Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales

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1 Departamento de Tecnologías de la Información Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial

2 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 2

3 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 3

4 2.1. Alfabeto Se llama alfabeto a un conjunto finito, no vacío, cuyos elementos se denominan letras o símbolos. Se definen los alfabetos por la enumeración de los símbolos que contiene. Ejemplos : A1={A, B, C, D, E, F, G,..., Z} A2={0,1} A3={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A4={(, )} 4

5 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 5

6 2.2 Palabra Se denomina palabra a toda secuencia finita de letras formada con los símbolos de un alfabeto. Palabras sobre A1 : JOSE, ANA, RREDF, ABACZA Palabras sobre A2 : Palabras sobre A3 : Palabras sobre A4 : ((())( )()(( Se usarán letras minúsculas para representar las palabras de un alfabeto : x = JOSE (sobre A1) y = (()) (sobre A4) z = (sobre A3) Longitud de una palabra: número de símbolos (letras) que la componen: x = 4 y = 4 z = 6 Se define la palabra vacía como aquella cuya longitud es cero. Se representa mediante la letra. 6

7 2.2 Palabra Se define universo del discurso o lenguaje universal sobre el alfabeto W( ) al conjunto de palabras que se pueden formar con las letras de un alfabeto, W( ) es un conjunto infinito. Ejemplo: un alfabeto con el menor número posible de letras (1). A = { a } En este caso, W(A) = {, a, aa, aaa, aaaa,...}, y contiene un número infinito de elementos. La palabra vacía pertenece a todos los lenguajes universales de todos los alfabetos posibles. 7

8 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 8

9 2.3 Operaciones con palabras Concatenación de palabras Sean dos palabras x, y tales que x W( ), y W( ) Supongamos que x=a 0 A 1... A i, x = i ; y= B 0 B 1... B j, y = j Se llama concatenación de las palabras x e y (y se representa por xy) a otra palabra, z, obtenida poniendo las letras de x y a continuación las de y : z= A 0 A 1... A i B 0 B 1... B j Se cumple que: z = x + y 9

10 2.3 Operaciones con palabras propiedades de la concatenación : Operación cerrada. Es decir, la concatenación de dos palabras de W(A) es otra palabra de W(A). Si x W(A) e y W(A), entonces xy W(A). Propiedad asociativa : x(yz)=(xy)z Existencia de elemento neutro. El elemento neutro de esta operación es la palabra vacía, tanto por la derecha como por la izquierda. Siendo x una palabra cualquiera, se cumple : x = x = x Al cumplir las tres propiedades anteriores, se trata de una operación con estructura semigrupo con elemento neutro. no cumple la propiedad conmutativa 10

11 2.3 Operaciones con palabras Potencia de una palabra Se denomina potencia i-ésima de una palabra a la concatenación consigo misma i veces. x i = xxx...xx i se cumplen las siguientes relaciones x i+1 = x i x = xx i (i > 0) x i x j = x i+j (i, j > 0) Para que ambas relaciones se cumplan también para i, j = 0, basta con definir x 0 =, cualquiera que sea x. Ejemplo: x = ABCD, entonces x 2 = xx = ABCDABCD x 3 = xxx = ABCDABCDABCD la longitud de la potencia es x i = i * x 11

12 2.3 Operaciones con palabras Reflexión de palabras Sea x=a 0 A 1... A n, se denomina palabra refleja o inversa de x, representado por x -1, a x -1 = x=a n A n-1... A 0 esta palabra está formada por las mismas letras, pero ordenadas de forma inversa. 12

13 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 13

14 2.4 Lenguajes Se denomina lenguaje sobre el alfabeto a cualquier subconjunto del lenguaje universal W( ) L W( ) El conjunto vacío,,es un subconjunto de W( ). Este lenguaje no debe confundirse con aquel que contiene únicamente a la palabra vacía. Para diferenciarlos hemos de darnos cuenta de la distinta cardinalidad de ambos conjuntos, ya que C( ) = 0 C({ }) = 1 Estos dos conjuntos serán lenguajes sobre cualquier alfabeto. El alfabeto en sí puede considerarse como un lenguaje : el formado por todas las posibles palabras de una letra. 14

15 Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones con palabras 2.4. Lenguajes 2.5. Operaciones con Lenguajes 15

16 2.5 Operaciones con Lenguajes Unión de lenguajes Consideremos dos lenguajes diferentes definidos sobre el mismo alfabeto L1 W( ) y L2 W( ) Se denomina unión de ambos lenguajes al lenguaje formado por las palabras de ambos lenguajes : L1 L2={ x x L1 ó x L2} Propiedades de esta operación : Operación cerrada. La unión de dos lenguajes definidos sobre el mismo alfabeto será otro lenguaje definido sobre ese alfabeto Propiedad asociativa. (L1 L2) L3 = L1 (L2 L3) Existencia de elemento neutro. L = L = L Propiedad conmutativa. Se verifica que L1 L2 = L2 L1 Propiedad de idempotencia. Se verifica que L L = L 16

17 2.5 Operaciones con Lenguajes Concatenación de lenguajes Consideremos dos lenguajes definidos sobre el mismo alfabeto, L1 y L2. La concatenación o producto de estos lenguajes es el lenguaje L1L2= { xy / x L1 y x L2} Las palabras de este lenguaje estarán formadas al concatenar cada una palabra del primero de los lenguajes con otra del segundo. La concatenación de lenguajes con el lenguaje vacío es: L = L = Propiedades de esta operación : Operación cerrada. La concatenación de lenguajes sobre el mismo alfabeto es otro lenguaje sobre ese alfabeto. Propiedad asociativa. (L1 L2) L3 = L1 (L2 L3) Elemento neutro. Cualquiera que sea el lenguaje considerado, el lenguaje de la palabra vacía cumple que { }L = L{ } = L 17

18 2.5 Operaciones con Lenguajes Potencia de un lenguaje Se define la potencia i-ésima de un lenguaje a la operación de concatenarlo consigo mismo i veces. L i = LLL...L i Se cumplen las siguientes relaciones L i+1 = L i L = LL i (i > 0) L i L j = L i+j (i, j > 0) Para que las relaciones se cumplan para i, j = 0, se define L 0 = { }, cualquiera que sea L 18

19 2.5 Operaciones con Lenguajes Clausura positiva de un lenguaje Se define la clausura positiva de un lenguaje L: L + = L i i=1 Lenguaje obtenido uniendo el lenguaje con todas sus potencias posibles excepto L 0. Si L no contiene la palabra vacía, la clausura positiva tampoco. Ya que cualquier alfabeto es un lenguaje sobre él mismo (formado por las palabras de longitud 1), al aplicarle esta operación se observa que + = W( ) - { } 19

20 2.5 Operaciones con Lenguajes Cierre o Clausura de un lenguaje Se define el cierre o clausura de un lenguaje L como : L* = L i i=0 Lenguaje obtenido uniendo el lenguaje con todas sus potencias posibles, incluso L 0. Todas las clausuras contienen la palabra vacía. Se cumplen las siguientes relaciones: L* = L + { } L + = L L* = L* L (será imposible obtener la palabra vacía) Ya que el alfabeto es un lenguaje sobre sí mismo,al aplicársele esta operación. * = W( ) Se denominará * al lenguaje universal o universo del discurso sobre el alfabeto 20

21 2.5 Operaciones con Lenguajes Reflexión de lenguajes Se llama lenguaje reflejo o inverso de L, representándose por L -1 L -1 ={ x -1 / x L } lenguaje que contiene las palabras inversas a las palabras de L 21

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