MatemáticaDiscreta&Lógica 1. Funciones. Aylen Ricca. Tecnólogo en Informática San José

Transcripción

1 MatemáticaDiscreta&Lógica 1 Funciones Aylen Ricca Tecnólogo en Informática San José

2 FUNCIÓN.::. Definición. Sean A y B conjuntos no vacíos, una funciónf de A en B, denotada es una relación de A en B en la que cada elemento de A aparece exactamente una vez como la primer componente de un par ordenado en la relación. Cuando (a,b) es un par ordenado de f se escribe f (a) = b. Para una función de f. A es el dominio de f y B es el codominio El subconjunto de B formado por aquellos elementos que aparecen como segundos componentes de los pares ordenados de f se conoce como la imagen de f. Tecnólogo en Informática San José

3 FUNCIÓN.::. Definición. Visualización de función: muy utilizada en computación, es como una caja negra que toma entradas y devuelve salidas. Reflexiones sobre el uso de funciones en los lenguajes de programación. Tecnólogo en Informática San José

4 FUNCIÓN.::. Inyectiva. Función Inyectiva. Una función es inyectiva cuando si f es inyectiva entonces Tecnólogo en Informática San José

5 FUNCIÓN.::. Sobreyectiva. Función Sobreyectiva. Una función es sobreyectiva cuando si f es sobreyectiva entonces Tecnólogo en Informática San José

6 FUNCIÓN.::. Biyectiva. Función Biyectiva. Una función sobreyectiva. es biyectiva cuando es inyectiva y si f es biyectiva Tecnólogo en Informática San José

7 FUNCIÓN.::. Operaciones unarias y binarias. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, cualquier función es una operación binaria en A. Si se dice que la operación binaria es cerrada en A. Una función es una operación unaria en A. Tecnólogo en Informática San José

8 FUNCIÓN.::. Conmutatividad y asociatividad. Sea una operación binaria en A. Diremos que f es una conmutativa si Si diremos que f es asociativa si Tecnólogo en Informática San José

9 FUNCIÓN.::. Neutro, Identidad e Igualdad. Neutro. Sea una operación binaria en A. Un elemento es un neutro de f si Teorema. Si tiene un elemento neutro, entonces es único. Función identidad. La función definida como es la función identidad para A. Igualdad de funciones. si diremos que si Tecnólogo en Informática San José

10 FUNCIÓN.::. Composición. Composición de funciones. Sean y Definimos la función compuesta: como Tecnólogo en Informática San José

11 FUNCIÓN.::. Propiedades de la composición. Sean Si f y g son inyectivas entonces es inyectiva. Sean con Por la definición de composición se tiene que La inyectividad de g implica que y luego la inyectividad de f implica que Tecnólogo en Informática San José

12 FUNCIÓN.::. Propiedades de la composición. Sean Si f y g son sobreyectivas entonces es sobreyectiva. Sea como g es sobreyectiva, Luego al ser f sobreyectiva Tenemos entonces que y entonces es sobreyectiva Tecnólogo en Informática San José

13 FUNCIÓN.::. Propiedades de la composición. Sean La composición de funciones es asociativa. Tenemos que Por otro lado Entonces con lo cual la composición es asociativa Tecnólogo en Informática San José

14 FUNCIÓN.::. Invertible. Una función es invertible si Teorema. Una función es invertible si y sólo si es biyectiva. Tecnólogo en Informática San José

15 FUNCIÓN.::. Invertible. Teorema. Si una función es invertible y satisface que, entonces esta función g es única. Supongamos que existe otra función con Entonces por lo cual la función inversa, de existir, es única. A esta función g (única) se la llama inversa de f, y se la denota como Tecnólogo en Informática San José

16 FUNCIÓN.::. Invertible. Teorema. si son funciones invertibles, entonces es invertible y se cumple que Para demostrar la primera parte basta observar que f y g son invertibles si y sólo si son biyectivas, lo cual implica que son inyectivas y sobreyectivas. Que f y g sean inyectivas implica que sea inyectiva, y que f y g sean sobreyectivas implica que sea sobreyectiva. Por lo tanto tenemos que es biyectiva, y entonces invertible. Para demostrar la segunda parte hay que advertir que está definida Sea y. Tenemos entonces que, o, de otro modo,. Entonces lo que implica Simplificando se tiene que lo que nos lleva a Resumiendo: lo que demuestra que las funciones son iguales. Tecnólogo en Informática San José