Números fraccionarios y decimales

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1 Unidad didáctica Números fraccionarios y decimales

2 1.- Las fracciones. a Una fracción es un número racional, escrito en la forma, tal que b 0 y representa una parte b de un total. El denominador (el número que está debajo de la barra de fracción) es el número de partes iguales en que está dividido el total, el conjunto o grupo. El numerador (el número que está encima de la barra de fracción) representa el número de partes que se toman del total, el conjunto o grupo. Para nombrar una fracción medio 1 tercio 1 cuarto 1 quinto 1 sexto 1 séptimo 1 octavo 1 noveno 1 décimo Del 11 en adelante se añade al número la terminación -avo. Por ejemplo: 13 1 es 1 treceavo.- Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado: 1 3 0'5 6 Al multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número se obtiene una fracción equivalente a la anterior es equivalente a 6 o 1 : 3 15 : es equivalente a 15 5 Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se efectúa el producto cruzado de sus términos y se ve si coinciden. Comprobar si 3 y 1 9 son equivalentes: Hay que multiplicar en cruz: y 9 36 Como los resultados coinciden, las fracciones son equivalentes. Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 1

3 3.- Fracción irreducible. Una fracción es irreducible si no se puede simplificar. Para hallar la fracción irreducible de una fracción dada se dividen los dos términos de dicha fracción por un mismo número hasta que el numerador y el denominador no tengan ningún divisor común. 18 : 9 : 3 3 : 3 36 : 18 : 3 6 : Mínimo común múltiplo (m.c.m.). El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común a dichos números. Para calcularlo: 1º - Hay que descomponer los números en factores primos. º - Se toman los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente y se efectúa el producto. Hallar el m.c.m. de 18 y m.c.m Ordenación de fracciones. Para ordenar varias fracciones hay que reducirlas a común denominador y después hay que comparar los numeradores. Reducir fracciones a común denominador significa hallar unas nuevas fracciones, equivalentes a las primeras, con el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se elige como fracción mayor la que tiene mayor numerador. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 5, 3 y 6 1º Hay que poner un denominador común: el m.c.m (,, 6) : 3 Se multiplica numerador y denominador por 3: : 6 Se multiplica numerador y denominador por 6: : 6 Se multiplica numerador y denominador por : º Se comparan los numeradores: > > es decir: > > Unidad : Números fraccionarios y decimales pag.

4 6.-Suma y resta de fracciones. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador Para sumar o restar fracciones que tengan distinto denominador, se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores de las fracciones obtenidas. 0 : mcm : Producto de un número entero por una fracción. Para multiplicar un número entero por una fracción se multiplica el numerador por el número entero y se deja el mismo denominador Producto de fracciones. El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene el numerador igual al producto de los numeradores y el denominador igual al producto de los denominadores Inversa de una fracción. Para calcular la inversa de una fracción, se intercambian el numerador y el denominador. La fracción inversa de 3 es: Cociente de fracciones. Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda. 7 : Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 3

5 11.- Operaciones combinadas con fracciones. Al igual que con los números enteros cuando aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones combinadas con fracciones hay que respetar el orden o jerarquía de las operaciones para llegar al resultado correcto. Esta jerarquía es la siguiente: 1. Se resuelven todos los cálculos que se encuentren dentro de paréntesis, corchetes o encima de la raya de fracción.. Se hacen las potencias y raíces. 3. Se hacen las multiplicaciones y divisiones. Como las dos operaciones tienen la misma jerarquía cuando aparecen mezcladas se resuelven siempre en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.. Se hacen las sumas y restas de izquierda a derecha : 6 Hay cuatro términos. Cada término está separado del otro por un símbolo de operación. Multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma y entre la multiplicación y la división se hace primero la multiplicación porque está más a la izquierda y lo demás se deja igual: º Multiplicación: + : (criterio de signo: - + -) º División: + (criterio de signo: + : + +) 8 6 3º Resta: m.c.m Números decimales. Un número decimal es un número que consta de dos partes separadas por una coma: la parte entera, a la izquierda de la coma, y la parte decimal, a la derecha de la coma. Para leer correctamente un número decimal primero se lee la parte entera y después todo el número que va detrás de la coma, dándole el nombre de la última unidad decimal que aparece. Por ejemplo: '67 se lee unidades con 67 centésimas. Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima Cienmilésima Millonésima ' Representación y ordenación de números decimales Para representar números decimales en una recta hay que seguir estos pasos: a) Se dibuja una recta y se señala en ella un punto intermedio, que se va a tomar como cero. b) Se divide la recta en segmentos de igual longitud, hacia la derecha y la izquierda del cero. c) Cada uno de los segmentos se divide en diez partes iguales para representar las décimas y cada décima en diez partes iguales para representar las centésimas y así sucesivamente. d) Se sitúan los números enteros positivos a la derecha del cero y los números enteros negativos a la izquierda del cero. Unidad : Números fraccionarios y decimales pag.

6 Representar 3'85 en la recta numérica: Para ordenar números decimales, hay que fijarse primero en la parte entera. Si tienen la parte entera igual, hay que fijarse la cifra de las décimas, si las cifras de la décimas son iguales hay que fijarse en la cifra de las centésimas y así sucesivamente. Sobre la recta numérica, un número es mayor que otro cuando queda representado más a la derecha. Por ejemplo: 3'9 > 3' Tipos de números decimales. Hay dos grandes grupos de números decimales: Los que proceden de una fracción, dividiendo el numerador entre el denominador, (son números racionales). Que se pueden clasificar, a su vez en: Decimales exactos que tienen un número limitado de decimales, por ejemplo: Decimales periódicos que tienen un número infinito de decimales que se van repitiendo. La cifra o grupo de cifras que se repite se llama periodo y se representa con un arco. Decimales periódicos puros: si el periodo empieza inmediatamente después de la coma, por ejemplo: '5555 ' 5 ). Decimales periódicos mixtos: si existen otros cifras decimales entre la coma y el periodo, por ejemplo: 6' '876 ). Los que no proceden de una fracción sino, por ejemplo, de una raíz inexacta (son números irracionales). Se caracterizan por tener infinitos decimales no periódicos. Se clasifican, a su vez en: Algebraicos, por ejemplo, 1'1135, 11 3' , etc. Trascendentes, por ejemplo, Π 3'115, etc Aproximación de decimales. La aproximación de los números decimales se puede obtener mediante dos procedimientos: Truncamiento: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximación. Por ejemplo, si se aproxima por truncamiento el número 3'133 a la milésima, se obtiene: 3'13 y no se tiene en cuenta la cifra siguiente en el orden de aproximación. Redondeo: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximación pero teniendo en cuenta que si el siguiente número es inferior a 5, se queda igual; y que si es igual o superior a 5, se suma 1. Por ejemplo, si se aproxima por redondeo 3'1363 a la milésima, se obtiene: 3'1, porque la cifra siguiente es 6 que es mayor que cinco. Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 5

7 16.- Fracción generatriz de un número decimal. La fracción generatriz de un número decimal racional es una fracción a partir de la cual se puede obtener dicho número decimal. La forma de calcularla es diferente según el tipo de decimal de que se trate: Decimal exacto: se escribe en el numerador la expresión decimal sin coma y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya. Halla la fracción generatriz de 3' '5 100 Decimal periódico puro: se escribe en el numerador la expresión decimal sin coma y se le resta la parte entera (lo que haya delante de la coma) y en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo. Halla la fracción generatriz de 3' ' ' Decimal periódico mixto: se escribe en el numerador la expresión decimal sin coma y se le restan las cifras que haya delante del periodo y en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Halla la fracción generatriz de 3' ' ' Porcentajes. Un porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y de numerador el número en cuestión. % 0'0 100 Cálculo del % de una cantidad. Calcular el % de 5000 Hay que multiplicar la cantidad por la fracción equivalente al porcentaje: % de ' Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 6

8 Cálculo de la cantidad total. A final de mes, en un depósito de agua quedan 0 L. Si en el depósito solo queda el 1 % de lo que había al principio, cuántos litros en total había a principios de mes? Hay que multiplicar los litros que quedan por la inversa de la fracción equivalente del porcentaje: 100 Coste inicial Cálculo del porcentaje. Qué porcentaje de zumo de naranja contiene un tetrabrik de zumo frutas de 375 g, si en la etiqueta se indica que el contenido en zumo de naranja es de 15 g? Hay que dividir la cantidad de zumo de naranjas por el total y multiplicar el resultado por % '3 % 375 Cálculos con descuentos. RENFE descuenta en sus trenes AVE un 0 % en los billetes de ida y vuelta. Si el trayecto Madrid - Ciudad Real cuesta 5, cuánto costará el viaje de ida y vuelta? La ida más la vuelta cuesta: Se descuenta un 0 % por tanto se pagará: 100 % 0 % 80 % ' Cálculos con incrementos. RENFE aplica un incremento del 15 % en el precio de un billete si cambia la fecha de del viaje. Cuánto habrá que pagar en total por un billete que valía 30? Se incrementa un 15 % por tanto se pagará: 100 % + 15 % 115 % '15 3'5 100 Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 7

9 Ejercicios de operaciones básicas con fracciones 1.- Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones: a) 3 y 8 6 b) 3 1 y Calcula la fracción irreducible de: a) b) Halla tres fracciones equivalentes de: a) b) Calcular mínimo común múltiplo de a) y 16, b) 1, y 0, c) 15, 0, 36 y Calcula el m.c.m. de 360, 600 y Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:, y Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:, y Utilizando el m.c.m., calcula las siguientes operaciones: a) b) Calcula las siguientes operaciones: a) b) c) d) : ) ) - (- ) Operaciones combinadas con fracciones ) ) ) : Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 8

10 Problemas con fracciones 1.- Calcula cuánto miden 3 de un trozo de cinta de 5 cm..- Luisa ha anotado 1 puntos en un partido de baloncesto. Si estos representan 9 partes del total de los puntos de su equipo, cuántos puntos ha obtenido en total el equipo? 3.- Una paella se ha dividido en partes, la primera son las 5 partes; la segunda son las 8 partes. Qué fracción de la paella es la tercera parte? Cuál es la parte más grande? Tenía 16 canicas. Si he regalado a Carlos, a Álex y a Javier, cuántas canicas me quedan? 5.- He pagado una factura de la siguiente manera: el primer mes, 7 del total; el segundo, 10 3 ; el tercer mes, 1 5 ; y el cuarto, 000. Calcula el importe de la factura y la cantidad pagada cada mes. 6.- Un depósito está lleno hasta los 3 del total. Se retira de él 1 de su contenido. Qué fracción queda ahora del total? Operaciones básicas con números decimales 1.- Redondea a la centésima los siguientes números decimales: 15'356, 7'8, 67'555, 1'33333, 0'386, '96..- Ordena de mayor a menor: 9'3, 8'98, 9'5, 9'78, 9'056, 9'67, 9'566, 9'9, 9' Escribe los siguientes números: a) 5 unidades, b) 5 décimas, c) 5 decenas, d) 5 unidades de millar, e) 5 milésima.- Escribe con letras los siguientes números decimales: a) 3'5, b) 7'315, c) 1'006, d) ' Indica si el desarrollo decimal es periódico o no: 35'777..., 8'663663, 0'111 7'55, 38' , 13' , 63' Clasifica los siguientes números decimales y calcula su fracción generatriz : 3'3, ' 6 ), 5 '5 ), 3 ' ), 1'35, 1 ' ' 73, 1 '059, 1'51, 0'056, '56718 Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 9

11 Problemas de porcentajes 1.- Calcula los siguientes porcentajes: a) 5 % de b) 76'3 % de c) 0'5 % de Un yogur de 15 g contiene 3' g de proteínas, qué porcentaje del total representan? 3.- Sobre una compra de 500 se hace un descuento del 1 %. Calcula la cantidad a pagar..- A una cantidad se le aplicó el % de descuento. Lo que se pagó fue Calcula la cantidad sobre la que se aplicó el descuento. 5.- A.00 se le recarga un 1 %. Calcula la cantidad a pagar. 6.- El precio de una chaqueta es de 105 y la venden en oferta con un descuento del 15 %. Cuánto dinero rebajan? Cuánto cuesta la chaqueta en rebajas? 7.- De un depósito de 50 L de agua se ha evaporado el 5 %. a) Qué cantidad de agua se ha evaporado? b) Qué cantidad de agua queda en el depósito? 8.- Una fotocopiadora realiza las fotocopia a un 75 % del tamaño real, Qué largo tendrá la fotocopia de un dibujo de 1 cm de largo? 9.- Se quiere hacer una fotocopia de una foto de 8'5 cm de ancho para colocarla en un marco de 6'3 cm de ancho. Qué número (%) tendrá que figurar en el indicador de zoom de la fotocopiadora? 10.- Una casa costaba Primero fue rebajada un 9 % y después un 5' %. Cuánto cuesta actualmente la casa? 11.- Se amplía un original al 13 %. Cuánto medirá el ancho del original si en la fotocopia mide 0 cm? 1.- En una tienda de coches de segunda mano tienen rebajados algunos de sus coches un 15 %. Averigua: a) Cuánto costaría antes de la rebajas un coche cuyo precio actual es de 95? b) Qué precio tendrá ahora un coche si antes de las rebajas costaba 6500? 13.- Una compañía aérea incrementa el 1 % el precio de sus billetes si, después de reservados, se cambia la fecha de viaje. Si deseamos cambiar de día un vuelo que cuesta 50, cuánto deberemos pagar finalmente por el billete? Unidad : Números fraccionarios y decimales pag. 10