Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Expresiones Algebraicas y Polinomios

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Catalina Guzmán Cruz
hace 7 años
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1 Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Expresiones Algebraicas y Polinomios Prof. Glorymill Santiago Labrador Editado por: Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez

2 Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números, variables, signos de operación y signos de agrupación que tengan sentido. Ejemplos: 3x + 4y 3w + 1 x z ½ bh 1 + h x + 1 πr 4x 3y xyz x 5y zw + 1

3 Expresiones Algebraicas (cont.) En una expresión algebraica hay constantes y variables. Las constantes son símbolos que representan una cantidad que no cambia. Por lo general, representan números reales. Pueden también estar representados por letras en algunos casos, como π o e. Las variables son símbolos que representan una cantidad que cambia. Por lo general se representan con letras del alfabeto.

4 Términos Un término es una expresión algebraica que envuelve variables y/o constantes que se asocian mediante las operaciones de multiplicación y/o división. Ejemplos: 3 x xy 3 z 5 x 8y 3xy y 5x 4

5 Términos (cont.) A los términos que incluyen variables se les conoce como términos variables. A los términos que no incluyen variables, o que sólo incluyen constantes se les conoce como términos constantes.

6 Cantidad de términos Una expresión tiene una cantidad de términos igual a la cantidad de expresiones en las que se puede separar, mediante la suma. Si no se puede separar, entonces tiene solo 1 término. Ejemplos: a) 3x + 7y 5 Se puede separar en (3x) + (7y ) + (-5) por lo que tiene 3 términos. b) -(x+y) no se puede separar en la suma o resta de otras expresiones, a menos que apliquemos la propiedad distributiva. Es por eso que decimos que 3(x+y) tiene un solo término.

7 Ejercicios Indique la cantidad de términos que tienen las siguientes expresiones: 9x 3 x 5 4y x + 5x 3y x 4x 7zy 3 x x x 7 5

8 Coeficientes En un término, el coeficiente es la constante por la que está multiplicada la o las variables. Ejemplos: El coeficiente de -3x y es -3 El coeficiente de 5y 3 es 5 El coeficiente de -s es - El coeficiente de xyz es 1

9 Evaluación de Expresiones Algebraicas: Si tenemos una expresión algebraica digamos : xy + 3x y 5xy Esta expresión puede ser evaluada para distintos valores que se pueden asignar a la variable. Por ejemplo, evalúe la expresión anterior con x = 7 & y = -3. **Recuerde siempre la regla de orden de operaciones. Esto se consigue sustituyendo donde quiera que tengamos x por un 7 y donde haya una y por un -3.

10 Evaluación de Expresiones Algebraicas (cont.) Evalúe en x = 7 & y = -3 la expresión xy + 3x y 5xy =(7)(-3) + 3(7) (-3) (5)(7)(-3) =-4 + 3(49)(-3) (35)(9) = (-3) 315 = =-798

11 Evaluación de Expresiones Algebraicas Ahora, evalúe en x = -1; y = 4 el ejemplo anterior: xy + 3x y 5xy =(-1)(4) + 3(-1) (4) 5(-1)(4) = = 84 Evalúe ahora en x = 4; y = -1. = (4)(-1) + 3(4) (-1) 5(4)(-1) = = -76 Veáse que invertir los valores de x & y cambia el resultado de la evaluación.

12 Práctica Evaluar las siguientes expresiones para los valores dados. 4a + 3b 3, para a = - 3; b = 6 es: x 3 3y, para x = - 3; y = - es: p + 3 5p +, para p = - 3 p 1

13 Práctica Pueden completar: Tema 1 Asignación 1 Práctica electrónica P 1.1

14 Términos semejantes Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes. Ejemplos: 3xy es semejante a 5xy -6x es semejante a x 4xy NO es semejante a 4xz pues tienen variables diferentes 7y NO es semejante a y 3 pues aunque tienen la misma variable, ésta tiene diferentes exponentes.

15 Términos semejantes Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes. Ejemplos: Semejantes 4xy; xy 5x y; -7x y No semejantes 7xy; 7xw 6xy; 6x y 5 3 zw; 7 4 wz 7xy; 7x y 6www; www 6 6x 3 y 4 ; 6x 4 y 3

16 Términos semejantes (cont)

17 Simplificación o reducción de términos semejantes Si dos términos son semejantes los podemos reducir a un solo término. Esto se logra mediante la propiedad distributiva, ab + ac = (b + c)a. Ejemplo: 3x + 5x = (-3 + 5)x = x RESUMEN: Si una expresión contiene dos o más términos semejantes, la expresión se puede reducir sumando los coeficientes se éstos términos y dejando la parte variable de los términos igual.

18 Simplificar: Unir términos semejantes a) c) b) d)

19 Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: Ningún término de la expresión tiene un denominador que contiene variables Ningún término de la expresión tiene un radical que contiene variables Todos los exponentes de las variables son enteros no-negativos. Los polinomios se pueden nombrar con una letra mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

20 Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general: P x = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n + + a o Donde: a n, a n 1 a n,., a 0 son coeficientes reales y las potencias de las variables descienden en valor

21 Ejemplos de Polinomios P(x) = 3x 5x + 1 Q(y) = 4y 3 y + 4y 5 Ejemplos de No - Polinomios 4x 3 + 5x 3x + 4x G x = 9 4x x x + x 5 R(x,y) = xy 7y + 6x W(p,q) = p + q 5pq 4 3 x 4 x 7x + 3x 3 + 7x + x 1 7

22 Clasificar Polinomios Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad de términos: monomio: un solo término binomio: dos términos trinomio: tres términos De ahí en adelante no reciben nombres particulares y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli significa plural, o muchos)

23 Evaluación de Polinomios: Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.) Ejemplo: Sea P(x) = 3x 5x + 1, hallar P(). Nota: La notación P() se lee P de y significa determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de P() = 3() 5() + 1 = 3(4) = = 3 hay que tomar en cuenta el orden operaciones para simplificar

24 Evaluación de Polinomios Ejemplo: Determinar P(0) y P(-3) si P(x) se define como en el ejemplo anterior: P(x) = 3x 5x + 1 P(0) = 3(0) 5(0) + 1 = = 1 P(-3) = 3(-3) 5(-3) + 1 = 3(9) = = 43

25 Evaluación de Polinomios Ejemplo: Si R(p, q) = pq + 6pq 4p q, evalúe R(, -3) Notas: Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables. En este caso p= y q= -3 Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq simplica multiplicar el valor de p or el valor de q R(, -3) = ()(-3) + 6()(-3) 4() (-3) = (9) 4(4)(-3) = = 144

26 Evaluación de Polinomios Debemos enfatizar que si evaluamos R(-3, ) el resultado será distinto: R(-3,) = (-3)() + 6(-3)() 4(-3) () = -1 18(4) 4(9)() = = -156

27 Grado y coeficiente principal El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término con la potencia mayor de la variable. El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma: (i) Si el polinomio es en una variable el grado será la potencia mayor de la variable con coeficiente distinto de cero. (ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se determina de la siguiente forma: para cada término se suman las potencias de la variable y el grado será el total mayor.

28 Grado de Polinomios Práctica Polinomio Grado Coeficiente Principal P(x) = -7 P(x) = 5x 7 Q(z) = + 7z 4z Q(y) = y 51y y 6 7 F(r) = 3r 5r 3 + 3r F(x,y) = xy + 6x 3 y 4xy R(x,y) = 4x y 5x y + xy 4 R(x,y) = 4 x 3 y x 3 y 3 11x 3 y

29 Operaciones entre polinomios I. Suma y resta: a) Sumar o se restar coeficientes de los términos semejantes de ambos polinomios. Luego, ordena los términos según el grado. (ascendente o descendente) b) La operación de resta requiere aplicar la propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de TODOS los términos en éste polinomio. c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el polinomio nuevo se compone de los términos de cada polinomio, en orden de grado

30 Suma y resta de polinomios - ejemplos Veamos los siguientes ejemplos: a) = b) = ( 3x (3x (13x + 5x + 11) + (4x + 3x + 13) + 4x ) + (5x + 3x) + (11+ 13) 7x + 8x + = 13x 5x (-5x) 7) + 7 (x + (-x + 11x 10) ) + (-11x) = 13x + (-5x) (-x ) + (-11x) + 10 = (13+ -)x + ( )x + ( ) = 11x + (-16)x + 17 = 11x 16x + 17 (-10)

31 Suma y resta de polinomios - ejemplos c) = = (x 4x (x + - 4x (x + -8x) + + 8) (11+ 3x + 8) + ( x (-4x + - 6x + 4x) + -8x) ) + (8 + - ) = - 6x + -10x -10x = Forma descendente 6x 14 = -14 6x 10x Forma ascendente

32 Suma y resta de polinomios - ejemplos d) (3xy + 4x y 5xy + 7x) (4x y 6xy 11xy + 3y) e) 5(3xz + wx + 3wz) 3(5xw 7zw + 8zx)

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