Introducción. Desarrollo. Palabras clave. Matemáticas Unidad 1 Significado y uso de los números. Números enteros

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1 Matemáticas Unidad 1 Significado y uso de los números Convertir fracciones a su escritura decimal y viceversa. Definir y utilizar los números negativos. Ubicar y representar números enteros, fraccionarios y decimales en la recta numérica, para definir su orden. Resolver problemas en los que se usan las propiedades y las características de los números enteros, fraccionarios y decimales. Introducción En numerosas situaciones ocupamos cantidades para contar, expresar proporciones, porcentajes o hablar de pérdidas económicas; y al hacerlo utilizamos distintas representaciones numéricas, como los números naturales, los negativos, las fracciones y los decimales. Si, por ejemplo, queremos saber qué cantidad es mayor entre dos cifras, usaremos las propiedades de los números, e incluso podemos usar la recta numérica para buscar respuesta entre los números negativos, las fracciones o los decimales. Acompáñanos en esta unidad para aprender a establecer el orden de distintas cantidades con la ayuda de la recta numérica. Desarrollo Números enteros En nuestra vida, al empezar a familiarizarnos con los números, comenzamos por contar cantidades pequeñas: 1,, 3,, 10. Más adelante, extendemos estos números para hablar de decenas, centenas, millares, millones y así sucesivamente, hasta saber que podemos contar de forma infinita. Este primer conjunto de números, los que usamos para contar, son conocidos como números naturales. 1

2 Sin embargo, cuando aprendemos a restar, encontramos algunas operaciones que no podemos resolver para los números naturales, por ejemplo: 4 = Para solucionar este tipo de operaciones se introdujo la idea de números negativos, números acompañados del signo, que podemos usar para decir que el resultado es: 4 = 1 Algunas propiedades importantes de los números negativos son: Cualquier número natural es mayor que cualquier número negativo: 700 < 1. El cero es mayor que cualquier número negativo: 1 < 0. Entre números negativos, el mayor es el que expresa menor cantidad: 7 <. Los números negativos se emplean para expresar gastos o pérdidas económicas, temperaturas muy frías, profundidades o sentidos contrarios, entre otros usos. Así tenemos los números naturales, conformados por los números positivos y los números negativos. Este conjunto de números: positivos, negativos y el cero, que es un elemento neutro, se conocen como números enteros. Números racionales: Fracciones A partir de otra operación, la división, en los casos en los que el residuo es diferente de cero, se originan los números racionales, es decir, las fracciones y los números decimales, que en realidad son formas diferentes de expresar lo mismo. Una fracción es la representación de una unidad dividida entre cierto número de partes, que se colocan en la parte de abajo de la fracción y se llaman denominador; lo que se divide, se expresa arriba y se llama numerador. Es decir: 3 numerador denominador Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia: Llamada también fracción común, es aquella en la que el denominador es mayor. 7, 1 3, 3 100, Fracción impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor. 3, 1, 18 9,

3 Fracción mixta: Es la que combina un número entero y una fracción propia. 1 1, 7 8, 13 13, Una fracción mixta se puede convertir en una impropia. Se debe multiplicar el entero por el denominador y sumar el numerador, que se coloca como nuevo numerador; el denominador es el mismo: (9)(4) = = = Una fracción impropia puede escribirse como mixta. Por ejemplo, 13. Se divide 13 entre, que es igual a y quedan 3 como residuo. El cociente será el entero, el residuo el numerador y ponemos el mismo denominador, por lo que queda 3. Una misma cantidad se puede escribir con fracciones diferentes: 1, 4, 3 6, Se conocen como equivalentes. Nota que, si multiplicamos una fracción por un mismo número, obtendremos fracciones equivalentes. Nos podemos apoyar en eso para encontrar un orden para las fracciones: multiplicarlas para obtener equivalentes y así determinar cuál es mayor. Por ejemplo, si queremos saber qué fracción es mayor entre 7 y 7, podemos multiplicar la primera fracción por 9 y la segunda 9 por 7, se obtiene 4 63 y 49 63, respectivamente. Como 4 < 49, entonces la fracción mayor es 7 9. Números racionales: Decimales Toda fracción es la representación de una porción de algo. Como hablar de porciones se refiere a dividir, entonces una fracción se puede escribir como una división, con el numerador como dividendo y el denominador como divisor. Por ejemplo, para la fracción, dividimos entre, lo que es igual a 0.6. Entonces, toda fracción tiene su expresión decimal equivalente, que en algunos casos es finita (como 0.6), mientras que en otros es una expresión infinita pero periódica (es decir, repetitiva), como 1 3 = Igual que los números naturales, los números decimales tienen sus posiciones, de acuerdo con la base 10: (entero). (décimos)(centésimos)(milésimos) En el caso de los decimales, el orden se obtiene comparando posición por posición. Por ejemplo, para determinar cuál de estos números decimales es mayor: 3.16 o 3.161, comparamos primero los enteros, ambos son 3. Luego, los décimos; ambos son 1, luego, los centésimos, la primera cantidad tiene y la segunda 6. Por lo tanto, es mayor. 3

4 Así como convertimos fracciones a decimales, también podemos escribir la expresión fraccionaria de un número decimal. Por ejemplo, si queremos escribir 0.7 como fracción, entonces ubicamos la posición del último dígito,, que se ubica en los centésimos. Escribimos y reducimos esa fracción: = 1 0 = 3 4 Recta numérica Todos los números se pueden acomodar en una línea recta, llamada recta numérica o recta real porque todos los números que conocemos se denominan números reales. La recta numérica se ve de esta forma para números enteros: negativos cero positivos Recta númerica Como se dijo antes, cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo, por lo que, para establecer el orden de los números podemos decir que cuanto más a la derecha en la recta numérica esté un número, más grande es. Para ubicar decimales y fracciones, requerimos hacer divisiones entre los enteros. Por ejemplo, para ubicar partir del cero., dividimos el espacio entre 0 y 1 en porciones y contamos a 0 1 O, si queremos ubicar 0.3, que son tres décimos, habrá que dividir el segmento entre el 0 y el 1 en 10 partes y contar 3 a partir del

5 Consolidación Números Pueden clasificarse en Dentro de Dentro de Naturales Enteros Racionales Como 1,, 3, 4, Que pueden ubicarse en Que son La recta numérica Positivos Negativos Cero Que pueden ser Decimales Fracciones De tipo Propias Impropias Mixtas Cierre A) 4, 3,, 1, B) 4,, 3, 1, C), 1,, 3, 4 D),, 1, 4, 3 Observa las opciones de respuesta: dos empiezan con la fracción 4 y dos con la. Si las comparamos, tendremos dos caminos: convertir a decimales (lo que también sirve para las otras fracciones) o comparar con fracciones equivalentes. 8 De la primera forma, = 0.9, mientras que = 0., por lo que podemos decir que 10 es mayor; como hay que ordenarlos de mayor a menor, éste va primero. Por otro lado, multiplicar 9 10 por 8 arriba y abajo resulta en 7 0 ; en cambio, multiplicar 80 8por 10 es igual a, lo que refuerza 80

6 la idea de que 9 es mayor. Así, descartamos las opciones C y D, por lo que nos quedan A y 10 B como opciones para respuesta correcta. Ahora, comparamos las segundas fracciones, 3 y, que son 4 y 8, respectivamente. Ya tenemos el decimal correspondiente a 8, así que podemos obtener el de 4 = 0.8; por lo tanto, esta fracción es mayor que y se ubica antes. Con ello, el 3 va después del 4 y ya podemos 8 decir que la opción A es la respuesta correcta. Sólo para complementar, haremos esto con cada fracción: El orden es, entonces, 4, 3,, 1, 9 18 = 0.4 = = 0.7 = = 0.8 = = 0.9 = = 0. =