GUION TÉCNICO AUDIO. Propiedades de Campo y Orden de los Números Reales (1). estructurados, y ello les obliga a "funcionar" o a

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1 Propiedades de Campo y Orden de los Números Reales (1). Los números son elementos que forman parte de conjuntos estructurados, y ello les obliga a "funcionar" o a "comportarse" de forma específica. Para ayudarnos a determinar cómo deben ser sus funciones o comportamientos, existen las llamadas propiedades de campo y de orden de los números reales. Mediante esta pieza de contenido, se pretende comprender los fundamentos de las Matemáticas, a partir del análisis de estas propiedades. Para identificar las propiedades, es necesario recordar cuáles son los conjuntos y los elementos que conforman al denominado conjunto de los números reales, los cuales son: Los Números Naturales, representados por la letra (N) mayúscula. Los Números Enteros, representados por la letra (Z) mayúscula Los Números Enteros no Negativos, representados por la letra (W) mayúscula. Los Números Racionales, representados por la letra (Q) mayúscula. Y los Números Irracionales, representados por la letra (Q') mayúscula prima. 1

2 Estos son sumamente importantes ya que las propiedades de campo y de orden aplican a todos estos conjuntos. Recuerdas que en las propiedades de campo hablamos de dos operaciones básicas? Efectivamente, la suma y la multiplicación. Veamos las propiedades de campo de los números reales. Para comprender las propiedades de campo, establezcamos una "recta numérica", la cual nos permitirá representar a todos y cada uno de los elementos del conjunto de los números reales. Cada punto de esta recta representa a uno y sólo a uno de estos elementos. A esta propiedad se le reconoce como "Propiedad de Completitud, porque entre todos los puntos «completan» al conjunto de los números reales. Esto significa que el conjunto de los Números Reales (R) es un espacio completo. Para comprender las siguientes propiedades de los números reales, es importante considerar dos operaciones esenciales: la suma y la multiplicación, ya que estas le confieren ciertas características a los números analizados. La propiedad básica para estas dos operaciones es la 2

3 Propiedad de Cerradura. Esto implica que, al efectuar una operación con dos números reales, siempre se producirá, como resultado, un número real, y por eso las operaciones mencionadas, suma y multiplicación, son "cerradas" Por ejemplo: Para todo número a y b, que son elementos de los números reales, tenemos que el resultado de sumar a más b, pertenecerá a los números reales. Así mismo. para todo número a y b, que son elementos de los números reales, tenemos que el resultado de multiplicar a por b, pertenecerá a los números reales. Esta propiedad de cerradura permite comprender el comportamiento de los subconjuntos de los números reales. Por ejemplo, al sumar o multiplicar dos números naturales, su resultado será siempre un número natural, sin embargo, si tenemos una resta, qué clase de número tenemos? El resultado de una resta de números naturales puede no pertenecer al conjunto de números naturales, sino al conjunto de números enteros. Y esta situación se presenta también con los números enteros, cuando se realiza una división entre ellos, el resultado puede no ser un número entero, sino un racional. Por ello, podemos hacer operaciones entre números del mismo conjunto, o entre números de diferentes conjuntos, 3

4 pues todos pertenecen al conjunto de los números reales y su resultado será, obligatoriamente, un número real La siguiente propiedad que analizaremos se denomina "Propiedad Conmutativa", la cual señala que "el orden de los factores no altera el producto", o dicho en otras palabras, si cambiamos el orden de los números en una suma o una multiplicación, el resultado no se modificará. Esta propiedad se presenta independientemente del número de elementos que contenga la suma o la multiplicación en cuestión. Otra propiedad de campo de los números reales se denomina "Propiedad asociativa" y, como su nombre lo dice, permite hacer asociaciones o agrupaciones de elementos mediante el uso de paréntesis y sin alterar el resultado. Observa el ejemplo y las diversas formas en que pueden solucionarse estas operaciones: Esta propiedad se explica, matemáticamente, de la siguiente manera: Para todo número a, b y c, que pertenecen al conjunto de los números reales, tenemos que, el resultado de la suma a + b, sumado a c, será igual que la suma de a más el resultado de b + c. Otro ejemplo es: Para todo número a, b y c, que pertenecen al conjunto de los números reales, tenemos que, el resultado del producto de a 4

5 por b, multiplicado por c, será igual que el producto de a por el resultado de b por c Cuando se combinan sumas y multiplicaciones de números reales, acudimos a la Propiedad Distributiva, como se muestra en el siguiente ejemplo: Si tenemos seis y un paréntesis que agrupa a la suma de (2 + 2), ésta se puede resolver mediante dos vías: En la primera de ellas, el factor externo al paréntesis, que es seis, multiplicará a cada uno de los factores que se encuentran dentro del paréntesis. Por ello, el resultado de la operación será igual a 6 por 2 más 6 por 2. En la segunda opción, resolvemos primero la operación del paréntesis, y el resultado lo multiplicamos por el factor externo al paréntesis, por lo que el resultado de la operación será igual a 6 por 4. Al realizar cualquiera de las dos operaciones, podrás observar que el resultado será el mismo. Este ejemplo te permitirá observar cómo se estructura la Propiedad Distributiva a partir de un factor en común. Observa la animación para comprender el procedimiento. En el primer caso, solamente se resuelven los paréntesis y 5

6 posteriormente se suman. Sin embargo, en el segundo caso, identificamos que tres es un factor común, por lo que se puede expresar esta operación como tres por cuatro más siete La Propiedad Distributiva establece que la multiplicación y la suma de números reales pueden distribuirse, por lo tanto, la operación se puede efectuar con el mismo resultado, atendiendo a la siguiente generalización simbólica: "Para todo número a, b y c, que pertenezcan al Conjunto de los Números Reales, tenemos que, el producto de a por b más c es igual que la suma del producto de a por b más a por c". Como lograste observar a lo largo de esta pieza de contenido, se identificaron cuatro propiedades de campo de los números reales, las cuales son: Propiedad de Cerradura, Propiedad Conmutativa, Propiedad Asociativa y Propiedad Distributiva. Para conocer el resto de las propiedades de campo, así como las propiedades de orden de los números reales, te invitamos a consultar la segunda parte de esta pieza de contenido. Esto fue una producción del Espacio de Formación Multimodal, e-uaem 6