MATEMÁTICAS II CICLO COMÚN INBAC UNIDAD DIDÁCTICA #5

Transcripción

1 UNIDAD DIDÁCTICA #5 INDICE PÁGINA Números Irracionales Los Pitagóricos y Representación de los números irracionales Notación y Definición Hoja de evaluación Bibliografía

2 NUMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Al dividir dos números enteros se obtienen números enteros, decimales finitos o exactos y decimales infinitos periódicos. -6 = -2 5 = = Las expresiones anteriores son números racionales, que también se pueden escribir como fracciones. En el sistema decimal es posible escribir expresiones decimales exactas no periódicas. Ejemplo: a) b) Estas expresiones decimales no periódicas, y otras muchas que se pueden escribir, no son números racionales, pues la expresión decimal de un numero racional es periódica. NUMEROS IRRACIONALES Los números decimales no periódicos de infinitas cifras se llaman números irracionales. El conjunto de los números irracionales se designa por la letra I. También se puede decir que los irracionales son aquellos números que no se pueden escribir como una fracción. RECORDATORIO Números racionales Q Enteros. Z Decimales finitos. Decimales infinitos periódicos. Números irracionales I Decimales infinitos no periódicos 2

3 Los Pitagóricos y 2 Fueron los pitagóricos los que descubrieron el número 2, al aplicar el teorema de Pitágoras al cuadrado cuyo lado es la unidad y demostraron que no es un número racional. d 2 = d 2 =2 d= 2 Posteriormente los matemáticos demostraron que: Si la raíz enésima de un número positivo no es número racional, entonces es un número irracional. Así 2, 3, 4, 5, 3 4, 4 5, etcétera, son números irracionales. Otro número irracional importante que no esta relacionado con raíces es el número л, que es la razón o cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Para muchos números irracionales existen notaciones especiales; por ejemplo, el número irracional se denota con la letra griega л (que se lee pi ). Otra manera de representarlos es escribir la raíz de donde provienen, por ejemplo: se denota se denota - 3 También se pueden representar en la recta numérica. Ejemplos: Representar los números 2, 3 y 5 en la recta numérica. 3

4 La representación en la recta numérica puede ser de una manera aproximada, ya que sus decimales son infinitos. Un número irracional se puede representar con aproximaciones por defecto o por exceso. Observa las aproximaciones del número 2 = < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < Valores de 2 por defecto valores de 2 por exceso PROPIEDADES a) Entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales e infinitos irracionales. b) Por lo tanto, se dice que es denso. c) No hay un primero ni un último número irracional. d) Por lo tanto se dice que es abierto. e) Si p, q son irracionales se cumple que: p<q ó p=q ó p>q. f) Por lo tanto, es ordenado. g) A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. h) En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. Veamos cómo se puede representar, por ejemplo: hay que tener claro que =1,414..., es decir, 1< < 2 4

5 En esta recta representamos los números irracionales y - Representar en la recta numérica el irracional 7. Con ayuda de tu calculadora encuentra su expresión decimal 7 = NÚMEROS REALES = es un conjunto de ó esta contenido en U = unión = intersección Ø = conjunto vacío = pertenece = no pertenece N Z Q R I R R = Q U I 5

6 NOTACIÓN Y DEFINICIÓN Con lo anterior se puede concluir que el Conjunto De Los Números Naturales (N) es un subconjunto de los números enteros (Z) y que estos a su vez son un subconjunto de los números racionales (Q). Además, la unión de los números racionales con los números irracionales forman los números reales, los cuales se representan con la letra R. Simbólicamente: Q U I =R La recta numérica se completa al representar los números racionales (Q) e irracionales (I) es decir, que todos los puntos representan un número real, por eso se le conoce como recta real. En la recta real a cada punto sobre la recta numérica le corresponde uno y solo un número real y cada número real corresponde uno y solo un punto sobre la recta numérica. Se pueden considerar varios subconjuntos de R, además de los ya referidos N, Z, Q e I, estos son: R+ = números reales positivos R - = números reales positivos Escribe ó según corresponda. a) -5 R b) 15 Z c) 3 N d) 0 e) Q f) -70 R g) 3-5 Q 6

7 HOJA DE EVALUACIÓN 1- Escribe en las líneas una Q si los números son racionales o una I si son irracionales. a) = b) 3 = 2 c) 5 = d) = e) = g) - 9 = h) 3 = i) = j) -7 = 2- Expresa en forma decimal los siguientes irracionales. Utiliza calculadora. a) - 5= e) = b) 3 7 = f) 25= c) 3-5 = g) 6 = d) 37 = Representa en la recta numérica los siguientes irracionales. a) - 2 b) 13 c) Escribe V dentro del paréntesis si las siguientes expresiones las consideras verdaderas, o F si las consideras falsas, justifica tus respuestas en la línea correspondiente. a) Todo número real es entero ( ) b) Un número irracional es decimal finito ( ) c) Todo número irracional es decimal infinito ( ) d) 10 Q ( ) e) 100 R ( ) f) Los racionales completan la recta numérica ( ) g) Q U I = R ( ) h) Los irracionales se pueden escribir como fracciones ( ) i) A la recta numérica se le conoce como recta real ( ) 7

8 BIBLIOGRAFÍA Santillana (2006) Matemáticas 9º Estrategias Editorial Santillana 8