ARITMÉTICA MODULAR. Unidad 1

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1 Unidad 1 ARITMÉTICA MODULAR 9

2 Capítulo 1 DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos relacionados con el estudio de la matemática discreta. Objetivos específicos Reconocer relaciones entre conjuntos. Identificar una relación de equivalencia y clases de equivalencia. Identificar una relación de orden. Comentario inicial En este capítulo se presentan conceptos básicos y notaciones de la Teoría de Conjuntos relacionados con los temas a exponer en este módulo. 10

3 Lección No. 1: Conjuntos Aunque en matemática no existe una definición para conjunto, tenemos que un rebaño, un enjambre de abejas, un ejército, una familia y otros similares nos dan una idea intuitiva de lo que es un conjunto. Como es usual, pero no regla, los elementos de un conjunto se nombran por letras minúsculas y los conjuntos se nombran con letras mayúsculas. Así, tenemos que a A representa que a es un elemento de A, como también tenemos que b A representa que b no es un elemento de A. Se puede determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión. Por extensión se determina un conjunto dando una lista de todos los elementos que conforman el conjunto. Y por comprensión se determina un conjunto dando una propiedad o condición que deben cumplir los elementos que conforman el conjunto. Usualmente dicha condición tiene la siguiente estructura: xu : x es P y se lee es el conjunto de todos los elementos del conjunto U que satisfacen la propiedad o condición P. El conjunto U usualmente es llamado conjunto referencial o universal. El conjunto representado por es el conjunto vacío o sin elementos. También se puede representar por. Salvo que se indique lo contrario, los conjuntos que se van a considerar en este módulo son finitos, es decir, conjuntos en los que podemos contar sus elementos o en otras palabras, asociarles un número natural que indica la cantidad de elementos que tienen dichos conjuntos. Ejemplo 1: Pensemos en el siguiente conjunto A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Como puede apreciarse en el ejemplo, el conjunto A está determinado por extensión, ya que se tiene la lista de 11

4 los elementos que lo conforman. Sin embargo uno puede escribir el mismo conjunto por comprensión de la siguiente forma: A x N: x es un dígito, donde N es el conjunto de los números naturales. También podemos decir por ejemplo 1 A, 11 A, 3 A 100 A y 9 A, entre otras cosas. Ejemplo 2: Pensemos en los planetas del sistema solar y el siguiente conjunto: son los planetas en los que hay evidencia de vida. Si llamamos B a ese conjunto de planetas, entonces por extensión B La Tierra y por comprensión B x S : x es un planeta con evidencia de vida, donde S es el conjunto de los planetas del sistema solar. También podemos decir por ejemplo, que La Tierra es elemento de B, que Mercurio no es elemento de B y que Plutón no es elemento de B, entre otras cosas. Ejemplo 3: El conjunto de todos los libros de una biblioteca pública es un conjunto finito, porque aunque pueden ser muchos libros, hay un número natural que nos indica cuántos hay. Los conjuntos A y B de los ejemplos y son conjuntos finitos. El conjunto vacío es finito y su número de elementos es cero. El conjunto de los números naturales y el conjunto de los enteros son ejemplos de conjuntos no finitos. EJERCICIOS Ejercicio 1: Escriba por extensión los siguientes conjuntos: a. El conjunto de todos los números enteros impares mayores que 0 y menores que 10. Sol: 1,3,5,7,9 b. El conjunto de las letras que son parte de la sigla de la Organización de las Naciones Unidas. 12

5 Sol: o, n, u Ejercicio 2: Escriba por comprensión los conjuntos del ejercicio 1: Sol: a. x : 0 < x < 10, donde Z es el conjunto de los números enteros. b. x C: x es letra en minúscula de la palabra ONU, donde C es el conjunto de las letras del alfabeto español. Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de conjuntos y para cada uno de ellos haga un desarrollo similar al presentado en los ejemplos 1, 2 3 de la lección 1. Lección No. 2: Partes de un conjunto Qué es un subconjunto? Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todos los elementos de A son elementos de B. La notación de la relación...ser subconjunto de... es A B. Un conjunto A no es un subconjunto de B, si existe al menos un elemento de A que no es elemento de B. La notación de la relación...no es subconjunto de... es A B. Para todo conjunto A, se tiene que A y que A A y son llamados los subconjuntos impropios de A. Se dice que A y B son iguales, notado A B, si y solo si A B y B A. Se dice que A y B no son iguales, notado A B, si y solo si A B o B A. 13

6 Ejemplo 1: Pensemos en los conjuntos A a, 0, b, 1, c, 2,3 y B a, l, 0, u, b, 1, i, c, s, 2,3, entonces A B porque todos los elementos de A están en B, pero B A ya que por lo menos s B y s A. Ejemplo 2: Si N es el conjunto de los números naturales y Z es el conjunto de los números enteros, entonces N. Ejemplo 3: Si A 1,2,3, a, e, i, o, u y Ba, e, i, o,u,10,1,5,6,8 entonces A B, ya que por lo menos 2 A y 2 A. Ejemplo 4: Si A 1,2,3,4,5 y B 5,3,4, 1,2 entonces A B. Si C a, a, b, c, d, e y Da, b, b, c, d, e entonces C D. En ambos casos se puede confirmar la igualdad, verificando la veracidad de la doble contenencia. Ejemplo 5: Si A 1,2,3,4,5 y B5,3,4,1,2,6,6 entonces A B porque B A y si C 1, b, 3, d,5 y Da, b, c,3,5 entonces, también se cumple que C D porque C D EJERCICIOS Ejercicio 1: Proponga dos subconjuntos para el conjunto B del ejemplo 1 y dos subconjuntos para el conjunto A del ejemplo 2. Proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de A del ejemplo 1 y proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de B del ejemplo 2 correspondientes a la lección 2. Ejercicio 2: Proponga un conjunto de tal forma que pueda sacar tres subconjuntos y que pueda sacar tres no subconjuntos. Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de igualdad entre conjuntos y dos ejemplos en donde no haya igualdad entre conjuntos. 14

7 Qué son las partes de un conjunto? Dado un conjunto A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama partes del conjunto A. Partes de A se denota usualmente por P (A). Cuando A tiene n elementos, el conjunto P(A) tiene 2 n elementos. Ejemplo 1: Si A 0,1, entonces P (A), 0, 1, A. Ejemplo 2: Si Ba, b, c, entonces B tiene subconjuntos y P (B), a, b, c, a, b, a,c, b, c, B. Ejemplo 3: Tomando como referencia el conjunto A del ejemplo 1.2.1, tenemos lo siguiente: el conjunto A tiene 2 10 subconjuntos, P (A), 0,1,2 A, 0,1,9,11 0,1,2,4,5,7, P 0,1,2 P (A), 5,6 P 0,2,6, 1,1,2, 2,1, 4,5,6,1 3,7,8,9 y muchas otras más relaciones que se pueden sacar!!!. Ejercicios Ejercicio 1: Considere el conjunto C a, b, c, d. Cuántos subconjuntos de C hay? Por extensión, quién es P(C)? Sol: El conjunto C tiene subconjuntos. Ejercicio 2: A partir de un conjunto que usted quiera definir, construya 5 ejemplos de ser elemento de partes del conjunto y 5 ejemplos de no ser elemento de partes del conjunto. 15

8 Lección No. 3: Operaciones entre conjuntos Si consideramos que A y B son subconjuntos de un conjunto U, entonces la siguiente tabla contiene un resumen de las operaciones básicas entre conjuntos: Operación Nombre Definició A Unió n x U : x A x B B A n Intersección x U : x A x B B A-B Diferencia x U : x A x B A c Complemento {x U y xa} Tabla Resumen operaciones básicas entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son disyuntos si A B. Las Leyes de Morgan para A y B son (A B) c A c B c y (A B) c A c B c. Ejemplo 1: Si U a, 1, b, 2, c, 3, d, 4, e, 5, A a, b, 2, d, 4,5 y B a, 1, b, 2, c entonces A Ba,1, b, 2, c, d, 4,5, A Ba,b, 2, A Bd, 4,5 y A c 1, c, 3, e. Ejemplo 2: Si U a, b, c, d, e, A a, b, d y B a, d, e entonces A Ba, b, d, e, A Ba, d, B Ae y B c b, c. Ejemplo 3: Si U 1,10,100,1000,10000, A 100 y B 1, 100, 1000, entonces A c 1,10,1000,10000, A B A y A c B c 1,1000. Ejercicios Ejercicio 1: A partir del ejemplo 1 encontrar B- A, B c, (A B) c, A c B c, (A B) c y A c B c. 16

9 Sol: B-A1, c, (A B) c 3, e y (A B) c 1, c, 3, d, 4, e,5 Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 3,7,9, B 1,3,4,5 y C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c Sol: A B BC -A1,5} y C c = {2,3,4,6,7,9}. Lección No.4: Relación de equivalencia Qué es una relación entre conjuntos? El producto cartesiano de A y B, notado A X B, es el conjunto a, b : a Ab B, donde a, b se denomina pareja ordenada. Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del conjunto B. Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas, por lo tanto, R es un subconjunto de A X B. En símbolos R A X B. Si a, b es pareja ordenada de la relación R, se escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R. Ejemplo 1: Si A a, b, c y B 1,2 entonces: pero también se tiene que: A X B (a, 1), ( a, 2), (b, 1), ( b, 2), ( c, 1), ( c, 2) B X A (1, a ), ( 2, a), ( 1, b), ( 2,b), ( 1, c), ( 2, c) Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R (a,1), ( b,2), ( c,1) es una A X B del 17