COLEGIO SAN JOSÉ - Hijas de María Auxiliadora C/ Emilio Ferrari, 87 - Madrid Departamento de Ciencias Naturales

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1 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017. FRACCIONES Antes de empezar El trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fracción puede verse desde una triple perspectiva. Puedes ver una fracción simplemente como un número. También como una parte de un total. O también puedes interpretar una fracción como un porcentaje. Recuerda Para trabajar con fracciones necesitarás en ocasiones obtener la descomposición factorial de un número, así como calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. Para descomponer en factores un número lo dividimos por el primer número primo que podamos. Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente el cociente por el mismo número primo. Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda. Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1. Finalmente ponemos ese número como un producto de potencias de factores primos. El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos esos números a la vez, exceptuando el número 0. Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página 1

2 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid Fracciones Fracciones equivalentes Halla el valor de y.dan el mismo resultado. Son dos fracciones equivalentes. a c Si, a y d reciben el nombre de extremos, b y c se llaman medios. En el ejemplo los extremos son b d y, los medios y. Observa que si los multiplicamos se obtiene igual resultado: = y =. a c son equivalentes si a d = b c b d 1 Vamos a comprobar si las fracciones siguientes son o no equivalentes: y 1 Los extremos de las fracciones son 1 y. Su producto vale 1 = Los medios de las fracciones son 1 y. Su producto vale 1 = Por lo tanto son fracciones equivalentes 1 1 Ejercicio 11: Comprueba si las siguientes fracciones son o no equivalentes a) b) 7 1 y y 1 7 Pista: a) 7 0 = 0 1 = b) 7 = 1 7 = Simplificación de fracciones 1 Si divides por el numerador y el denominador de obtienes, que es equivalente. Ahora puedes 1 dividir y entre. Obtienes que no se puede simplificar. Es irreducible. 1 Resumiendo: 1 que es irreducible. Al dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente. Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

3 7 Vamos a simplificar la fracción siguiente: 1 COLEGIO SAN JOSÉ - Hijas de María Auxiliadora C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Numerador y denominador se pueden dividir por : 7 : 1 : 7 Ahora, numerador y denominador de pueden dividir por : : 7 : 1 1 es una fracción irreducible. Fracciones con igual denominador Reducción a común denominador 11 1 Considera las fracciones y. 7 Para compararlas y realizar cálculos podemos usar otras fracciones equivalentes con igual denominador y 7 Al dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente. Vamos a reducir a igual denominador las fracciones: 7 y 0 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (0,) = 10 que será el nuevo denominador de las fracciones. Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 10: 0 = y multiplicamos el resultado por el primer numerador: 7 = 17, que será el nuevo primer numerador. Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 10: = y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: = 10, que será el nuevo segundo numerador Así, las fracciones quedan: y Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

4 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Ejercicio 1: Reduce a común denominador: a) y b) y c) y d) y Pista: a) m.c.m.(1, 10) = 70 c) m.c.m.(, 10) = 10 Comparación de fracciones Qué fracción es mayor, ó? 11 7 Vamos a reducirlas a común denominador: La primera fracción es mayor: > 11 7 y Vamos a comparar las fracciones: Es conveniente que uses los símbolos mayor que, >, y menor que, <. y 17 Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (17, ) = Reducimos las dos fracciones a denominador común: 17 y 1 1 Ahora ya podemos comparar las fracciones: < luego < 17 Ejercicio : Compara las siguientes fracciones: 7 1 a) y b) y 1 7 c) y d) y 17 Pista: a) m.c.m. (, ) = b) m.c.m. (17, ) = 1 c) m.c.m. (1, 7) =? d) m.c.m. (, ) =? Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

5 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017. Operaciones con fracciones Suma y resta Para sumar fracciones de denominador igual deja el denominador y suma los numeradores Si son fracciones de distinto denominador las reduciremos primero a común denominador. Es lo mismo 1 que 7 a b a b y c c c a b c c a b c Simplifica cada fracción y calcula: En primer lugar simplifico las fracciones: ; ; 1 1 ; Queda: 1 La solución es: Ejercicio 1: Calcula el valor de: a) b) c) d) 7 1 Pista: Intenta simplificar primero cada fracción Después calcula el m.c.m. de los denominadores. (Será el nuevo denominador) Divide el m.c.m. por cada denominador y multiplícalo por su correspondiente numerador. (Obtendrás los nuevos numeradores) Ya puedes sumar o restar las fracciones. Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

6 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Producto de fracciones La figura representa a Vamos a hallar de.dividimos en tres partes y después cogemos dos: Del total, tenemos 1 Recuerda a c a c b d b d Vamos a calcular el valor del siguiente producto: Si es posible simplificamos las fracciones: la fracción y la fracción es irreducible 0 1 Multiplicamos los numerados y denominadores: Si es posible, simplificamos el resultado. En este caso es irreducible 7 Cociente de fracciones Dos fracciones son inversas si su producto es 1. Por ejemplo y lo son pues 1 1 Y escribiremos:. 1 d En general: c c d Para dividir fracciones multiplicamos en cruz: a c a 1 a d a d : b d b c b c b c d a c : b d a d b c 10 Vamos a calcular el valor del siguiente cociente: : Si es posible simplificamos las fracciones: y 1 Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

7 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz: 1 : 1 1 Si es posible, simplificamos el resultado: 1 1 Ejercicio : Calcula el valor de los cocientes: 1 a) : b) : 1 7 c) : d) : Pista: Intenta simplificar primero cada fracción Multiplica numeradores y denominadores en cruz Si es posible, simplifica el resultado Potencias de fracciones Cuánto vale? Desarrollemos la potencia: Recuerda: a b n a b n n 0 a y 1 b Vamos a obtener el valor de: Elevamos numerador y denominador al exponente: Calculamos la potencia: 1 0 Ejercicio : Calcula el valor de las potencias: a) 7 7 c) b) d) 1 7 Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página 7

8 Raíz cuadrada de una fracción COLEGIO SAN JOSÉ - Hijas de María Auxiliadora C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Para obtener la raíz cuadrada de una fracción, haz la raíz del numerador y el denominador. La razón es que: y y también Luego, habrá una raíz positiva y una negativa Recuerda: a a a y b b b Vamos a obtener el valor de: 1 Hallamos la raíz del numerador y del denominador: Por ser raíz cuadrada hay otra solución: 1 1 Ejercicio : Calcula el valor de: a) b) 11 1 c) 1 d) 1 Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay una serie de cuestiones que conviene tengas en cuenta: El orden de las operaciones es de izquierda a derecha. Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas. Si aparecen paréntesis, sus operaciones tienen prioridad. Los paréntesis anidados se realizan de dentro a fuera. No suele ser conveniente que esperes al final del ejercicio para simplificar. Vamos a obtener el valor de: 7 Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

9 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017 Operamos por separado numerador y denominador: Dividimos multiplicando en cruz: 10 Si es posible, simplificamos el resultado: Ejercicio : Calcula el valor de: 7 b) a) 11 : 7. Problemas de aplicación Problema 1: 11 7 La semana pasada he leído 7 1 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer del resto. En total he leído 7 páginas del libro. Cuántas páginas en total tiene el libro? Problema : Hemos vaciado agua contenida en un barril, en 1 recipientes de litros cada uno. Todos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 1 litros. Cuántos litros de agua contenía el barril? Problema : Esta previsto destinar 1 de una finca a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado de lo previsto a zonas ajardinadas. Qué fracción de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento? Problema : De un depósito de cereales se han extraído los 10. Al día siguiente se extrae 1 del resto. Qué fracción del total se ha extraído del depósito? Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página

10 C/ Emilio Ferrari, 7 - Madrid 017. FRACCIONES RECUERDA LO MÁS IMPORTANTE Cuándo son equivalentes dos fracciones? Cuando su producto de extremos y medios coincide. a c si cumple a d = c d b d Cómo se simplifican fracciones? Debes dividir numerador y denominador entre un mismo factor. Si el m.c.d. del numerador y el denominador es la unidad, la fracción ya no se puede simplificar más, es irreducible : 1 : : : Si sabes el mcd del numerador y el denominador, lo mejor es dividir directamente por esa cantidad. La fracción resultante será irreducible. m.c.d. (0,1) = : 1 : Cómo se reducen fracciones a igual denominador? 0 7 Divide el m.c.m. de los denominadores entre el denominador y equivalen a y y multiplica por el numerador. Cómo se suman y restan fracciones? Deben tener el mismo denominador. Cómo se multiplican fracciones? Multiplica numeradores y denominadores. Cómo se dividen fracciones? Multiplica en cruz los numeradores y denominadores. Cómo se obtiene la potencia de una fracción? Eleva el numerador y el denominador. Cómo se extrae la raíz de una fracción? Extrae la raíz del numerador y el denominador Instituto de Tecnologías Educativas Ministerio de Educación Página 10