Matemáticas y Tecnología. Unidad 2 Los números racionales

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1 CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA Matemáticas y Tecnología Unidad Los números racionales Nota Al final del texto se encuentra la solución de los ejercicios de la página del libro Concepto de fracción Una fracción es una forma de expresar una parte de un objeto que se ha troceado o una parte de una determinada cantidad. Está formada por dos números colocados uno encima de otro y separados por una línea horizontal. El número de abajo, llamado denominador, indica las partes iguales que se han hecho de un objeto o cantidad. El número de arriba, llamado numerador, indica las partes del objeto o cantidad que nos interesan, las que se han cogido o las que se han dejado. Todas las partes en las que se ha dividido un objeto o una cantidad deben ser IGUALES. La figura siguiente representa una tarta que se ha dividido en ocho partes iguales. Numerador Partes de la tarta que se toman o se dejan Parte consumida (en blanco) de tarta de tarta Parte que queda (rayada) Denominador Partes iguales en las que se ha dividido la tarta Las fracciones se leen de la siguiente forma: El numerador, con los números habituales (cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco...) El denominador, añadiendo al número la terminación -avo, excepto los denominadores del al 0 que se leen medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno y décimo; a partir del diez se leen onceavo, doceavo, treceavo, catorceavo... El denominador de una fracción nunca puede ser cero. Cuando en un objeto o cantidad no se hace ninguna parte, siempre tenemos una parte, que es el objeto o la cantidad entera. Así pues, el es el menor número que puede aparecer en el denominador de una fracción. Página de

2 Fracción de una cantidad Ejemplo Cuánto dinero es de.0? Se dividen los.0 en partes..0 Cada parte ( de.0 ) será:. cada parte partes serán:..0 El ejercicio se resuelve con una división y una multiplicación y se expresa de la siguiente forma: de.0 ;.0 : partes. / parte;. / parte partes.0 Ejercicio Calcula el valor de x: a) de.00 x b) de.00 x c) de.000 x 0 00 Ejemplo En un viaje me he gastado. Esta cantidad supone los Con cuánto dinero salí de casa? Solución: de la cantidad con la que inicié el viaje. El denominador de la fracción () indica que el dinero del viaje se ha dividido en partes iguales. El numerador () indica el número de partes que equivalen a la cantidad gastada,. Cada una de las partes gastada será:. Por lo tanto, todo el dinero ( partes) será:.0. La forma de comprobar si el problema está bien resuelto es calculando los operaciones están bien realizadas se deberá obtener. de.0. Si todas las Página de

3 Ejercicio Calcula el valor de x: 0 a) de x 00 b) de x.0 c) de x MUY IMPORTANTE Los ejemplos anteriores corresponden a dos casos diferentes que es necesario distinguir: Primer caso. Se conoce la cantidad total y se quiere averiguar una o varias partes de esa cantidad (ejemplo ). Segundo caso. Se conoce una o varias partes de una cantidad y se quiere averiguar la cantidad total (ejemplo ). Ejercicio Calcula las cantidades desconocidas. Hay ejercicios de los dos tipos anteriores. Es necesario distinguir cuáles son de cada tipo. a) Un restaurante ha comprado litros de aceite. Al final de la primera semana ha consumido del aceite. Calcula los litros de aceite consumidos. b) Un restaurante ha consumido litros de aceite. Esta cantidad supone del aceite que había comprado. Cuántos litros de aceite compró? c) En un depósito quedan 0 litros. Esta cantidad es igual los de su capacidad. Cuál es la capacidad del depósito? d) En un depósito caben.00 litros de agua. Quedan de su capacidad. Cuántos litros quedan? e) Una familia ha gastado 0 en sus vacaciones. Esta cantidad equivale a de la cantidad presupuestada. Cuánto dinero había destinado a las vacaciones Fracciones iguales que la unidad de tarta de tarta de tarta de tarta tarta completa Un objeto completo o la cantidad total se pueden representar mediante una fracción cuyo NUMERADOR y DENOMINADOR son IGUALES. Página de

4 Fracciones mayores que la unidad La figura siguiente representa tartas divididas cada una de ellas en cinco partes iguales. El conjunto de las tres tartas se puede expresar en forma de fracción: El denominador será, ya que es el número de partes en que se ha dividido cada tarta. Cada parte obtenida es de tarta. El numerador será, que es el número de partes que hay en total. tartas de tarta Los números NATURALES pueden expresarse en forma de fracción Ejercicio a) Escribe la fracción que correspondería a las tartas anteriores en el caso de que cada una de ellas estuviese dividida en: partes partes 0 partes partes 0 partes b) Escribe en forma de fracción los siguientes números naturales: c) A qué número natural equivalen las siguientes fracciones? 0 0 Fracciones mayores que la unidad La imagen siguiente representa tartas iguales que han sido divididas en partes iguales cada una. En color blanco, los trozos consumidos y en color negro, los trozos que quedan. En total se han consumido: 9 de la primera tarta + Una tarta entera son trozos, por lo que se puede escribir: de la segunda tarta de tarta de tarta de tarta + de tarta tarta + de tarta tarta se denomina número mixto, está formado por la suma un número natural y una fracción (se ha omitido el signo +) y es otra forma de expresar fracciones mayores que la unidad. Página de

5 Las fracciones mayores que la unidad pueden expresarse en forma de número MIXTO o número NATURAL Ejercicio a) Sombrea en cada dibujo las partes necesarias para representar la fracción que se indica y escribe el número mixto a que equivale cada fracción. 9 0 b) Pinta en cada dibujo las partes necesarias para representar el número mixto que se indica y escribe la fracción a la que equivale. 0 Ejercicio Escribe la fracción a la que equivale cada uno de los siguientes números mixtos y viceversa: Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor pero sus términos son distintos. y son fracciones equivalentes porque representa la misma cantidad, la mitad de un objeto Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada podemos MULTIPLICAR (siempre) o DIVIDIR (a veces) el numerador y el denominador de la fracción por el MISMO número. Ejercicio Escribe los numeradores y denominadores que faltan en las siguientes parejas de fracciones equivalentes. 00 a) a) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) 0 t) 0 9 Página de

6 Observa las siguientes fracciones equivalentes: En las fracciones equivalentes se cumple SIEMPRE que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda ES IGUAL al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ejercicio a) Averigua si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes entre sí 9 9 y y y y y. 0 0 Reducción de fracciones a común denominador Observa las siguientes series de fracciones equivalentes: En ambas series hay fracciones con el mismo denominador: Las fracciones denominador: y pueden ser sustituidas por fracciones equivalentes a ellas y que tengan el mismo 0 y 0 y 0 y 0 y 9 9 Esta sustitución recibe el nombre de reducción de fracciones a común denominador. Observa que los denominadores comunes (,,, 9) son múltiplos de y y que el primer denominador común de la serie, el, es el mínimo común múltiplo de y. Reducir varias fracciones a común denominador es SUSTITUIRLAS por otras fracciones EQUIVALENTES a ellas con el MISMO DENOMINADOR Para sumar y restar fracciones es obligatorio que tengan el mismo denominador. Si no es así, es obligatorio reducirlas a común denominador antes de efectuar las operaciones. Asimismo, si se quiere comparar fracciones y la diferencia entre éstas no es suficiente grande como para apreciarse a simple vista, será necesario reducirlas a común denominador para saber con certeza cuál de ellas es la mayor y cuál la menor. Página de

7 Ejemplo Cuál de estas dos fracciones, y, es mayor? 0 A simple vista es difícil saber cuál de las dos es mayor, pero si se reducen a común denominador se apreciará claramente. El denominador común que buscamos es el MCM de 0 y. Para calcularlo basta con escribir los múltiplos de uno de ellos, por ejemplo el, y ver cuál es también múltiplo de 0 (tiene que acabar en cero). Múltiplos de,,,, 0 0 también es múltiplo de 0 y es el múltiplo común a los dos más pequeño (MCM). Ahora escribimos la relación de equivalencia entre las fracciones dadas y las que buscamos: y Ahora hay que calcular los nuevos numeradores. Recuerda que la forma de obtener fracciones equivalentes de una dada es multiplicar ambos términos, numerador y denominador, por el mismo número: 0 a 0; si no se adivina el valor de a, se puede realizar la división 0 : 0 b 0; si no se adivina el valor de b, se puede realizar la división 0 : Ahora se aprecia claramente que la fracción es ligeramente mayor que la fracción Ejercicio 9 Reduce a común denominador las siguientes parejas de fracciones a) 0 9 y b) y c) y Simplificación de fracciones El concepto mitad puede expresarse por infinitas fracciones: 0... Igualmente que el concepto tercera parte :... 9 Las fracciones con los términos más pequeños que expresan los conceptos mitad y tercera parte ( y ) respectivamente) reciben el nombre de fracciones irreducibles. En las series siguientes de fracciones equivalentes Página de

8 y son las fracciones irreducibles de cada serie. No hay ninguna fracción equivalente a ellas que tenga los términos más pequeños. En las fracciones irreducibles (,, y ), sus términos no pueden dividirse por el mismo número; no existe un número que divida a la vez al y al, al y al, al y al, al y al. Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción IRREDUCIBLE EQUIVALENTE a ella. Una fracción se puede simplificar si sus términos (numerador y denominador) tienen divisores comunes. Un número es divisor de otro cuando la división entre ambos es exacta. es divisor de porque : (resto 0) es divisor de porque : (resto 0) Así, la fracción se puede simplificar ya que sus términos ( y ) tienen divisores comunes. Estos divisores son los números,,, y. La división de y por cada uno de ellos es exacta. Ejemplo Para simplificar la fracción debemos dividir sus dos términos por un mismo número, un número que 0 sea divisor de los dos a la vez. Este número es el. La fracción Ejemplo es equivalente a : 0 : y es irreducible 0 A veces, para simplificar una fracción no basta con una sola división. Así, para simplificar la fracción 0 se deben realizar varias divisiones: 90 0 : 0 : : 90 : 9 : : Observa que hemos dividido por, por y por, o lo que es lo mismo, por 0 ( 0). Si dividimos los dos términos de la fracción por 0, la simplificación se realiza en un solo paso. 0 : 0 90 : 0 Para simplificar una fracción se divide el NUMERADOR y el DENOMINADOR por un MISMO NÚMERO hasta obtener una fracción irreducible. Ejercicio 0 Simplifica las siguientes fracciones Página de

9 Fracción de una fracción Ejemplo Los de una finca se dedican al cultivo de cereales. Al cultivo del trigo se dedican los dedicada a cereales. Qué parte de la finca se dedica al cultivo de trigo? de la parte finca entera cereales trigo de la finca de la finca de de la finca Para poder saber la fracción de la finca dedicada al trigo, toda la finca debe estar dividida en partes iguales. Se divide, pues, el tercio de la finca que no está dedicado al cultivo del cereal en partes, tal y como cada una de las partes que se dedican al cereal. La finca queda así dividida en partes iguales, de las que partes están dedicadas al cultivo del trigo. Por lo tanto de de la finca es igual a de la finca. trigo de la finca La única forma de obtener ese resultado ( ) es mediante la multiplicación de las fracciones y de de la finca de la finca Ejercicio Calcula: a) de de b) de de.000 km c) de de.000 litros EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio Página 9 de

10 Ejercicio (redacción del problema de la página para que su solución sea la del libro) Una familia destina de su presupuesto mensual a gastos de vivienda y del presupuesto a 0 alimentación, sobrando 0 para otros gastos. A cuánto ascendía el presupuesto? Solución Fracción Cantidad Gastos de vivienda de los ingresos Gastos de alimentación de los ingresos 0 Otros gastos 0 TOTAL + + de los ingresos gastados en vivienda y alimentación (total de ingresos) de los ingresos de los ingresos en otros gastos 0 de los ingresos 0 Ingresos 0 Ejercicio Gasto del dinero que tengo en una cuenta, luego ingreso de lo que queda, pero aún me faltan para tener el saldo inicial. Cuánto tenía? Solución Si gasto del dinero inicial, me quedan del dinero inicial Ingreso de lo que queda, es decir de del dinero inicial del dinero inicial Ahora tengo del dinero inicial + del dinero inicial + del dinero inicial Para tener el dinero inicial me falta (dinero inicial) del dinero inicial del dinero inicial del dinero inicial Dinero inicial 9 Ejercicio Necesito 0 pasos para avanzar 00 metros. Qué fracción de metro avanzo con cada paso? 00 metros de metro por cada paso 0 pasos Cuántos pasos daré si recorro 0 m? 0 pasos 00 metros pasos para andar un metro ( pasos paso y de paso) 0 pasos por metro 0 m 0 0 pasos necesarios para recorrer 0 m Cuántos metros he recorrido si he dado 0 pasos?. 0 de metro por cada paso 0 pasos 0 00 metros Página 0 de

11 Ejercicio Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con una capacidad de Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 00 envases? envases de litro cada envase 00 0 litros Cuántos envases se pueden llenar con 00 litros de jabón?. de litro litros : de litro cada envase 00 : : 0 envases EJERCICIOS DE REPASO Y AMPLIACIÓN Ejercicio Calcula el valor de x: de. x de.000 x de x.000 de x Ejercicio Convierte la fracción en número mixto o natural y viceversa Ejercicio Simplifica las siguientes fracciones y escribe, si es posible, la fracción irreducible en forma de número natural o mixto Ejercicio Escribe el término que falta en las siguientes relaciones de equivalencia 0 0 Ejercicio 00 0 En una empresa han repartido beneficios. A uno de los socios le han correspondido.0, que equivalen al de los beneficios totales. Cuál ha sido el beneficio de la empresa? 00 Ejercicio Una empresa de bebidas pone a la venta un refresco de naranja en un envase con una capacidad de de litro. En un año ha vendido.0.0 envases de ese refresco. Cuántos litros de ese refresco ha 9 vendido durante el año? Ejercicio Cada peldaño de la escalera de un edificio tiene una altura de de metro. Entre cada planta del 0 edificio hay peldaños. Qué altura ha subido una persona que se ha desplazado desde la tercera planta hasta la octava planta? Ejercicio Los de una finca se dividen en parcelas iguales para la construcción de chalets. Qué fracción de la finca ocupa cada parcela? 0 Página de

12 Ejercicio 9 Una empresa fabrica remolques de tres tipos: A, B y C. Al finalizar el año obtiene un beneficio de 9.0. La fabricación del remolque del tipo A le ha dado el de los beneficios y la del remolque 0 del tipo B el de los beneficios. 0 a) Expresa en forma de fracción el beneficio obtenido con la fabricación del remolque del tipo C b) Calcula en euros el beneficio obtenido con cada la fabricación de cada tipo de remolque. Ejercicio 0 Una persona ha dejado escrito en su testamento el reparto de su herencia. El dinero que posee debe ser repartido de la siguiente manera: del dinero para la ONG de la que es presidente; del dinero para un hospital infantil; el resto del dinero a repartir en partes iguales entre sus hijos. Qué fracción del dinero se lleva cada hijo? EJERCICIOS RECOMENDADOS DEL LIBRO Ejercicios de la página Ejercicio g. La solución correcta es Ejercicio h. La solución correcta es 9 Ejercicios de la página Ejercicio 0. La solución correcta es., Ejercicio. La solución correcta con los datos del problema es, Ejercicios de la página Este ejercicio sustituye al número de esta página. En estos ejercicios no aparecen números enteros negativos. ) Calcula y simplifica el resultado si es posible. Si la fracción resultante es igual o mayor que la unidad debes expresar el resultado con un número natural o mixto según corresponda. a) + b) + c) + d) + e) 0 f) g) h) + 0 De los ejercicios y se hace solamente los que no tengan números negativos. Página de

13 SOLUCIONES Ejercicios del texto Ejercicio a) de.00. b) de c) de Ejercicio 0 a) de b) de c) de Ejercicio a) 0 litros de aceite consumidos b) Aceite comprado litros c) Capacidad del depósito 90 litros d) Quedan.00 litros e) Había presupuestado.00 Ejercicio a) tartas tartas 9 0 tartas 0 tartas 0 tartas 0 b) c) Ejercicio a) b) Ejercicio Página de

14 Ejercicio 0 00 a) a) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) 0 t) 0 a cualquier número 9 0 a Ejercicio a) Averigua si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes entre sí 9 9 y SI y SI y SI y NO y. NO 0 0 Ejercicio a) y y b) y y c) y y Ejercicio Ejercicio a) 0 de de de.000 de b) de de.000 km de.000 km de.000 km km c) de de.000 litros de.000 litros de.000 litros.00 litros Ejercicios repaso y ampliación Ejercicio de..9 de de de Ejercicio Ejercicio Ejercicio Página de

15 Actividad.000 Actividad.0 litros Actividad Ha subido 0 peldaños, metros en total Actividad de la finca 0 0 Actividad 9 a) 0 9 de los beneficios b) Tipo A. Tipo B. Tipo C 0. Actividad 0 del dinero de la herencia SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE LA PÁGINA DEL LIBRO ) Ejercicio que sustituye al del libro a) b) c) + 0 d) + e) 0 f) g) 0 h) ) Soluciones del ejercicio del libro a) b) c) 0 d) g) h) i) 0 0 j) 0 e) 0 k) f) l) Página de

16 d) : : : ( ) ( ) Página de