MATEMATICAS GRADO ONCE. Un par ordenada consta de dos elementos y, donde nos interesa el orden en que

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1 MATEMATICAS GRADO ONCE SEGUNDO PERIODO TEMAS Funciones y Relaciones Parabola Funciones y Relaciones Producto cartesiano Un par ordenada consta de dos elementos y, donde nos interesa el orden en que aparecen los objetos Llamemos a esta pareja Por ejemplo,, pero En esencia nos gustaría que todo par ordenado cumpliera la siguiente propiedad: si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden) Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas): dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedad que queremos Esto es lo que hacemos a continuación: Definición (Par ordenado) Dados elementos (o conjuntos!), definimos el par ordenado así: es llamado ''el par coma '''', o simplemente `` coma ''

2 Por ejemplo, es el conjunto, mientras que es el conjunto Note que, por ejemplo,, y por esto concluimos (como queríamos) que Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que utilizaremos constantemente: 1 si y sólo si no es un singleton (un singleton es, como su nombre se indica, un conjunto de un elemento Por ejemplo, es un singleton) 2 si y sólo si Teorema (Propiedad del par ordenado) si y sólo si [ y ] Demostración [Prueba] La dirección es inmediata por la definición de par ordenado Probemos entonces la otra dirección Suponga que, esto es, Hay 2 casos: Caso 1: : en este caso Pero esto implica que, lo cual a su vez implica que Entonces son el mismo elemento, y en particular podemos concluir y Caso 2: : Entonces tiene 2 elementos ( por que?), lo cual implica que (siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos Pero esto implica ( por qué?) que Como, entonces o Pero la segunda opción es imposible, luego, es decir, Similarmente o,

3 pero la primera opción es imposible, así que Esto implica que o, pero la primera opción es imposible (pues y ), luego concluimos que Dados dos conjuntos y podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas, donde la primera coordenada ( ) viene de, y la segunda coordenada ( ) viene de A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo notamos así: Formalmente: Definición (Producto cartesiano) Notación: Ejemplo (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del producto cartesiano: Si y, entonces tiene 2 elementos, tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición) Si, entonces es llamado el plano cartesiano Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa que cierto subconjunto de (dé un ejemplo) Nosotros, los seres tridimensionales, vivimos en ( para abreviar), sin importar qué conjunto sea ( por qué?) Lema (Algunas propiedades del producto cartesiano) 1 2 Para conjuntos no vacíos, si y sólo si 3 Para conjuntos no vacíos, si y sólo si 4

4 5 La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una -tupla ordenada ( natural positivo) como un objeto tal que: si y sólo si para todo, La definición de una -tupla es recursiva Esto es, para definir una tupla recurrimos a la definición de una -tupla: Definición Para natural positivo, definimos recursivamente la -tupla así: Para, Para, Para, Por ejemplo, Como el lector se dará cuenta, toda -tupla ( ) es un par ordenado! En el ejemplo, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y Y similarmente, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de conjuntos así: Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el producto de infinitos conjuntos

5 EJERCICIOS: 1 Cómo se comparan los siguientes conjuntos? 1 Vs 2 Cómo se compara Vs 3 Cómo se compara Vs 4 Cómo se compara Vs 5 Vs 2 Muestre que 3 Si tiene elementos y tiene elementos ( naturales), cuántas relaciones de a hay? Relaciones En la mayoría de los casos, por simplicidad, hablaremos de relaciones binarias, en donde la relación se da entre dos objetos Un ejemplo de tal relación (démosle un nombre, ) es la que ocurre entre personas y libros, en donde una persona y un libro están '' -relacionados" si y sólo si ha leído el libro Podemos abreviar la afirmación '' y están -relacionados" de modo natural, así: Visualmente esto sugiere que los objetos y están ligados por la relación Diremos que es una relación entre los conjuntos y (conjuntos de todos los seres humanos y todos los libros, respectivamente) Pero lo anterior sugiere que la relación no es un objeto (como y lo son) Sin embargo hay una manera de ``convertir'' a en un objeto, más precisamente en un conjunto! Lo cual no debe sorprender al lector, pues un conjunto es en muchos casos un objeto que representa ciera información al tener o no ciertos elementos En nuestro caso, conocer la relación consiste en conocer dos cosas, a saber: 1 Los dos conjuntos entre los cuales es la relación: en este caso, y (seres humanos y libros)

6 2 La lista de todas las parejas relacionadas por la relación : (Jhon Benavides, El extranjero), (Verónica Mariño, Cien años de soledad), (Julián Castillo, El Quijote), Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación por si sóla nos da la información esencial de la relación Así que convertimos a en objeto, esto es, en conjunto, en el conjunto de parejas relacionadas por la relación que teníamos en mente: O lo que es igual: es un ser humano, es un ser humano, y ha leído a ha leído a Así las cosas, la afirmación `` '' será una abreviación de `` '' Una vez más, el símbolo (y más precisamente, la noción de pertenencia) ayuda a fundamentar y formalizar conceptos en principio nuevos Ahora resulta evidente que preguntarse cuáles son todas las posibles relaciones de a equivale a preguntarse cuáles son todos los posibles conjuntos de parejas de la forma, donde y Se conluye que el conjunto de todas las relaciones entre y es! Las motivaciones anteriores nos llevan a la definición de relación (binaria): Definición (Relación) Una relación entre y (conjuntos cualquiera) es un subconjunto de Por conveniencia si es una relación entre y, diremos que es una relación sobre Por ende, el conjunto de relaciones sobre es Antes de continuar es menester ver algunos ejemplos de relaciones: Ejemplo Sea la relación descrita mediante el siguiente esquema:

7 Entonces Ejemplo (La relación ser madre de) Sea la relación (entre humanos) ser madre de Esto es, si y sólo si es madre de es una relación sobre Sabemos, por ejemplo, que para todo,, pues nadie puede ser su propia madre Además si, entonces Esto ilustra que el concepto de relación no es en general simétrico, de modo que al decir los objetos que se relacionan, importa el orden en que éstos se mencionan Por supuesto hay muchas relaciones simétricas, como la relación ser hermano Ejemplo (La relación ) Sea : existe tal que Es claro que si y sólo si si y sólo si, de modo que es así: Otra forma de escribir esta relación Ejemplo (La relación vacía) Dado que es una relación, la relación vacía o trivial Ejemplo (La relación identidad) Dado, por definición tenemos que un conjunto cualquiera, definimos la relación En otras palabras, si y sólo si Note que Ejemplo (La relación )

8 Dado un conjunto cualquiera, definimos la relación sobre así: Es decir, si y sólo si Observe que está -relacionado con todos los subconjuntos de, y todos los subconjuntos de están -relacionados con De modo que, coloquialmente hablado, la relación posee siempre un piso y un techo Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relación: Definición Sea una relación de en Definimos los siguientes conjuntos: 1 El dominio de, 2 La imagen de, 3 El campo de, Ejemplo Sea Es claro que para toda relación,, y, de modo que toda relación puede verse como un subconjunto de para un conjunto (no necesariamente único) Esto es, podemos definir relación como un subconjunto de, para un conjunto Definición Dada una relación, y un conjunto cualquiera, definimos los siguientes conjuntos:

9 1 La imagen de bajo, : existe tal que 2 La preimagen o imagen inversa de bajo, : existe tal que Ejemplo Sea Tenemos: 1 ; 2 3 La imagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares y la imagen del conjunto de los impares bajo es el conjunto de los pares 4 La preimagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares positivos; la imagen de los enteros negativos es igual al conjunto vacío Ejemplo Sea Tenemos: (en este caso decimos que deja fijo a como conjunto) 5 El siguiente lema establece las relaciones básicas entre los conceptos de dominio, imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto: Teorema Sea una relación, con, Tenemos: 1 2 3

10 4 Demostración [Prueba] La prueba se deja como ejercicio Dada una relación, definimos su inversa, : Definición (Relación inversa) Dada una relación, su inversa es la relación En otras palabras, si y sólo si Por ejemplo, la relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación hermano es ella misma La relación inversa de divide es ser múltiplo Para antes de seguir leyendo: 1 2 Aquí hemos introducido un problema notacional: denota, por un lado, la preimagen de bajo, y por otro lado, pero la imagen de bajo! El siguiente lema muestra que los dos conjuntos anteriores siempre coinciden, eliminando así cualquier posibilidad de ambigüedad: Lema Para una relación y un conjunto, La imagen inversa de bajo es igual a la imagen de bajo Demostración [Prueba]Sea la preimagen de bajo, e la imagen de bajo la relación Debemos probar que Para cualquiera se tiene: La segunda equivalencia vale ya que si y sólo si Concluimos que e poseen los mismos elementos, luego

11 Propiedades de las relaciones Definición (Propiedades de las relaciones) Sea conjunto Diremos que es: una relación binaria sobre un 1 Reflexiva sobre si : 2 Irreflexiva sobre si : 3 Simétrica si : 4 Asimétrica si : 5 Antisimétrica si : 6 Transitiva si : Para antes de seguir leyendo: 1 Recuerde que es una relación sobre Qué propiedades de las anteriores cumple? 2 Recuerde que dado un conjunto no vacío, es una relación sobre Qué propiedades de las anteriores cumple? Un orden parcial sobre es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva sobre Si es un orden parcial sobre, definimos como la relación sobre dada por: si y sólo si y (para ) Diremos que es el orden parcial estricto sobre asociado a Note que conjuntistamente, y es una relación irreflexiva, antisimétrica y transitiva Clausuras de relaciónes Imaginemos una relación cualquiera Suponga que estamos interesados en transformar a en una relación reflexiva, añadiendo, si se necesita, más elementos a la relación, o en otras palabras, extendiéndola Por ejemplo, sea, y la siguiente relación sobre :

12 Para que sea simétrica, debemos agregarle los elementos y Esto es, la relación es una extensión reflexiva de, es decir, y es reflexiva Además es claro que es la mínima relación reflexiva que contiene a en el siguiente sentido: Si es una relación reflexiva y, entonces El ejemplo anterior ilustra lo que queremos hacer: cerrar una relación, añadiendo el mínimo número de elementos, para que ella se transforme en una relación con la propiedad (donde = reflexividad, simetría o transitividad) Definición (Clausuras de una relación) Dada una relación sobre, definimos las siguientes relaciones: 1 La clausura reflexiva de es la relación es una relación reflexiva sobre y 2 La clausura simétrica de es la relación es simétrica y 3 La clausura transitiva de es la relación es transitiva y Note que, luego la clausura reflexiva de es siempre una extensión de (lo mismo vale, claro está, para y ) Primero veamos que las clausuras cumplen con la propiedad de minimalidad que pretendíamos que tuvieran: Teorema Dada una relación sobre : es la mínima relación reflexiva que contiene a ; en otras palabras, es reflexiva, y para toda relación sobre, si, entonces

13 es la mínima relación simétrica que contiene a es la mínima relación transitiva que contiene a Demostración [Prueba] Probamos (1), y el resto se dejan al lector Para ver que es reflexiva, sea Entonces para toda relación sobre reflexiva,, es decir, es relación reflexiva sobre y Ahora probamos minimalidad: sea una relación reflexiva que contiene a Entonces es relación reflexiva sobre y Teorema Sea una relación sobre Entonces para : Si tiene la propiedad, entonces Demostración [Prueba] Si tiene la propiedad, entonces claramente es la mínima relación con la propiedad que contiene a, así que por el teorema 89, Así, por ejemplo, la clausura transitiva de una relación transitiva es ella misma Corolario Sea una relación sobre Entonces para : Demostración [Prueba] Se deja como ejercicio al lector

14 Las definiciones de son en principio complicadas A continuación veremos caracterizaciones de ellas mucho más simples, al menos en el caso de reflexividad y simetría Teorema (Caracterización de las clausuras) Sea una relación sobre Entonces: (a) (b) (c) Demostración [Prueba] (a), en donde, Dado,, y, luego es una relación reflexiva sobre que contiene a Por ende, Para la otra inclusión, basta obsetvar que si es una relación reflexiva que contiene a, entonces Por el lema 24 (b) Similar a (a) es reflexiva y EJERCICIOS: RELACIONES 1 Diremos que una relación es completa si existe tal que transitiva Muestre que si es completa entonces es simétrica y 2 Sean relaciones sobre Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera o falsa, dando una demostración o un contraejemplo respectivamente: 1 Si y son reflexivas sobre, entonces también lo es 2 Si y son simétricas, entonces también lo es 3 Si y son transitivas, entonces también lo es 3 Sea una relación sobre 1 Muestre que es asimétrica si y sólo si

15 2 Muestre que es antisimétrica si y sólo si 3 Concluya que toda relación asimétrica es antisimétrica, y dé un ejemplo de una relación antisimétrica pero no asimétrica 4 Una herramienta frecuente y muy importante en matemáticas consiste en construir una cadena o serie de objetos cada vez más complejos, que compartan cierto conjunto de propiedades, y tomar el ``límite'' de tal cadena, que consistirá en un objeto que conservará varias propiedades de sus ``precursores'' En este ejercicio se construirá una relación como el límite (unión) de ciertas relaciones que ``aproximan'' a propiedades de, y como se verá, ciertas propiedades de las relaciones se preservarán en el límite, esto es, también serán Para cada sea una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el conjunto, y suponga que para todo, Muestre que es una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el conjunto 5 Para cada sea una relación Muestre que Vale lo mismo si se cambia por? 6 Dado un conjunto y, sea ( ) 1 Qué conjunto es? e? 2 Muestre que si, entonces 3 Dados, cómo se comparan y? 4 Dados, cómo se comparan y?

16 Funciones Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, de modo que elemento del primer conjunto se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto Visto de otro modo, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos, y cada elemento puede transformarse en un único elemento Definición (Función) Una función es una relación que cumple la siguiente propiedad: si, entonces En otras palabras, para cada existe un único tal que Ejemplo (La función identidad) Dado un conjunto, es una función, pues si, entonces y, luego Así, la relación identidad es también una función La relación divide no es una función pues un entero puede dividir más de un número Por ejemplo, y, pero La relación ``madre'' es función, pues todo ser humano tiene una única madre Dada una función y un elemento de su dominio, llamaremos a el único tal que Por lo tanto, las proposiciones, y son equivalentes Note que al utilizar la expresión se asume implícitamente que El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza Concluimos que si es una función, entonces La expresión significará lo siguiente: es una función, e Una manera común de definir una función es especificar su dominio y dar una definición para, dado Por ejemplo:

17 Ejemplo Sea la siguiente función: su dominio es, y dado, Por ejemplo,, etc Note que para todo,, luego podemos afirmar lo siguiente: Una manera equivalente de decir es y se lee f manda, envía o asocia a Por ejemplo la función es aquella dada por, con dominio los enteros no nulos Una descripción conjuntista de es: Si nos preguntamos quién es, tenemos problemas Por un lado, no es ningún número: si pensamos en como una máquina, no podemos introducir al cero o descompondremos la máquina (ésta se enloquecerá al intentar dividir por cero) Por otro lado, no es un elemento del dominio de, luego la expresión no tiene referencia alguna, no representa ningún objeto Lo mismo sucede con la función el rey de, que no tiene a Colombia en su dominio, pues el rey de Colombia no se refiere a ninguna persona Recordando la definición de imagen de una relación, tendremos para función: una

18 Por ejemplo, para la función del ejemplo 95, sabemos que Sin embargo la igualdad no se da: note que Ejemplo (Funciones dadas como tuplas) Dado y un conjunto cualquiera, una función -tupla Por ejemplo la tupla puede representarse mediante la representa la función constante, es decir,, para Sabemos que la intersección de dos relaciones es una relación, pues si y, entonces Para el caso de las funciones se cumplirá lo mismo: Lema Si y, entonces es una función, e Demostración [Prueba] Ya hemos notado que es una relación Si, entonces existe tal que, lo que implica que Similarmente se puede probar que Finalmente probemos que es una función: si, entonces en particular Como es una función, concluimos que Composición de funciones Definición (Composición de relaciones) Si y son relaciones, definimos la relación existe tal que y

19 Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que, y son funciones Por definición de composición:, para algún, para algún Note que es una función, pues si, entonces Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma Volviendo a la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así: 1 recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener 2 introduce a en la máquina para obtener 3 En resumen, ha transformado a en En el anterior proceso la máquina le aplica a Para que esto tenga sentido se requiere que Ahora, si, entonces, luego puede aplicarse a y tiene sentido (está definido) Además, Lo anterior nos permite concluir que, y que, es decir, Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición): Lema (composición de funciones) Sean Y funciones Entonces es la siguiente función: [Es decir, ]

20 Si y son como arriba y, entonces decimos que es una factorización de y Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas: Ejemplo Sea la función y la función Entonces es la función Por otro lado, es la función Note que y son funciones distintas (por ejemplo, luego Observación ) La composición de funciones no es necesariamente conmutativa Para antes de seguir leyendo: Si, entonces: 1 2 Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa Esto es, si, y, entonces: Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio ( ), y para todo,

21 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Definición (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones) Sea Diremos que: 1 es inyectiva o 1:1 (o es una inyección) si y sólo si para todos, implica 2 es sobreyectiva si y sólo si 3 es biyectiva (o es una biyección) si es inyectiva y sobreyectiva Para antes de seguir leyendo: 1 Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad es una biyección 2 Diremos que una función es constante si es un singleton Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante sea una biyección 3 la función es una biyección [ Qué ocurriría si no fuera 1:1? Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?] Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función, sino también del conjunto, de modo que, por ejemplo, es más correcto decir: es una sobreyección de en Ejemplo Sea la función Veamos que es una biyección: 1 Inyectividad: si, entonces Por ende y 2 Sobreyectividad: Hay que mostrar que Es claro que Para la otra inclusión, sea Es fácil ver que si, entonces

22 real ), y esto prueba que (dado que es imagen bajo de algún Ejemplo Sea la función Es fácil ver que, luego es sobreyectiva Pero no es inyectiva:, pero En otras palabras, si sabemos quién es, no sabemos con seguridad quién es Definición (Función invertible) Diremos que una función es invertible, si y sólo si la relación es también una función Recuerde que, luego si es invertible, entonces, e Ejemplo Sea la función, de modo que Si y, entonces Esto prueba que es una función, luego es invertible Sea Es claro que, y además que Lema Para, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 es inyectiva 2 Para todos, implica 3 es invertible La prueba se deja como ejercicio Note que si es invertible, entonces, luego es invertible (e inyectiva, por el teorema anterior)

23 Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funciones básicas Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastará con estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen Lo mismo ocurre con la sobreyectividad Teorema Para,, tenemos: 1 Si y son inyectivas, entonces es inyectiva 2 Si y son sobreyectivas, entonces es sobreyectiva 3 Si y son biyectivas, entonces es biyectiva Demostración [Prueba] (a) Si Entonces por inyectividad de, Por (b) inyectividad de, Esto prueba la inyectividad de Dado, por sobreyectividad de existe tal que Por sobreyectividad de, existe tal que Por ende, (c), y esto prueba la sobreyectividad de Se deduce de (a) y (b) Valen los conversos de las propiedades anteriores? La respuesta es negativa en general Pero al menos podemos concluir lo siguiente: Teorema Para,, tenemos: 1 Si es inyectiva, entonces es inyectiva 2 Si es sobreyectiva, entonces es sobreyectiva Demostración [Prueba] (1): Suponga Entonces, ed, Por inyectividad de, concluimos

24 (2): Sea Como es sobre, existe tal que Esto prueba que Definición (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones) Sea una función 1 Una inversa a izquierda de es una función tal que 2 Una inversa a derecha de es una función tal que La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad: Teorema Para : 1 es 1-1 si y sólo si tiene una inversa a izquierda 2 es sobreyectiva si y sólo si tiene una inversa a derecha La prueba se deja como ejercicio Corolario Si, entonces es inyectiva y es sobreyectiva Suponga el caso en que tiene inversas y a izquierda y derecha, respectivamente La existencia de garantiza que es la imagen de Además, la existencia de garantiza que es invertible, luego es función con dominio Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que y son la misma función, y más aún, son iguales a Veamos la demostración: Sabemos que, luego

25 Así, Ahora,, luego, y así, A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva: Teorema Sean, funciones Si y y, entonces y son biyectivas y mutuamente inversas, esto es, Demostración [Prueba]Como tiene a como inversa a izquierda y derecha, por el corolario es biyectiva De manera análoga podemos concluir que es una biyección Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que, Entonces Lema Sean y conjuntos disyuntos, y conjuntos disyuntos, y, funciones Sea la función definida por: Entonces: 1 Si y son inyectivas, entonces también lo es 2 (en particular, si y son sobreyectivas, entonces también lo es) Demostración Probamos la primera propiedad, dejando la segunda al lector Sean tales que Como y son disyuntos, supongamos que (el caso es similar) Entonces

26 (de lo contrario se tendría, y consecuentemente Similarmente Entonces Como es inyectiva, concluimos que Imagen e imagen inversa de funciones De las definiciones de imagen e imagen inversa de una relación, en particular tendremos, para una función y conjuntos, : 1 2 Ejemplo Sea,, y la función dada por la tupla (esto es,, etc) Entonces por ejemplo: Para antes de seguir leyendo: 1 2

27 A continuación estudiamos las propiedades de (la imagen de bajo ) y (la imagen inversa de bajo ): Teorema Para,, tenemos: 1 (monotonía) implica 2 3 Demostración [Prueba] (1): Suponga y mostremos : si, para un : por hipótesis,, luego por definición,, ed, (2): ( ): Si, con Si, entonces Si, entonces Por ende, ( ): Como, por monotonía (1) tenemos que (3): ( ): Como, por monotonía, luego ( ): Si,, para Luego y, y por definición y, ed, Teorema Para,, tenemos:

28 1 (monotonía) implica 2 3 EJERCICIOS: FUNCIONES 1 Sea la función Quién es? Es 1-1? Y sobreyectiva? 2 1 Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea inyectiva pero alguna de ellas no lo sea 2 Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea sobreyectiva pero alguna de ellas no lo sea 3 Dada y, definimos inductivamente así:, Dado Encuentre una función, tal que sea el mínimo natural tal que 4 Sea,, 1 Muestre que ( bajo qué condición sobre vale siempre la igualdad?) 2 Muestre que ( bajo qué condición sobre vale siempre la igualdad?) 3 Concluya que y 5 Para, sea una biyección Muestre que 6 Sea Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (dar una prueba o un contraejemplo): 1 Para, si y son disyuntos entonces y son disyuntos

29 2 Para, si y son disyuntos entonces y son disyuntos 7 Sea, para cada natural, una función cualquiera 1 Muestre que es también una función (Recuerde que es el conjunto ) 2 Cómo se comparan los conjuntos y? 3 Cómo se comparan los conjuntos y? 8 Sea un conjunto no vacío Demuestre que existe una biyección que no fija puntos, esto es, que verifica para todo 9 Pensemos en como el conjunto y sea un conjunto cualquiera Dado, sea la función: si, biyección si Note que Muestre que es una

30 Parábola Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática con, es una parábola Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición Definición Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1) Figura 1 El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábolase puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje

31 Teorema (ecuación canónica de la parábola) La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es El eje de la parábola es vertical y el foco está a unidades (orientadas) del vértice Si, la parábola abre hacia arriba y el foco está en ; si, la parábola abre hacia abajo y el foco está en Si la directriz es (eje horizontal), la ecuación es El eje de la parábola es horizontal y el foco está a unidades (orientadas) del vértice Si, la parábola abre hacia la derecha y el foco está en ; si, la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1)Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que

32 Ejemplo 1 Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es Solución Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a De la ecuación de la parábola tenemos que De donde obtenemos que y el vértice, por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en, la recta directriz es La gráfica se muestra en la figura 2 Ejemplo 2 Figura 2 Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en

33 Solución Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y, entonces la ecuación está dada por: La directriz es La gráfica se muestra en la figura 3 Ejemplo 3 Figura 3 Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto y recta directriz Solución Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación Para hallar el valor de debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice Puesto que la solución es, entonces y el foco sería

34 Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola Dicha recta tienen ecuación Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos La solución de este sistema es con lo cual la ecuación de la parábola es

35 Figura 4 Propiedades de la parábola Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexióno recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el focoeste hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el focoigualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólicola potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas Teorema (propiedad de reflexión) La tangente a una parábola en un punto : forma ángulos iguales con La recta que pasa por La recta que pasa por incidencia) y por el foco (ángulo de reflexión) y es paralela al eje de la parábola (ángulo de La propiedad de reflexión se muestra en la figura 5

36 Figura 5 Ejercicios 1 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en 2 Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos 3 Determine la ecuación canónica de la parábola 4 Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos Respuesta: 5 Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por

37 los puntos 6 Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos 7 Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en y directriz 8 Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones a) vértice en b) contiene al punto con c) la distancia de a la directriz es 10 9 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y directriz