de p iv) El conjunto de verdad de p q es P Q, el complemento de P unido a Q, ya que p q p q 6 LEYES DE MORGAN i) ( A B) ( A) ( B) ii) ( A B) ( A) ( B) EJERCICIO 6 Complete las siguientes afirmaciones EJERCICIO 7.

7 EJERCICIO 8. 7 EJERCICIO 9. CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO Sea A un conjunto que posee n elementos distintos, siendo n un número natural. Entonces se dice que A es un conjunto finito y tiene como cardinal n. El cardinal de un conjunto A se nota A o también #A. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN EXCLUSIÓN Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera, se tiene A B = A + B A B EJEMPLO EJERCICIO 10.

8 8

9 9 Desarrollodelpensamientomatem atico Ejercicios Simbolizar las siguientes proposiciones lógicas 1. Carlos no es cumplido o Fernando llega tarde 2. Si c = 3 y c + k = 9 entonces k = 6 3. Andrea juega con Mauricio y Jorge estudia matemáticas 4. Si A = 2 y F = 7 entonces A + F = 9 5. Si hoy es domingo, hay ciclovia. 6. Si Diego tiene 27 años y Angela es 2 años menor, entonces Angela tiene 25 años 7. En la actualidad se practica el spinning como un depodrte o como un método de hacer ejercicio para mantenerse en forma. Determine el valor de verdad 1. Si x + p = 20 y p = 2 entonces x = Si x + f = 18 entonces f = 9 3. x + y = 10 y x > 11 y x Z + 4. (k)(1) = k o k 2 = k 1 Resolver los siguiente s ejercicios aplicando las reglas. 1. X es un número impar o primo. X no es un número primo. 2. No nos despedimos ahora. Si no nos despedimos ahoram entoncees no terminaremos nuestra relación. Nos despediremos ahora y no vamos a comer. 3. Si Andrea es modelo, entonces ella es hermosa. Ana Sofía es la modelo más bella. Natalia París no es tan hermosa. Tatiana De Los Rios tambien es bella. Si Andrea es hermosa, es presentadora de TV. Andrea es modelo. Desmostrar que Andrea es presentadora de TV. 4. Si David Andrés es el profesor. Laura no está en clase de lógica. El viejo Gus es el profe. Laura estpa en clase de lógica. Janneth no está en clase. Demostrar que David Andrés no es lel profesor.

10 10 Desarrollodelpensamientomatem atico En una encuesta de 100 profesores universitarios, se encontró que: 32 leen el periodico El Tiempo 20 leen Nuevo Día 45 leen Tolima 7 Días 15 leen El Tiempo y Tolima 7 Días 7 leen El Tiempo y Nuevo Día 10 leen Tolima 7 Días y Nuevo Día 30 no leen ninguno de los tres periódicos Dibujar el diagrama de Venn correspondiente y determinar matematicamete 1. Cuantos profesores leen exactamente un periódico 2. Cuantos profesotes leen los tres periódicos 3. Cuantos leen más de un periódico 4. Cuantos leen el periódico.

11 CONJUNTOS Y OPERACIONES Unión de conjuntos 11 Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa por A B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h} A B = {a, b, c, d, e, h} Ejemplo 2. C = {personas rubias}, D = {personas altas}. C D = {personas rubias o altas} Intersección de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de ambos, y se representa por A B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez a A y a B. Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h}. A B = {c, d}. Ejemplo 2. C = {personas rubias}, D = {personas altas}. C D = {personas rubias y altas}

12 12 Intersección de conjuntos Si dos conjuntos A y B no tienen en común ningún elemento, se dice que son disjuntos, y verifican A B =. Ejemplo. A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g, h, i, j}. A B =. En el caso de conjuntos disjuntos se verifica que card(a B) = card(a) + card(b). Complementario de un conjunto Sea A U, llamamos complementario de A al conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por y también por y En símbolos: = {x U : x A}. Ejemplo. U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, c, f, g, h} = {b, d, e}

13 13 Propiedades de la unión Se verifican las siguientes propiedades: 1. Idempotente: A A = A 2. Conmutativa: A B = B A 3. Asociativa: (A B) C = A (B C) 4. Elemento neutro: A = A = A 5. Elemento universal: A U = U A = U Propiedades de la intersección Se verifican las siguientes propiedades: 1. Idempotente: A A = A 2. Conmutativa: A B = B A 3. Asociativa: (A B) C = A (B C) 4. Elemento neutro: A U = U A = A 5. Elemento ínfimo: A = A =

14 14 Propiedades comunes a unión e intersección Se verifican las siguientes propiedades: 1. Leyes de absorción o simplificativas: A (A B) = A A (A B) = A 2. Propiedades distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Propiedades del complementario Se verifican las siguientes propiedades: 1. Intersección y unión de complementarios: 2. Complementarios de vacío y universal: 3. Involución o doble complementación: 4. Inclusión y complementario: 5. Leyes de De Morgan:

15 15 DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS A B A B A - B A Δ B Sea U un conjunto y P(U) el conjunto de sus subconjuntos. En P(U) están definidas las operaciones,, y se verifican: 1. Idempotentes: A A = A, A A = A. 2. Conmutativas: A B = B A, A B = B A. 3. Asociativas: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). 4. Simplificativas o de absorción: A (A B) = A, A (A B) = A. 5. Distributivas: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 6. De complementario: A A =, A A ' = U.