MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
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- Juan Antonio Acuña Ríos
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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 1 / 45
2 Parte I Conjuntos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 2 / 45
3 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 3 / 45
4 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 3 / 45
5 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 3 / 45
6 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... } Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 3 / 45
7 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... } D = {x x es un estudiante activo de la UN} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 3 / 45
8 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 4 / 45
9 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista expĺıcita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 4 / 45
10 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo A = {x x es un número impar positivo, menor que 30} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 5 / 45
11 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo A = {x x es un número impar positivo, menor que 30} A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 5 / 45
12 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo B = {x x es un entero mayor que 3} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 6 / 45
13 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo B = {x x es un entero mayor que 3} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 6 / 45
14 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo B = {x x es un entero mayor que 3} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Ejemplo C = {x x es un entero mayor o igual que 3} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 6 / 45
15 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo B = {x x es un entero mayor que 3} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Ejemplo C = {x x es un entero mayor o igual que 3} C = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 6 / 45
16 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo D = {x x es un número par y primo} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 7 / 45
17 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo D = {x x es un número par y primo} D = {2} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 7 / 45
18 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo D = {x x es un número par y primo} D = {2} Ejemplo E = {x x es un número impar y primo} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 7 / 45
19 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplo D = {x x es un número par y primo} D = {2} Ejemplo E = {x x es un número impar y primo} E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... } Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 7 / 45
20 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x x es par, primo y mayor que 5} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 8 / 45
21 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 8 / 45
22 Conjuntos determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }. OJO { } NO es el conjunto vacío, es un conjunto con un elemento. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 8 / 45
23 Pertenencia Definición Consideremos una relación binaria denotada por, definida entre un elemento a y un conjunto A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 9 / 45
24 Pertenencia Definición Consideremos una relación binaria denotada por, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 9 / 45
25 Pertenencia Definición Consideremos una relación binaria denotada por, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a A. En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a / A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 9 / 45
26 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo}, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
27 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto hay un conjunto de referencia? A = {x x es primo}, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
28 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo}, hay un conjunto de referencia? letras? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
29 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo}, hay un conjunto de referencia? letras? colores? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
30 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo}, hay un conjunto de referencia? letras? colores? reales? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
31 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo}, hay un conjunto de referencia? letras? colores? reales? naturales? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
32 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto hay un conjunto de referencia? letras? colores? reales? naturales? A = {x x es primo}, El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjunto lo tomamos como el conjunto universal. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 10 / 45
33 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
34 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
35 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : Z Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
36 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : Z U : R Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
37 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : Z U : R U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
38 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : Z U : R U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional U : Habitantes de Colombia Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 11 / 45
39 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 12 / 45
40 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 12 / 45
41 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. En otras palabras ( x)(x A x B). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 12 / 45
42 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. En otras palabras ( x)(x A x B). Para decir A B negamos la proposición anterior, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 12 / 45
43 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. En otras palabras ( x)(x A x B). Para decir A B negamos la proposición anterior, así ( x)(x A x B) ( x)(x A x / B) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 12 / 45
44 Diagramas de Venn B U A Figura : A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 13 / 45
45 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 14 / 45
46 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Pues de no ser así, existiría x tal que x / A, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 14 / 45
47 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Pues de no ser así, existiría x tal que x / A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 14 / 45
48 Subconjuntos Si A B y B C entonces A C. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 15 / 45
49 Subconjuntos Si A B y B C entonces A C. Veamos { ( x)(x A x B) ( x)(x B x C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 15 / 45
50 Subconjuntos Si A B y B C entonces A C. Veamos { ( x)(x A x B) = ( x)(x A x C) ( x)(x B x C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 15 / 45
51 Igualdad entre conjuntos Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 16 / 45
52 Igualdad entre conjuntos Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. En otras palabras ( x)(x A x B) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 16 / 45
53 Subconjuntos Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 17 / 45
54 Subconjuntos Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tenemos que B A, pero C A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 17 / 45
55 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 18 / 45
56 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A} Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 18 / 45
57 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
58 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
59 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a, b}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
60 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
61 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Ejemplo Sea A = {a, b, c}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
62 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Ejemplo Sea A = {a, b, c}. P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 19 / 45
63 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 20 / 45
64 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2 n elementos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 20 / 45
65 Operaciones entre conjuntos Unión Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como A B := {x x A x B}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 21 / 45
66 Unión A B U Figura : A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 22 / 45
67 Intersección Intersección Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y B como A B := {x x A x B}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 23 / 45
68 Intersección A B U Figura : A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 24 / 45
69 Unión e Intersección Propiedades A B = B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
70 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
71 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
72 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
73 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A A A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
74 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A A A = A A A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 25 / 45
75 Unión e Intersección Propiedades A A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
76 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
77 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
78 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
79 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
80 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 26 / 45
81 Complemento Definición Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como A := {a U a / A} El complemento de A se nota por A o por A C. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 27 / 45
82 Complemento U A A Figura : A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 28 / 45
83 Complemento Propiedades A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 29 / 45
84 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 29 / 45
85 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A (A B) = A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 29 / 45
86 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A (A B) = A B (A B) = A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 29 / 45
87 Diferencia Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como A B := {x x A x / B} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 30 / 45
88 Diferencia A B U Figura : A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 31 / 45
89 Diferencia Propiedades A B = A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 32 / 45
90 Diferencia Propiedades A B = A B A A = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 32 / 45
91 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 32 / 45
92 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A A B = A si y sólo si A B = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 32 / 45
93 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A A B = A si y sólo si A B = A B = si y sólo si A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 32 / 45
94 Diferencia Ejercicio Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, b, d, f, h}, B = {b, c, d, e, f } y C = {c, g, h, k}. Encuentre A B B A (A B) C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 33 / 45
95 Diferencia Simétrica Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica de A y B como A B = (A B) (B A) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 34 / 45
96 Diferencia Simétrica A B U Figura : A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 35 / 45
97 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 36 / 45
98 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 36 / 45
99 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A A A = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 36 / 45
100 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A A A = A B entonces A B = B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 36 / 45
101 Producto cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A B como A B := {(a, b) a A b B} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 37 / 45
102 Producto cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A B como A B := {(a, b) a A b B} Los elementos de A B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 37 / 45
103 Producto cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A B como A B := {(a, b) a A b B} Los elementos de A B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) (b, a). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 37 / 45
104 Producto cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A B como A B := {(a, b) a A b B} Los elementos de A B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) (b, a). Así B A = {(b, a) b B a A} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 37 / 45
105 Producto cartesiano Ejercicio Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2}. Encuentre A B B A Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 38 / 45
106 Producto cartesiano Propiedades A B es igual a B A? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 39 / 45
107 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
108 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
109 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
110 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(a) = 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
111 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
112 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} entonces n(b) = 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 40 / 45
113 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 41 / 45
114 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 41 / 45
115 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = n(a) n(b) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 41 / 45
116 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = n(a) n(b) = n(b) n(a) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 41 / 45
117 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = n(a) n(b) = n(b) n(a) = ab. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 41 / 45
118 Producto Cartesiano Ejercicios Encuentre el número cardinal en cada caso Si n(a B) = 36 y n(a) = 12, encuentre n(b) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 42 / 45
119 Producto Cartesiano Ejercicios Encuentre el número cardinal en cada caso Si n(a B) = 36 y n(a) = 12, encuentre n(b) Si n(a B) = 100 y n(b) = 4, encuentre n(a) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 42 / 45
120 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
121 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x U x / A}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
122 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x U x / A}. La unión de A y B es A B = {x x A x B}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
123 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x U x / A}. La unión de A y B es A B = {x x A x B}. La intersección de A y B es A B = {x x A x B}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
124 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x U x / A}. La unión de A y B es A B = {x x A x B}. La intersección de A y B es A B = {x x A x B}. La diferencia de A y B es A B = {x x A x / B}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
125 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x U x / A}. La unión de A y B es A B = {x x A x B}. La intersección de A y B es A B = {x x A x B}. La diferencia de A y B es A B = {x x A x / B}. La diferencia simétrica de A y B es A B = {x (x A x / B) (x / A x B)}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 43 / 45
126 Resumen Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 44 / 45
127 Resumen Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B (A B) = A B (A B) = A B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 44 / 45
128 Conjuntos Ejercicio Cierta empresa entrevistó a 160 personas en un centro comercial con el fin de averiguar sus preferencias a la hora de las comunicaciones y obtuvo los siguientes resultados: 115 tienen internet en casa, 96 tienen cable en casa, 91 tienen celular, 68 tienen internet y cable en casa, 60 tienen internet en casa y celular, 54 tienen cable y celular, 38 tienen los tres, 2 no tienen ni internet, ni cable, ni celular. Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Conjuntos 45 / 45
Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza. 3 de febrero de Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá 1/ 45
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