RELACIONES Y FUNCIONES

Transcripción

1 ELCIONES Y FUNCIONES INTODUCCION a B b c 3 Cuando manejamos esquemas de este tipo, solemos decir que se estableció una relación o correspondencia entre los conjuntos y B en donde al elemento a le corresponde el y también el 3 y al elemento c le corresponde solamente el 3. l decir que al elemento a le corresponde el elemento estamos haciendo entrar en juego un par ordenado de elementos, el par (a,). Nótese que no es lo mismo decir que a a le corresponde el, que decir que a le corresponde a. Consideraciones similares hacen aparecer a los pares (a,3) y (c,3). No parece descabellado entonces considerar: ( a,),( a,3),( c,3) Establezca un par de relaciones cualesquiera entre los mismos conjuntos y B. Las consideraciones hechas sobre puede realizarlas sobre las dos relaciones que acaba de definir? En otras palabras Puede considerarlas como conjunto de pares ordenados? Consideramos y B dos conjuntos cualesquiera. Decimos que es una relación de en B si y solo si es un conjunto de pares ordenados de primera componente en y segunda en B. notamos : B En otras palabras: Nota: es una relación de en B B Consideramos : B si ( x, y) decimos que y es imagen de x (según ) y que x es preimagen de y (según ). sí por ejemplo ya que ( a,) diremos que a es preimagen de y que es imagen de a. También puede expresarse que a x le corresponde y (según ) o que y es correspondiente de x (según ). Si ( x, y) podemos anotar: x y ó xy.

2 Sea : B. Llamamos dominio de al conjunto formado por los elementos de que tienen al menos una imagen en B (según ). En otras palabras el dominio es el conjunto de las primeras componentes de los pares de. notamos D. Sintéticamente: D x / y B ; ( x, y) sí por ejemplo D a, c Denominamos recorrido de al conjunto formado por los elementos de B que tienen al menos una preimagen en (según ). En otros términos el recorrido de es el conjunto de las segundas componentes de los pares que forman. notamos. Sintéticamente: sí por ejemplo,3 definidas.. Hallar el dominio y el recorrido de las relaciones por Ud. Consideramos una relación F : B Decimos que F es una función si y solo si todo elemento de tiene una y solo una imagen en B (según F) Ejercicio: Sean a, b, c B, y las siguientes relaciones de en B (, ),(, ),(, ),(, ) ( a, ),( b, ),( c, ) y ( a, ),( c, ) a a b c Indicar cuáles de ellas son funciones y cuáles no. (Sugerimos realizar un diagrama para cada una de las relaciones). Seguramente ha llegado a la conclusión de que y no son funciones por diferentes motivos. Mientras que no es una función debido a que a tiene dos imágenes ( y ), no lo es ya que b carece de imagen.. * Observemos que si consideramos a, c * y B / x ; ( x, y) en lugar de, es una función de B. Sin embargo no hay forma de que cambiando los conjuntos ó B, pase a ser una función. En otras palabras si una relación no es una función porque hay algún elemento del conjunto de partida que no tiene imagen, cambiando dicho conjunto (eliminando de él aquellos elementos sin imagen) pasamos a tener una función. hora si no

3 3 es función porque algún elemento del primer conjunto tiene más de una imagen, esto no tiene arreglo sin alterar el conjunto de pares (la relación en si misma). Esta desprolijidad de que es función o no, dependiendo de quién sea el conjunto de partida, puede superarse adoptando otra definición de relación. Concretamente considerando a una relación : B no solamente como un conjunto de pares ordenados de primera componente en y segunda en B, sino como la terna formada por el conjunto de pares, y B. sí con esta última definición al cambiar el conjunto estamos cambiando la relación. Más precisamente: ELCIÓN O COESPONDENCI Llamamos gráfica a un conjunto de pares ordenados. Si G es una gráfica llamamos primera proyección de G al conjunto formado por las primeras componentes de los pares de G. notamos prg. nálogamente definimos segunda proyección. Consideramos y B conjuntos. Llamamos relación o correspondencia de en B a una terna ordenada G,, B en donde G es una gráfica tal que G B. Se dice que G es la gráfica de, el conjunto de partida y B el conjunto de llegada o codominio. Nota Si es una relación de en B anotamos : B Sea G,, B una relación de en B. Si x, y G decimos que y es imagen de x según, también que a x le corresponde y, que x es preimagen de y etc. En otras palabras la misma terminología ya presentada. FUNCIÓN Decimos que una gráfica F es una gráfica funcional x, y F y y x, y F 3

4 4 Consideramos f F,, B una relación de en B. Decimos que f es una función de en B si y solo si: ) pr F (El dominio coincide con el conjunto de partida) ) F es una gráfica funcional. En otras palabras la relación f F,, B tiene una y solo una imagen según f. es una función si y solo si todo elemento de Observación Sea f : B una relación f es función i) x y B / ( x, y) F ( x, y) F ( x, y) F ii) y y ' ( x ', y ') F x x ' ( x, y ') F y y' Nota * Volvamos al ejemplo. Siendo a, b, c B, a, c (, ),(, ) Observemos que,, B a c y la gráfica no es función pero sí lo es,, B hora se trata de dos ternas distintas ya que difieren en la segunda componente. Salvando así la inconsistencia observada. Nota: Consideramos g G,, una función de con G ( x, y) / y x Observemos que g es. busando de los diagramas podemos esquematizar: x x 4

5 5 g la anotaremos mas brevemente g : ; g( x) x sí con esta notación indicamos que la imagen de un x real cualquiera es x. Por ejemplo si anotamos g () hacemos referencia a la imagen de según g y la calculamos sustituyendo x por en g( x) x. En general si f F,, B es una función y x, y g() 4 simplemente f anotamos f ( x) y Por qué esta notación se utiliza exclusivamente para funciones y no para una relación cualquiera? Nota Consideramos f : B función y H un subconjunto de. notamos f H al conjunto de las imágenes de los elementos de H. Sintéticamente f H f ( x) / x H Por ejemplo si gh, 4,9,6 y denominamos,,3,4 g : ; g( x) x H entonces ESTICCIONES Y EXTENSIONES DE UN FUNCIÓN También podemos considerar una nueva función t,,,4, 3,9, 4,6,,,3,4, t : H ; t( x) x más precisamente Esta nueva función, a cada elemento de H le hace corresponder la misma imagen que la función g. la función t la denominaremos restricción de g sobre H. En general: Consideramos: f : B función,, tal que X Y B f X Y Llamamos restricción de f a X y a Y, a la función F, X, Y en donde F es la gráfica F x, f ( x) / x X esta nueva función la anotaremos f X, Y Es habitual que Y B y en este caso anotamos simplemente f X y la denominamos restricción de f sobre X. Concretamente si anotamos f X convenimos que el codominio es el mismo que el de la función original f. 5

6 6 Ejemplo Consideramos f ( x) 0 si x f : ; f ( x) si x P el conjunto de los naturales pares. H 0,, Entonces: f P es una función de dominio P que a todos los elementos del mismo le hace corresponder la misma imagen (0) f H 0,0,,,,0, H, Consideramos f : B función Si g es una restricción de f, diremos que f es una extensión de g a y a B. Cuando no interese poner en evidencia dominio y codominio de la función f, diremos simplemente que f es una extensión de g. Si solo interesa el dominio decimos que f es una extensión de g a. Ejemplos Consideramos g : ; g( x) x 0 con 0,, h( x) x 0 si x 3 Las funciones f : ; f ( x) x 0 y h : ; son h( x) x si x 3 extensiones de g sobre. Observación Una función f es una extensión de una función g si y solo si: ) El dominio de f contiene al de g. ) El codominio de f contiene al de g. 3) f ( x) g( x) x Dg CLSIFICCIÓN DE FUNCIONES Para que una relación de en B sea una función todo elemento de debe cumplir dos condiciones ) debe tener imagen ) dicha imagen debe ser única. Si condiciones similares le exigimos a los elementos de B, esto da lugar a la clasificación habitual de funciones. Más precisamente: 6

7 7 Consideramos f : B una función. Diremos que: ) f es sobreyectiva si y solo si todo elemento de B tiene preimagen. ) f es inyectiva si y solo si los elementos de B que tienen preimagen, esta es única. 3) f es biyectiva si y solo si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Ejercicio: Dar un ejemplo de: i) Una función biyectiva ii) Una función ni inyectiva ni sobreyectiva iii) Una función inyectiva no sobreyectiva. iv) Una función sobreyectiva no inyectiva. En cada uno de los casos anteriores. Observa alguna vinculación entre la cantidad de elementos del conjunto de partida y el de llegada? Observación Consideramos f : B ) f es sobreyectiva y B x / f ( x) y f B En otras palabras una función es sobreyectiva si y solo si el recorrido coincide con el codominio. f ( x) y ) f es inyectiva y y x x f ( x) f ( x) f ( x) y Para decirlo de otra manera. Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos hace corresponder imágenes distintas. Ejercicios Probar: ) f : ; f ( x) ax b a, b, a 0 ) es biyectiva. g : ; g( x) x no es ni inyectiva ni sobreyectiva. 3) g, es biyectiva. ELCIÓN INVES FUNCIÓN INVES Sea G una gráfica. Llamamos gráfica inversa de G (anotamos, /, G y x x y G G ) Ejemplos ) Si G,, 3,5, 7,0 G,, 5,3, 0,7 7

8 8 ) Si y G x, y / y x x, x / x G, y / y Ejemplo Consideramos G,, B una relación de en B. Llamamos relación inversa de a la relación G, B,,,,,,,,,,,, y,,,,,,, y,, Consideramos a b c B F a b c f F B Entonces F a b c f F B Observemos que f es función pero f no lo es. Es razonable cuestionarse qué condiciones debe cumplir una función para que su inversa también lo sea. Qué opina? Teorema f : B función. f : B es función f es biyectiva Dem. Llamemos F a la gráfica de f. Entonces f F, B, Si D B pero D B f f f es función f f f es sobreyectiva Por otra parte si f ( x) f ( x) como ( ) ( ) f f x f f x x x f es función podemos afirmar que Con lo cual f es inyectiva hora partimos de la hipótesis de f biyectiva f sobreyectiva f B Como D D B f f f hora si,,,, y x F y x F x y F x y F Teniendo en cuenta que f es inyectiva podemos afirmar que x x y, x F y, x F x x sí que: De ambas proposiciones subrayadas se concluye que f : B es una función. Nota f f Entonces si f : B es una función biyectiva, es una función biyectiva. f : B también 8

9 9 ELCIÓN COMPUEST FUNCIÓN COMPUEST Consideramos: a B C b c Si nos piden una relación : C a partir de 3 y seguramente la primera relación que se nos ocurre es: a 3 C b c esta nueva relación (nos referimos a 3 ) la denominaremos relación compuesta de con Intentemos generalizarlo. Consideramos G y G gráficas tales que pr G prg compuesta de G y G (anotamos G G. Llamamos grafica ), / ;,, G G x z y x y G y z G En el caso particular con el que empezamos a, b, c, B,,,, C, G a,, a,, b,, c,, G,,,,,, G,, B, G, B, C tenemos que G G a,, c, 9

10 0 Consideramos las relaciones G B G C D pr G,, y,, tal que prg. Llamamos relación compuesta de con (anotamos ) a la relación G G D,, Teorema Dem. f : B función g : C D función g f : D es función f D g Como f : B Teniendo en cuenta que g : C afirmar que es función, x, y B único / x, y Gf Gf gráfico de f z D único / y, z Gg. Por lo tanto D también es función y que y f Dg C podemos x, z D único / x, z Gg Gf De donde g f Gg Gf,, D es una función, a la que denominaremos función compuesta de f con g. Nota Si x y anotamos f ( x), Gf y, como y z G tenemos que g( y) z, g Ya que x z G G podemos afirmar que g f ( x) z, g f sí que g f ( x) g f ( x) hora z g( y) g f ( x) justificando de alguna forma el porqué escribimos la composición al revés de cómo se hace. partir de esta nota podríamos definir función compuesta sin antes hablar de relación compuesta de la siguiente manera: Consideramos: f : B función, g : C D función tal que f Dg. Llamamos función compuesta de f con g (anotamos g f ) g f : D; g f ( x) g f ( x) Ejercicios Consideramos las funciones f : B y g : B C. Probar: ) Si f y g son inyectivas g f : C es inyectiva. ) Si f y g son sobreyectivas g f : C es sobreyectiva. 3) Si f y g son biyectivas g f : C es biyectiva. 4) f y g son biyectivas : y g f C g f f g 0

11 5) f gh f g h siendo h : C D también una función 6) La función Id : ; Id ( x) x es biyectiva. esta función la denominamos función identidad de. 7) Si f es biyectiva f f Id y f f Id B ELCIONES DE EQUIVLENCI Consideramos un conjunto no vacío y una relación definida en ( : ) Decimos que es una relación de equivalencia si y solo si cumple: ) Idéntica xx x todo elemento está relacionado consigo mismo ) ecíproca Si xy yx Si x está relacionado con y necesariamente y lo 3) Transitiva xy yz xz está con x Una idea restringida de la igualdad es la igualdad como identidad. En otras palabras: dos elementos son iguales si y solo si son el mismo elemento. Sin embargo habitualmente utilizamos un concepto más amplio de la igualdad. Por ejemplo decimos que dos segmentos son iguales sin que sean necesariamente el mismo segmento; el mismo conjunto de puntos. Justamente la necesidad formal de manejar una idea más amplia de la igualdad que la igualdad como identidad fue la que llevo a la definición de relación de equivalencia. La idea utilizada para tal ampliación fue rescatar las características esenciales que debe cumplir una relación para ser una igualdad. Todo elemento debe ser igual a si mismo (idéntica). Si x es igual a y necesariamente y tiene que ser igual a x (recíproca). Si x es igual a y e y es igual a z entonces x es igual a z (transitiva). El lector verificará fácilmente que la relación tener la misma edad o calzar el mismo número de zapatos definida en un conjunto de personas es una relación de equivalencia. Veamos ahora algunos ejemplos de relaciones de equivalencia entre objetos matemáticos. Ejemplo Consideramos : ; x y x y Demostremos que es una relación de equivalencia. Para ello debemos probar que cumple: ) Idéntica x x x Como x x 0 x x x x

12 ) ecíproca x y y x Si x y x y y x ( x y) y x 3) Transitiva x y y z x z x y x y y z y z ( x y) ( y z) x y y z x z x z Ejercicio Llamemos al conjunto de todas las rectas del plano. Definimos : tal que r s r s (Dos rectas están relacionadas si y solo si son paralelas) Nos referimos en este caso al paralelismo amplio; o sea consideramos que dos rectas de un mismo plano son paralelas si y solo si coinciden o su intersección es vacía. Verificar que es una relación de equivalencia. Nota las relaciones de equivalencia se les suele anotar o en lugar de. Consideramos : una relación de equivalencia y a. Llamamos clase de equivalencia de a (anotamos a ) al conjunto formado por todos los elementos de que están relacionados con a. a x / x a sí en el ejemplo 0 x / x 0 x / x 0 x / x x / x x / x x / x x / x x / x x / x 0 3 x / x 3 x / x 3 x / x 4 0, 5 etc. Tenemos pues solo dos clases de equivalencia distintas. 0el conjunto formado por todos los enteros pares y el conjunto formado por todos los impares. clasifica a los enteros en pares e impares.

13 3 Si llamamos r a una recta de r x ; x r x ; x r En otras palabras la clase de equivalencia de r es el conjunto de todas las rectas del plano paralelas a r. r se le denomina dirección de r. Nota Consideramos : una relación de equivalencia, a, b Si x a xa como ab y cumple transitiva xb x b ab x b xb como ab y por lo tanto ba xa x a sí que en caso de que ab a b ecíprocamente si a b teniendo en cuenta que aa y por lo tanto a a a b ab Por lo tanto a b ab Nota Consideramos a, b, c, d, G a, a, b, b, c, c, d, d, b, c, c, d y la relación G 3,, El lector podrá verificar que se trata de una relación de equivalencia y además a a, b c b, c y d d conjunto formado por las clases de equivalencia, en este caso. Es natural considerar el a, b, c, d al que denominaremos conjunto cociente. Más precisamente: Consideramos : una relación de equivalencia. Denominamos conjunto cociente de por al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de los elementos de. Conjunto que anotamos Por ejemplo 0, a P( ) / a 3

14 4 Observación Consideramos : una relación de equivalencia y el conjunto cociente. Observemos: que ) todo elemento de (que es una clase de equivalencia) es no vacío a a ) Los elementos de son disjuntos dos a dos (pues dos clases de equivalencia si tienen un elemento en común, necesariamente coinciden) 3) La uníon de todos los elementos de es a, a a a x x Cualquier familia de conjuntos que cumpla estas tres condiciones se llama partición de. Consideramos: un conjunto y P ( ) un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de Decimos que es una partición de si y solo si se cumple: X X ) i i ) X X X, X tal que X X 3) Xi i j i j i j X i = Por lo observado anteriormente parecería razonable: Teorema Dem hora: Si : es una relación de equivalencia es una partición de a P( ) / a ) aa a aa a a a ) Si a b ab Pues si c a ca ac a b c a b ab a b c b cb 3) Es inmediato que x ya que x x x 4

15 5 Nos falta demostrar que x x a, aa a, a a a x a Con lo cual se concluye la demostración. x Ejercicio Consideramos,,3,4,5 i) Construya partición de. ii) Sea : : xy x e y pertenecen al mismo elemento de. Pruebe que es de equivalencia. Teorema un conjunto no vacio H) una partición de : : xy X / x X y X i i i T) : es de equivalencia Dem Idéntica xx x Como es una partición de Entonces x necesariamente X x Xi X / x X xx x k k X i Xi i ecíproca xy yx xy X / x X y X i i i X / y X x X yx i i i Transitiva xy yz xz xy X / x X y X i i i yz X / y X z X j j j Por lo tanto y Xi X j Xi X j. Teniendo en cuenta 5

16 6 que X i X i e X son elementos de una partición, no pueden ser elementos distintos. sí que j j X. En consecuencia X X / x X z X xz i j i i ELCIONES DE ODEN De la misma manera que presentamos las relaciones de equivalencia como una generalización de la igualdad, ahora intentaremos generalizar las relaciones < y. Concretamente: Consideramos una relación :. Decimos que es una relación orden estricto en si y solo si verifica: Inidéntica xx x Ningún elemento está relacionado con si mismo simétrica Si xy yx Transitiva Si xy yz xz Ejercicios Probar que i) : : xy x y ii) : P( ) P( ) : XY X Y Son relaciones de orden estricto. Consideramos una relación :. Decimos que es una relación orden amplio en si y solo si verifica: Idéntica xx x ntimétrica Si xy yx x y Transitiva Si xy yz xz Ejercicios Probar que i) 3: : x3y x y ii) 4: P( ) P( ) : X4Y X Y iii) 5: : x5y x y Son relaciones de orden amplio. 6

17 7 Sean: : una relación de orden estricto o amplio a, b Decimos que a y b son comparables por si y solo si ab ba Sea : una relación de orden estricto o amplio. Decimos que es de orden total si y solo si todo par de elementos distintos de es comparable. es de orden total a, b ; a b necesariamente ab ba Ejercicios nalizar si,, 3, 4 y 5 son o no relaciones de orden total. Material consultado para la elaboración de estas notas: elaciones definidas en un conjunto Gustavo Franco. Fundamentos 00 Introducción a la teoría de conjuntos Lia Oubiñas. EUDEB 976 bril del 0 esponsable: Daniel Siberio 7