FRACCIONES. Las partes que tomamos ( 3 ó 5 ) se llaman numerador y las partes en que dividimos el queso ( 8 ) denominador.

Transcripción

1 FRACCIONES Una fracción, en general, es la expresión de una cantidad dividida por otra, y una fracción propia representa las partes que tomamos de un todo. El ejemplo clásico es el de un queso que partimos en porciones. En el dibujo, hemos hecho 8 porciones, 3 rosas y 5 verdes. Si tomamos las 3 rosas, representan 3 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir 3 / 8 del queso, y si tomamos las 5 verdes, representan 5 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir 5 / 8 del queso. Las partes que tomamos ( 3 ó 5 ) se llaman numerador y las partes en que dividimos el queso ( 8 ) denominador. Para leer una fracción, el numerador se lee normalmente pero, como veremos a continuación, el denominador tiene una forma especial de leerse. Denominador Lectura Ejemplos 2 medios 5 / 2 = cinco medios 3 tercios 2 / 3 = dos tercios 4 cuartos 3 / 4 = tres cuartos 5 quintos 4 / 5 = cuatro quintos 6 sextos 5 / 6 = cinco sextos 7 séptimos 6 / 7 = seis séptimos 8 octavos 7 / 8 = siete octavos 9 novenos 8 / 9 = ocho novenos 10 décimos 9 / 10 = nueve décimos mayor de 10 Se agrega al número la terminación avos 10 / 11 = diez onceavos Clasificación De Las Fracciones Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se muestran las características de las más importantes. Tipo Características Ejemplos Propia El numerador es menor que el denominador 1 / 2, 7 / 9 Impropia El numerador es mayor que el denominador 4 / 3, 5 / 2 Homogéneas Tienen el mismo denominador 2 / 5, 4 / 5 Heterogéneas Tienen distinto denominador 3 / 7, 2 / 8 Entera Equivalentes El numerador es igual al denominador; representan un entero Cuando tienen el mismo valor. Dos fracciones son equivalentes si son iguales sus productos cruzados 6 / 6 = 1 2 / 3 y 4 / 6 2 x 6 = 3 x 4 Si en una fracción multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente a la primera, pues ambas tienen el mismo valor. Por ejemplo:

2 1 (1 x 4) 4 3 (3 : 3) 1 = = = 0,5 ; = = = 0,2 2 (2 x 4) 8 15 (15 : 3) 5 Simplificar o Reducir una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor). Por ejemplo: Simplificar 30/42 Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21. Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por /6 5 = = 42 42/6 7 Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible. Suma Y Resta De Fracciones Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Ejemplo: 3 2 (3 + 2) (5 2) 3 + = = ; = = Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común. Ejemplo: 2 3 (2 x 7) (3 x 5) = + = + = 5 7 (5 x 7) (7 x 5) Multiplicación De Fracciones El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo: (3 x 4 x 2) 24 2 x x = = simplificando = (4 x 5 x 3) 60 5

3 Fracción De Un Número Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número. Ejemplo: Calcular los 2 / 3 de 60: 2 2 (2 x 60) 120 de 60 = x 60 = = = División De Fracciones El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ejemplo: 4 3 (4 x 5) 20 : = = 9 5 (9 x 3) 27 NÚMEROS DECIMALES Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino como una aproximación de tal valor. Qué son números decimales? Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto. La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos: 7,653 En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra. 0,23 En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera ,23 = 4,23

4 Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23. Clasificación de los números decimales Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos: Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos: 0,75; 2,6563; 6,32889 Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo. 1, ; 6, ; 5, Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como: 3, Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en: 9, Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como: El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es Composición de un número decimal Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apóstrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las décimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc. Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima.

5 Operaciones con números decimales Suma y resta Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro, como se ve en el ejemplo siguiente: 3,48 9,657 A continuación, se iguala el número de cifras decimales de cada valor si es necesario, añadiendo uno o varios ceros al valor con menos cifras decimales para que queden con el mismo número, pues el cero añadido a la derecha de la parte decimal no altera el valor, así: 3,480 9,6570 Finalmente se suma de manera tradicional, sin tomar en cuenta la coma, y al resultado final se le añade la coma en l misma posición que se encuentra en ambos valores sumados o restados. 3,480 +9,657 =13,137 Multiplicación Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, como en el siguiente ejemplo 3,25 x 2,7 325 X =8,775 Ahora con un ejemplo, como multiplicar un número decimal por un entero, donde simplemente se siguen las reglas anteriores, con la diferencia de que el número entero tiene cero cifras decimales por lo tanto el número de cifras decimales del resultado se mantiene como en el factor decimal, veamos: 3,25 x =650 =6,50 Para multiplicar números decimales por cifras que son múltiplos de diez, solo recorremos la coma hacia la derecha tantos espacios como ceros tenga el múltiplo de diez, y en el caso de que tengamos que seguir recorriendo y ya no haya cifras decimales, añadimos ceros al resultado, de esta manera: 3, = 35,68 3, = 356,8

6 3, = , = División Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos. Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal / 36, / 3658 Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional. 32,698 / 8, / 8250 Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación. 3568/10 = 356,8 3568/100 = 35, /1000 = 3, /10000 = 0, / = 0,03568 Fracción a decimal Para transformar una fracción a número decimal basta dividir el numerador por el denominador. Ejemplos: Otro: Transformar decimal a fracción Los números decimales pueden clasificarse en: a) decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.

7 Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42, etc. Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito. Un decimal finito representa una fracción decimal. b) decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0, es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal. Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos. Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción. c) decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo. d) decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita). Transformación de un decimal finito a fracción Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplo 1:

8 Se anota el número, en este caso 45. Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5 Ejemplo 2: Transformación de un decimal infinito periódico en fracción Los pasos a seguir son los siguientes: 1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita) 2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica. Otro ejemplo: Expresar como fracción 57, Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción 1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la rayita. 2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.