Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Computación. Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN

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1 Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Computación Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN Relaciones Prof. Luis Manuel Hernández R. ND Centro de Cálculo Científico y Tecnológico de la UCV CCCT-UCV Caracas, Febrero, 2006.

2 Relaciones Luis Manuel Hernández Ramos 12 8 de febrero de Centro de Calculo Científico y Tecnológico, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas. 2 luish@kuaimare.ciens.ucv.ve

3 Resumen Este es el inicio de una guía de Relaciones adaptada al programa de la Licenciatura en Computación de la Universidad Central de Venezuela. Se quiere que los estudiantes cuenten con algún material en Castellano con algunas demostraciones hechas, ejemplos y ejercicios.

4 Índice general 1. Definición de Relación Dominio y Rango de una Relación Inversa de una Relación Composición de Relaciones Propiedades de algunas relaciones Relaciones Reflexivas Relaciones Simétricas Relaciones Antisimétricas Relaciones Transitivas Relaciones de Equivalencia y Relaciones de Orden Otros tipos de relaciones y algunas propiedades Relaciones de Equivalencia Definición de Relación de Equivalencia Clases de Equivalencia y Conjunto Cociente Relaciones de Orden Definición de Relación de Orden Ordenes Totales y Parciales Elementos Distinguidos Máximos y Mínimos Maximales y Minimales Cotas Ínfimos y Supremos Reticulados

5 5. Funciones Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Inyectivas Funciones Sobreyectivas Funciones Biyectivas Composición de Funciones

6 Capítulo 1 Definición de Relación Recordemos la definición de producto cartesiano. Sean A y B subconjuntos de un Universo U, entonces: A B = {(a, b) U U/a A b B}. El producto cartesiano A B, contiene todos los pares ordenados posibles en donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B. Recuérdese que el producto cartesiano no es conmutativo, es decir A B no es necesariamente igual a B A. Cada subconjunto de A B se conoce como una Relación Binaria en A B. Como el producto cartesiano de dos conjuntos es también un conjunto, el conjunto de todas las relaciones binarias posibles definidas en A B es el conjunto de partes (A B). Definición (Relación Binaria) Sean A y B subconjuntos de un Universo U y sea A B el producto cartesiano. Entonces, una Relación Binaria R definida en A B, es un subconjunto R A B. Quiere decir que una relación es un conjunto de pares ordenados. Muchas veces, para simplificar la notación, la pertenencia de un par ordenado a una relación R se denota: (x, y) R xry. Si A = B entonces se dice que R es una relación binaria definida en A. Ejemplo Sean H = {Luis, Juan, Antonio} y M = {María, Carolina, Cristina}. 3

7 El producto cartesiano, H M = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina), (Juan, María), (Juan, Carolina), (Juan, Cristina), (Antonio, María), (Antonio, Carolina), (Antonio, Cristina)}. Ahora tomamos un subconjunto de H M. El subconjunto podemos definirlo por extensión: N = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)}. o podemos definirlo también por comprensión: N = {(x, y) H M/x es novio de y}. El conjunto N define una Relación Binaria en H M. Ejemplo Sea el producto cartesiano R R. Definimos las siguientes relaciones en R R: C 1 = {(x, y) R R/x 2 + y 2 1}, y C 2 = {(x, y) R R/x 2 + y 2 = 1}. Podemos graficar estas relaciones en el plano cartesiano. En este caso la relación C 1 corresponde a un círculo con centro en el punto (0, 0) y radio igual a 1. La relación C 2 corresponde a la circunferencia con centro en el punto (0, 0) y radio igual a Dominio y Rango de una Relación Definición (Dominio y Rango) Sea R una relación binaria en A B. Definimos el Dominio de R como sigue: Dom(R) = {x A/ y B : (x, y) R}. Y definimos el Rango de una Relación como sigue: Rgo(R) = {y B/ x A : (x, y) R}. 4

8 Ejemplo En la relación del ejemplo 1 de la sección anterior, Se tiene, N = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} H M. Dom(N) = {Luis}, Rgo(N) = {María, Carolina, Cristina}. Ejemplo En la relación C 1 R R, C 1 = {(x, y) R R/x 2 + y 2 1}, El dominio y el rango de C 1 vienen dados por, Dom(C 1 ) = [ 1, 1]; Rgo(C 1 ) = [ 1, 1]. Ejemplo Sea la relación f R R, definida por, f = {(x, y) R 2 /y = x 2 }. El dominio y el rango de f vienen dados por, Dom(f) = R; Rgo(f) = R Inversa de una Relación Definición (Relación Inversa) Sea R A B una relación binaria. Se define la relación inversa de R como: R 1 = {(y, x) B A/(x, y) R}. 5

9 Nótese que la relación inversa R 1 está contenida en B A, es decir R 1 B A. Ejemplo En la relación N = {(x, y) H M/x es novio de y}. la relación inversa N 1 M H viene dada por N 1 = {(y, x) M H/x es novio de y}. nótese que el predicado x es novio de y continua siendo el mismo, lo único que se cambia es el orden en los pares ordenados. Si escribimos la relación por extensión: N = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} H M, entonces la relación inversa se escribe de la siguiente manera: N 1 = {(María, Luis), (Carolina, Luis), (Cristina, Luis)} M H. Lema Sea R A B una relación, entonces (R 1 ) 1 = R. Demostración Sea (x, y) (R 1 ) 1 cualquier par en A B, se tiene de la definición de la inversa de una relación: Por lo tanto, (x, y) (R 1 ) 1 (y, x) R 1 (x, y) R. (x, y) A B : (x, y) (R 1 ) 1 (x, y) R, por lo que se concluye, (R 1 ) 1 = R 6

10 1.3. Composición de Relaciones Definición (Composición de Relaciones) Sean A, B, C subconjuntos de un universo U. Sean R A B y S B C relaciones binarias. La relación compuesta R S se define como: R S = {(x, z) A C/ y B : (x, y) R (y, z) S}. Nótese que R S A C. Ejemplo Sean R = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)}, y S = {(María, Juan), (Cristina, Antonio), (Cristina, Pedro), (Carolina, Andrea), (Juan, Pedro), (Juan, Cristina)}. La relación compuesta R S viene dada por: R S = {(Luis, Juan), (Luis, Antonio), (Luis, Pedro), (Luis, Andrea)}. Ejercicio Sean las relaciones f R R y g R R definidas por: f = {(x, y) R 2 /y = x 2 }, y g = {(x, y) R 2 /y = x + 3}. Determine f g y g f. Lema Sean R A B y S B C relaciones, entonces (R S) 1 = S 1 R 1. 7

11 Demostración Sea (z, x) cualquier par ordenado en C A. Por definición de la inversa de una relación, se tiene, (z, x) (R S) 1 (x, z) R S, y por definición de composición de relaciones, (x, z) R S y B : (x, y) R (y, z) S. Aplicando ahora la definición de las inversas de R y S, y B : (x, y) R (y, z) S y B : (y, x) R 1 (z, y) S 1, y por la definición de composición de relaciones y la conmutatividad de la conjunción ( ), En conclusión, y B : (y, x) R 1 (z, y) S 1 (z, x) S 1 R 1. (z, x) C A : (z, x) (R S) 1 (z, x) S 1 R 1. que es equivalente a decir, (R S) 1 = S 1 R 1. Ejercicio Demuestre que la composición de relaciones es asociativa. i.e. R (S T ) = (R S) T. 8

12 Capítulo 2 Propiedades de algunas relaciones En esta sección definiremos propiedades que permiten clasificar las relaciones. Vamos a suponer aquí relaciones binarias R A A 2.1. Relaciones Reflexivas Definición (Reflexividad) Una relación binaria R A A se dice reflexiva, si se cumple: x A : xrx es decir, x A : (x, x) R. También esta propiedad se puede enunciar en función de la relación identidad, definida como: I A = {(x, x)/x A}. De esta manera una relación R será reflexiva si y solo si I A R. Ejemplo Sea A = {1, 2, 3, 4}. R 1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3)} A A es Reflexiva. R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)} A A no es Reflexiva. R 3 = {(2, 5)} A A no es Reflexiva. Ejemplo R 4 = {(x, y) R 2 /x = y} es Reflexiva. R 5 = {(x, y) R 2 /x y} es Reflexiva. 9

13 2.2. Relaciones Simétricas Definición (Simetría) Una relación binaria R A A es simétrica, si se cumple: x A, y A : xry yrx. es decir, x A, y A : (x, y) R (y, x) R. Ejemplo Sea A = {1, 2, 3}. S 1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 1)} A A es simétrica. S 2 = {(1, 2), (2, 3), (2, 1)} A A no es simétrica. S 3 = {(1, 1)} A A es simétrica. Ejemplo C 1 = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 = 1} es simétrica. C 2 = {(x, y) R 2 /(x 1) 2 + (y 1) 2 = 1} es simétrica. C 3 = {(x, y) R 2 /(x 1) 2 + (y 2) 2 = 1} es simétrica. I Z = {(x, y Z 2 )/x = y} es simétrica. C 3 = {(x, y) R 2 / x 1 y 1} es simétrica. C 4 = {(x, y) R 2 / x 2 1 y 1 1} no es simétrica. Ejercicio Demostrar que una relación R definida en A, es simétrica si y solo si R = R 1 Ejercicio Demostrar que si R es una Relación definida en A, entonces R R 1 es simétrica Relaciones Antisimétricas Definición (Antisimetría) Una relación binaria R A A se dice antisimétrica, si cumple: x, y A : xry yrx x = y es decir, x, y A : (x, y) R (y, x) R x = y 10

14 Ejemplo Sea A = {1, 2, 3}. A 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} A A es antisimétrica. A 2 = {(1, 2), (2, 3), (2, 1)} A A no es antisimétrica. A 3 = {(1, 1)} A A es antisimétrica. A 4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} A A es no antisimétrica. Ejemplo R = {(x, y) R 2 /x y} es antisimétrica. I R = {(x, y) R 2 /x = y} es antisimétrica. C 3 = {(x, y) R 2 / x 1 y 1} no es antisimétrica. C 4 = {(x, y) R 2 / x 2 1 y 1 1} es antisimétrica. C 5 = {(x, y) R 2 / x 2 1 y 1 1} no es antisimétrica. P = {(A, B) (U)/A B} es antisimétrica. Ejercicio Demostrar que una relación R en A es antisimétrica, si y solo si R R 1 I A Relaciones Transitivas Definición (Transitividad) Una relación R definida en A es transitiva, si cumple: es decir, x, y, z A : xry yrz xrz x, y, z A : (x, y) R (y, z) R (x, z) R Ejemplo Sea A = {x/x es humano}. La relación R = {(x, y) A 2 /x es mas alto que y} es una relación transitiva. Ejercicio Demuestre que una relación R definida en A es transitiva si y solo si R R R Ejercicio Demuestre que si R es una relación transitiva, entonces R 1 es transitiva. 11

15 2.5. Relaciones de Equivalencia y Relaciones de Orden Definición (Relación de Equivalencia) Una Relación R definida en A es de Equivalencia si R es Reflexiva, Simétrica y Transitiva. Definición (Relación de Orden) Una Relación definida en A, se dice Relación de Orden si es Reflexiva, Antisimétrica y Transitiva. En este caso se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado por la relación, y que el par (A, ) es un Orden Otros tipos de relaciones y algunas propiedades Definición Una relación R definida en un conjunto A es Circular si cumple: x, y, z A : xry yrz zrx es decir, x, y, z A : (x, y) R (y, z) R (z, x) R Lema Demostrar que, una relación R definida en A es reflexiva y circular, si y solo si, R es de equivalencia. Demostración Vamos a demostrar primero que una relación R A A, reflexiva y circular, es de equivalencia. Para ello debemos mostrar que R es simétrica y transitiva, puesto que la reflexividad la tenemos por hipótesis. Simetría: Sea (x, y) R cualquiera, sabemos por la reflexividad de la relación que (y, y) R, y aplicando la propiedad circular, se tiene, (x, y) R (y, y) R (y, x) R. Por lo tanto la relación R es simétrica. Transitividad: Sean (x, y) R y (y, z) R. Por la propiedad circular se 12

16 desprende (z, x) R, y utilizando la simetría, que ya fue probada, se tiene (x, z) R. Por lo tanto R es transitiva. Ahora probemos que si la relación R es de equivalencia, entonces R es reflexiva y Circular. De nuevo, la propiedad reflexiva se tiene por hipótesis, y resta probar la circularidad. Sean (x, y) R y (y, z) R, por la propiedad transitiva se tiene (x, z) R, y utilizando la simetría se obtiene (z, x) R, por lo que la relación R es circular. Ejercicio Sea R A A una relación reflexiva y transitiva, entonces R = R R. 13

17 Capítulo 3 Relaciones de Equivalencia 3.1. Definición de Relación de Equivalencia Definición (Relación de Equivalencia) Una Relación R definida en A es de Equivalencia si R es Reflexiva, Simétrica y Transitiva. Ejemplo Congruencia módulo n. Sea n N dado. La relación n definida en Z de la siguiente manera: x n y k Z : x y = kn, es una relación de equivalencia. En efecto, la relación n cumple las propiedades: Reflexiva: Sea x Z cualquiera. x x = 0 = 0.n k Z : x x = kn x n x. Simétrica: Sean x, y Z cualesquiera. x n y k Z : x y = kn (3.1) y x = ( k)n, donde ( k) Z porque k Z (3.2) k Z : y x = kn (3.3) y n x. (3.4) 14

18 Transitiva: Sean x, y, z Z cualesquiera. x n y y n z k Z : x y = kn k Z : y z = kn. (3.5) x y = k n y z = k n, (3.6) luego, sustituyendo x y = k n en y z = k n, tenemos x z = k n, con k = k k Z. Por lo tanto, k Z : x z = kn x n z Clases de Equivalencia y Conjunto Cociente Definición (Clases de Equivalencia) Sea R una relación de equivalencia definida en un conjunto A. Sea x A un elemento cualquiera. Se define la clase de equivalencia de x en la relación R al conjunto: [x] = {y A/xRy}. Evidentemente, para todo x A se cumple que [x] A. Ejemplo En la relación de congruencia módulo n en Z del ejemplo anterior, pongamos n = 3. Entonces las clases de equivalencia vienen dadas por: [0] = {x Z/x 3 0} = {0, 3, 3, 6, 6,...} (3.7) [1] = {x Z/x 3 1} = {1, 2, 4, 5, 7,...} (3.8) [2] = {x Z/x 3 2} = {2, 1, 5, 4, 8,...} (3.9) (3.10) Definición (Conjunto Cociente) Sea R una relación de equivalencia definida en un conjunto A. Se denomina conjunto cociente A/R, al conjunto de las clases de equivalencia, es decir: A/R = {[x] /x A}. 15

19 Ejemplo En la relación de congruencia módulo 3 en Z, del ejemplo anterior, el conjunto cociente está formado por todas las clases de equivalencia. Es decir, (Z/ 3 ) = {[0], [1], [2]}. Téorema Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. El conjunto cociente A/R es una partición de A Téorema Toda partición {A i } i I de un conjunto A, induce a una relación de equivalencia. 16

20 Capítulo 4 Relaciones de Orden 4.1. Definición de Relación de Orden Definición (Relación de Orden) Una Relación definida en A, se dice Relación de Orden si es Reflexiva, Antisimétrica y Transitiva. En este caso se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado por la relación, y que el par (A, ) es un Orden. Ejemplo Tomemos la relación definida en el conjunto de los números enteros positivos Z +, de la siguiente manera: x y k Z + : y = k.x, esta es la relación de divisibilidad ( y es divisible por x ). (Z +, ) es un orden. Para demostrarlo se prueban las propiedades: 1. Reflexiva: Vamos a demostrar que x Z + : x x, es decir, que todo elemento es divisible por si mismo. De hecho, para x Z + cualquiera se tiene x = 1.x, lo que implica, k Z + : x = k.x, donde k = 1 Z + ; por lo que x x. 2. Antisimétrica: Supongamos que para x, y Z + se cumple que x y y x. De esta hipótesis y por la definición de la relación se tiene: k Z + : y = k.x k Z + : x = k.y. 17

21 Sustituyendo se obtiene, y = k.k.y, por lo que k.k = 1. Sin embargo k, k Z +, entonces necesariamente k = k = 1. por ende y = k.x = 1.x = x. 3. Transitiva: Supongamos que para x, y, z Z + : x y y z. Entonces, k Z + : y = k.x k Z + : z = k.y, sustituyendo se obtiene, z = k.(k.x) = (k.k).x Ahora, como k, k Z +, entonces el producto k.k Z +. En conclusión k Z + : z = k.x donde k = k.k, y eso implica, x z 4.2. Ordenes Totales y Parciales Definición (Elementos Comparables) Sea (A, ) un Orden. Se dice que los elementos x, y A son comparables si se cumple: x y y x Ejemplo En el ejemplo anterior (relación de divisibilidad en los enteros positivos), existen pares x, y comparables, así como existen pares no comparables. Aquí los elementos 7 y 3 no son comparables, en cambio 12 y 3 si son comparables. Definición (Orden Total) Sea (A, ) un Orden. Se dice que (A, ) es un Orden Total si se cumple: x, y A : (x y) (y x), es decir, una relación definida en un conjunto A, es un orden total si todo par de elementos es comparable. En el caso en que en un orden (A, ), existan pares de elementos no comparables, se dice que (A, ) es un Orden Parcial. Ejemplo He aquí algunos ejemplos de ordenes parciales y totales: (R, ) es un orden total. ( (U), ) es un orden parcial. 18

22 4.3. Elementos Distinguidos Máximos y Mínimos Definición (Máximos y Mínimos) Sea (A, ) un Orden. Un Máximo (Mayor), es un elemento M A que cumple: x A : x M. Un Mínimo (Menor), es un elemento m A que cumple: x A : m x. Corolario En un orden (A, ). Si existe un elemento máximo M A y un elemento mínimo m A, entonces m M. Ejemplo En el orden ( (U), ): U es el elemento máximo. es el elemento mínimo. Ejemplo En el orden (R, ), no hay elemento máximo ni elemento mínimo. En cambio, en el orden (R +, ), hay un elemento mínimo que es 0 R +, pero no hay elemento máximo. Lema Sea (A, ) un Orden. Si existe un elemento máximo M A este es único. Si existe un elemento mínimo m A este es único. Demostración Vamos a demostrar que el elemento máximo es único. La demostración de que el elemento mínimo es único es similar y la dejamos como ejercicio. La demostración es por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos máximos diferentes M 1 M 2. Por la definición de máximo se tiene: x A : x M 1 e igualmente x A : x M 1. Particularizando con M 2 A en la primera y con M 1 A en la segunda, M 2 M 1 M 1 M 2, luego por la antisimetría de las relaciones de orden M 1 = M 2, lo que contradice con el supuesto de que los máximos son diferentes M 1 M 2. 19

23 Maximales y Minimales Definición (Maximales y Minimales) Sea (A, ) un Orden. Un elemento Maximal, es un elemento a A tal que: x A : a x x = a. Un elemento Minimal, es un elemento b A tal que x A : x a x = a. Corolario Sea (A, ) un Orden. Entonces, todo elemento máximo es maximal y todo elemento mínimo es minimal. Ejemplo Sea el conjunto A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}. En el orden (A, ), los elementos maximales son: {a, b}, {a, c}, {b, c} son los elementos maximales. es el único elemento minimal Cotas Definición (Cotas Superiores e Inferiores) Sea (A, ) un Orden, y sea dado un subconjunto B A. Un elemento c A es una cota inferior de B si: x B : c x. Un elemento c A es una cota superior de B si: x B : x c. Ejemplo Tomemos el orden parcial ( ({1, 2, 3}), ). Sea B = {1, 3}. Entonces: CI = {, {1}, {3}, {1, 3}}, es el conjunto de las cotas inferiores de B en ( ({1, 2, 3}), ). CS = {{1, 3}, {1, 2, 3}}, es el conjunto de las cotas superiores de B en ( ({1, 2, 3}), ). 20

24 Ínfimos y Supremos Definición (Ínfimo y Supremo) Sea (A, ) un Orden, y sea B A. Sean CS = {x A/x es cota superior de B}, el conjunto de las cotas superiores de B, y CI = {x A/x es cota inferior de B}, el conjunto de las cotas inferiores de B. Un elemento a CS es el supremo de B si cumple: x CS : a x, es decir, el supremo es la menor de las cotas superiores. Un elemento a CI es el ínfimo de B si cumple: x CS : x a, es decir, el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores. Ejemplo En el ejemplo de la sección anterior. En el orden ( ({1, 2, 3}), ) y tomando el conjunto B = {1, 3}. En este orden, el ínfimo del conjunto B viene dado por ínf(b) =, y el supremo de B viene dado por sup(b) = {1, 2, 3}. Ejercicio Demostrar que si (A, ) es un orden, y si se toma un subconjunto B A. Entonces B tiene a lo sumo un ínfimo y a lo sumo un supremo en el orden. Es decir que en un orden, todo subconjunto puede tener un solo ínfimo, o ningún ínfimo, y que igualmente todo subconjunto puede tener un solo supremo, o ningún supremo. En el caso de que siempre exista un ínfimo y un supremo, se dice que la estructura es un reticulado Reticulados Definición (Reticulado) Sea (A, ) un Orden tal que para todo x, y A, los elementos ínf({x, y}) y sup({x, y}) existen. Entonces se dice que (A, ) es un Reticulado. 21

25 Capítulo 5 Funciones Definición (Función) Sean A, B subconjuntos no vacíos de un universo U. Una función (aplicación) f de A en B (f : A B), es una relación f A B en la que cada elemento de A está relacionado a lo sumo con un elemento de B. Es decir, cumple con la propiedad x A, y 1, y 2 B : (x, y 1 ) f (x, y 2 ) f y 1 = y 2. Como a un elemento x A puede corresponderle a lo sumo un elemento y B tal que (x, y) f, entonces para simplificar la notación se utiliza f(x) = y para denotar (x, y) f. Ejemplo Las siguientes relaciones, f = {(x, y) R 2 /y = x + 2}, g = {(x, y) R 2 /y = x 2 }, son funciones. La relación, N = {(Luis, María), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} H M. No es una función. En efecto, se cumple (Luis, María) N (Luis, Cristina) N y sin embargo Luis Carolina. En cambio, su relación inversa: N 1 = {(María, Luis), (Carolina, Luis), (Cristina, Luis)} M H 22

26 si es una función. En este caso tenemos: N 1 (María) = Luis, N 1 (Cristina) = Luis, N 1 (Carolina) = Luis Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Inyectivas Dado que la inversa de una relación está siempre definida, las funciones tienen siempre una relación inversa. Sin embargo, esta relación inversa no es siempre también una función. En el caso del ejemplo anterior, la función N 1 tiene una relación inversa (N 1 ) 1 = N. Pero vimos que allí la relación N no es una función. En el caso de que una función f : A B, tenga una relación inversa f 1 B A que también es una función (f 1 : B A), se dice que la función f es inyectiva. Definición (Función Inyectiva) Una función f : A B es inyectiva, si su relación inversa f 1 es una función. Quiere decir que para que una función f : A B sea inyectiva, debe cumplirse: x 1, x 2 A, y B : (x 1, y) f (x 2, y) f x 1 = x 2 o cambiando de notación: x, y A : f(x) = f(y) x = y. Ejemplo La función f : R R, f(x) = x + 2 (f = {(x, y) R 2 /y = x + 2}) es una función inyectiva. Ejemplo La función f : R R, f(x) = x 2 (f = {(x, y) R 2 /y = x 2 }) no es una función inyectiva. De hecho, 1 1 f(1) = f( 1). 23

27 Funciones Sobreyectivas Una función es sobreyectiva cuando el rango cubre todo el conjunto de llegada (codominio). Por lo tanto se define así: Definición (Función Sobreyectiva) Una función f : A B es sobreyectiva si Rgo(f) = B. Ejemplo La función f : R R, f(x) = x + 2, es una función sobreyectiva. Rgo(f) = R = R. Ejemplo La función f : R R, f(x) = x 2, no es una función sobreyectiva. De hecho, Rgo(f) = R + R. Sin embargo, la función f : R R +, f(x) = x 2, si es una función sobreyectiva. Observe que ahora el codominio (R + ) coincide con el rango (R + ) Funciones Biyectivas A las funciones que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas se les denomina funciones biyectivas. Definición (Función Biyectiva) Una función f : A B es biyectiva si f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ejemplo He aquí unos casos de funciones biyectivas: Sea la función f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}. f es una función biyectiva. La función p : N P, p(n) = 2n, donde N es el conjunto de números naturales, y P es el conjunto de los números pares, es una función biyectiva. Ejercicio Encuentre funciones biyectivas f entre los siguientes conjuntos. 1. f : N Z. 2. f : N Q, donde Q es el conjunto de los números racionales. 24

28 Cuando existe una función biyectiva f : A B se dice que hay una correspondencia biunívoca entre A y B, y los conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad. La correspondencia biunívoca significa que a cada elemento de A corresponde un único elemento de B, y a cada elemento de B corresponde un único elemento de A. Si la función f es biyectiva, entonces la relación inversa f 1 también será una función biyectiva, y en ese caso se dice que la función f es invertible. Definición (Función Invertible) Una función f : A B se dice invertible si es biyectiva. La función inversa de f en este caso viene dada por la relación inversa f 1 : B A. Ejercicio Demostrar que si f : A B es invertible, entonces f 1 también es invertible y (f 1 ) 1 = f Composición de Funciones La composición de funciones se hereda de la definición de composición de relaciones. Sin embargo, podemos re-definirla aprovechando las características especiales de las funciones. De esta manera si f : A B y g : B C, entonces f g : A C y x A : f g(x) = g(f(x)). Definamos las funciones identidad de la siguiente manera I A : A A, x A : I A (x) = x, y I B : B B, x B : I B (x) = x. Tenemos entonces el siguiente teorema: Téorema Una función f : A B es invertible, si y solo si existe una función f 1 : B A tal que: f f 1 = I A y f 1 f = I B Demostración Primero mostremos que si la función f es invertible, implica que existe una función f 1 : B A tal que: f f 1 = I A y f 1 f = I B. Efectivamente sea f 1 la función inversa de f se cumple: Sea (x, y) un par cualquiera en A A, (x, y) f f 1 z B : (x, z) f (z, y) f 1 z B : (x, z) f (y, z) f z B : f(x) = z f(y) = z, 25

29 pero por hipótesis f es inyectiva. Por lo tanto x = y y luego (x, y) I A. Igualmente, sea x A, como f 1 es sobreyectiva tenemos: z B : (z, x) f 1 z B : (z, x) f 1 (x, z) f (x, x) f f 1. Por lo que necesariamente I A f f 1. La demostración de que f 1 f = I B, es similar a la anterior y la dejamos como ejercicio. Mostremos que si existe una función f 1 : B A tal que: f f 1 = I A y f 1 f = I B, entonces f es una función invertible. Para ello hay que demostrar que f es sobreyectiva y biyectiva. Comenzaremos probando que f es sobreyectiva. para ello hay que probar que y B, x A : f(x) = y. En efecto, tomando x = f 1 (y) tenemos f(x) = f(f 1 (y)) = f 1 f(y) = I B (y) = y. Ahora probemos que f es inyectiva. f(x) = f(y) f 1 (f(x)) = f 1 (f(y)) f f 1 (x) = f f 1 (y) I A (x) = I A (y) x = y. 26