UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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1 UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones. Definición, Ejemplos y Tipos. Una aplicación (o función) entre los conjuntos A y B es una correspondencia en la que a todo elemento de A le hacemos corresponder un elemento de B y sólo uno. f : A B indica el hecho de que f es una aplicación entre A y B. Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida o Dominio de la Aplicación. Y al conjunto f (A) = {b B : para algún a A, f (a) = b} B se le llama Conjunto Imagen o Rango de la Aplicación. Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada. Por ejemplo, f (x) = x 2 : Z Z es la aplicación (Verifique que es una aplicación) tal que: 2 f 4: f (2) = 4 : a 4 se le llama imagen de 2 a través de f 3 f 9: f ( 3) = 9: a 9 se le llama imagen de 3 a través de f El Conjunto de Partida es Z. El Conjunto Imagen es N {0}. El Conjunto de Llegada es Z. Una aplicación (o función) f : A B se dice: Inyectiva Si elementos diferentes tienen imágenes diferentes, es decir, si a a implica f (a) f (a ), o también, si f (a) = f (a ) implica a = a. 1) f (x) = x 2 : Z Z no es inyectiva ya que por ejemplo 3 3 pero f (3) = 9 = f ( 3). 2) f (x) = 2x : R R si es inyectiva, ya que elementos distintos tienen imágenes distintas. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 1

2 Sobreyectiva Si f (A) = B, o equivalentemente, si para todo b B existe un a A tal que b = f (a). 1) f (x) = x 2 : Z Z no es sobreyectiva ya que f (Z) = N {0}; ó dicho de otra manera: hay elementos en el Conjunto de Llegada (Z) que no son imagen de ningún elemento del Conjunto de Partida, por ejemplo, -9,-16,.. 2) f (x) = 2x : R R si es sobreyectiva, ya que todo elemento del Conjunto de Llegada es imagen de algún elemento del Conjunto de Partída, es decir, f (R) = R. Biyectiva Si es Inyectiva y Sobreyectiva. Ejemplo: f (x) = 2x : R R es biyectiva. 2. Operaciones Binarias 2.1. Operaciones Binarias. Definición. Hay aplicaciones (o funciones) que requieren de dos elementos para poder aplicarse ; por ejemplo, en la operación suma: A cada par de números naturales, les hacemos corresponder un único número natural. Por ejemplo, al par (3, 4) le hacemos corresponder el natural 7: (3, 4) + 7 En el caso de la resta, (3, 4) 1 la diferencia es que, el resultado no es un número natural sino un entero. En símbolos: N N + N y N N Z. Definición 1. Sea A un Conjunto no Vacío. Se llama Ley de Composición Interna u Operación Binaria y se representa por a toda operación binaria que a todo par ordenado (a, b) que pertenece a A A le hace corresponder un c A, con c = a b. La suma de números naturales es una operación binaria de N N N. La resta de enteros es una operación binaria de Z Z Z. Observaciones: A A es el Conjunto de todos los Pares Ordenados (a, b) cuyos elementos a y b están en A. a b es el resultado de operar a con b, mediante la operación binaria. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 2

3 Definición 2. Sea una operación binaria sobre un Conjunto S y sea A S. Si a b A para cualquier par ordenado (a, b) de elementos de A, entonces decimos que A es cerrado ante la operación. Por supuesto que, de S S y de que es una operación binaria en S, se sigue que S es cerrado ante. La suma es una operación binaria sobre Z. Sea P el sub-conjunto de enteros pares de Z. Si (a, b) P, a + b P (la suma de pares es par). Por tanto, P es cerrado ante la suma. El subconjunto I de números impares de N, no es cerrado ante la suma. Ej. (3, 9) I I pero / I. Operación Unaria. Se llama así a la operación que asigna un resultado a partir de un elemento. Ej. a 2 a 2 es una operación unaria. 3. Propiedades de las Operaciones Binarias. Sea una operación binaria en A: 3.1. Propiedad Conmutativa Se dice que es conmutativa en A siempre y cuando para todo a, b A, a b = b a (con un par que no cumpla ya no es conmutativa). (2, 5) 10 (5, 2) 10 : N N N es conmutativa. La suma de vectores en R n es conmutativa. u + v = v + u. La diferencia de enteros no es conmutativa Propiedad Asociativa. Se dice que es asociativa en A siempre y cuando para todo a, b, c A, (a b) c = a (b c) (con una terna que no cumpla ya no es asociativa). R R + R es asociativa. La suma de vectores en R n es asociativa. La división en Q no es asociativa: (80 4) 2 80 (4 2). Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 3

4 3.3 Elemento Identidad Elemento Identidad. Un elemento e A se llama elemento identidad para siempre y cuando, para todo a A, a e = e a = a. El elemento e de R para R R + R es 0 : a + 0 = 0 + a = a, a R. El elemento e de R para R R R es 1 : a 1 = 1 a = a, a R. El elemento 0 de R no es el e para R R R es: a 0 0 a a 0 R Inversos Supongamos que A tiene un elemento identidad e A. Entonces, el elemento b se llama inverso de a, siempre y cuando a b = b a = e, a, b A. Sea x Q, con Q Q Q una op. binaria. Entonces 1 x es el inverso de x (x 0). Ej = = 1; 2 y 1 2 son inversos mutuamente. Sea a Z y Z Z + Z una op. binaria. Entonces a es el inverso de a. Ej. 5 + ( 5) = ( 5) +5 = 0, 5 y 5 son inversos mutuamente Distributividad Sea también una operación binaria en A. Si para cualesquiera a, b, c A, a (b c) = (a b) (a c) se dice que la op. es distributiva sobre la op.. Por ejemplo, la multiplicación usual en R es distributiva sobre la suma, pues a (b + c) = a b + a c a, b, c C Propiedades de Cancelación. Para cualesquiera a, b, c A y a 0 si a b = a c = b = c y si b a = c a = b = c Esta propiedad se cumple en la suma y multiplicación en R Elemento Idempotente Un elemento a A recibe el nombre de elemento idempotente con respecto a la operación, si a a = a. 0 es un elemento idempotente bajo la suma ya que = 0. 0 y 1 son elementos idempotentes bajo la multiplicación, ya que 0 0 = 0 y 1 1 = 1. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 4

5 4. Homomorfismos 4.1. Homomorfismos. Definición y Sean (A, ) y (B, ) dos conjuntos dotados con las operaciones binarias y respectivamente, entonces la función f : A B se dice que es un homomorfismo entre (A, ) y (B, ) si para cualesquiera x, y A f (x y) = f (x) f (y) B. 1. Sea f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x. Es f un homomorfismo? es decir, f (x + y) = f (x) + f (y) x, y Z?. En efecto, f (x + y) = 2 (x + y) = 2x + 2y... (1) y f (x) = 2x y f (y) = 2y = f (x) + f (y) = 2x + 2y... (2) De (1) y (2) se tiene que f (x + y) = f (x) + f (y) x, y Z. Por tanto, f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x es un homomorfismo. 2. La aplicación f dada por f (x) = exp (x) es un homomorfismo de (R, +) en (R, ) ya que: f (x + y) = exp (x + y) = exp (x) exp (y) = f (x) f (y) x, y R. 3. La aplicación f : (M 2, ) (R, ) dada por f ([ a c ]) b = ad bc d es un homomorfismo. Ya que si A, B son matrices de orden 2: f (A B) = det (A B) = det (A) det (B) = f (A) f (B). 4. f : (Z, +) (Z, +) dada por f (x) = x + 2 no es un homomorfismo ya que: f (x + y) = (x + y) + 2 = x + y (1) y f (x) + f (y) = (x + 2) + (y + 2) = x + y (2) De (1) y (2) tenemos que f (x + y) f (x) + f (y), por tanto, f no es un homomorfismo. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 5

6 4.1 Homomorfismos. Definición y * Ver otros ejemplos en el Libro de Texto. Un homomorfismo es una función, así que puede ser inyectivo, sobreyectivo o biyectivo, o ninguno. Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo. Un homomorfismo sobreyectivo se llama epimorfismo. Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo. Si los Conjuntos de Partída y Llegada del homomorfismo son iguales, al homomorfismo se le llama endomorfismo. Un endomorfismo que además es biyectivo se llama automorfismo. Ejemplo. f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x es un automorfismo. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 6