Lección No.4: Relación de equivalencia

Transcripción

1 Sol: B-A1, c, (A B) c 3, e y (A B) c 1, c, 3, d, 4, e,5 Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 3,7,9, B 1,3,4,5 y C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c Sol: A B BC -A1,5} y C c = {2,3,4,6,7,9}. Lección No.4: Relación de equivalencia Qué es una relación entre conjuntos? El producto cartesiano de A y B, notado A X B, es el conjunto a, b : a Ab B, donde a, b se denomina pareja ordenada. Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del conjunto B. Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas, por lo tanto, R es un subconjunto de A X B. En símbolos R A X B. Si a, b es pareja ordenada de la relación R, se escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R. Ejemplo 1: Si A a, b, c y B 1,2 entonces: pero también se tiene que: A X B (a, 1), ( a, 2), (b, 1), ( b, 2), ( c, 1), ( c, 2) B X A (1, a ), ( 2, a), ( 1, b), ( 2,b), ( 1, c), ( 2, c) Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R (a,1), ( b,2), ( c,1) es una A X B del 17

2 relación de A en B, ya que R A X B. En cambio, el conjunto R 1 (a,1), ( a,2), ( b,1), ( 2,2 ), ( 2, c) no es una relación dea en B, porque R 1 A X B ya que por lo menos (2,2) es un elemento de R 1 pero no es elemento de A X B. Ejemplo 3: Sea el producto cartesiano RxR donde R es el conjunto de los números Reales, 2 R 1 x, y X : x 2 +y 2 1, R 2 x, y X : 3x y 6 y R 3 x, y X : x 0 son ejemplos de relaciones en los reales. Ejercicios Ejercicio 1: Calcule el producto cartesiano A X B, donde: a. A es el conjunto de los números naturales y B el conjunto de las vocales. b. A es el conjunto cuyo elemento es a y B el conjunto de los enteros entre -3 y 3, incluyéndolos. Sol: a. si B a, e,i, o, u entonces A X B a, b : a Nb B, donde N es el conjunto de los números naturales. Ejercicio 2: De cada uno de los productos cartesianos obtenidos en el ejercicio 1, busque dos ejemplos de relaciones y dos ejemplos de no relaciones. Ejercicio 3: Proponga un ejemplo similar al presentado en el ejemplo 2. Qué es una relación de equivalencia? Una relación del conjunto A en sí mismo es una relación de equivalencia en A si cumple las propiedades de ser reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación es reflexiva, si para todo a de A, se cumple 18

3 que a a. Una relación es simétrica, si para todo a b, con a b, entonces b a. Una relación que a c. es transitiva, si para todo a b y b c, se tiene Ejemplo 4: Sean A a, b, c y R 1 (a, a), ( a, b), ( b, b), ( b, a), ( c, c) una relación en A, es claro que es reflexiva ya que (a, a), (b, b) y (c, c) son elementos de R 1. Sea R 2 (a, a ), ( b, b ), (a, b ), entonces es una relación en (c, c ) R 2. A que no es reflexiva porque c A pero Ejemplo 5: Sean A, R 1 y R 2 los mismos del ejemplo 1.5.4, entonces R 1 es simétrica porque (a, b) y (b, a) son elementos de R 1. La relación R 2 no es simétrica porque (a, b) está en la relación pero (b, a) no está en la relación. Ejemplo 6: Sean A y R 1 los mismos del ejemplo 1.5.3, entonces R 1 es transitiva porque (a, a) y (a, b) implica (a, b), (a, b) y (b,b) implica (a, b), (a, b) y (b, a) implica (a, a), (b, a) y (a, b) implica (b,b), (b, a) y (a, a) implica (b, a), finalmente (b,b) y (b, a) implica (b, a). De aquí se tiene que R 1 es una relación de equivalencia en A. Toda relación de equivalencia en un conjunto A particiona al 19

4 conjunto en subconjuntos, tales que ninguno es vacío; la unión de todos ellos es A y son mutuamente disyuntos. Cada conjunto de la partición se llama una clase de equivalencia. En otras palabras, si es una relación de equivalencia en A entonces para todo a de A se define la clase de equivalencia de a como a x A : x a. El conjunto formado por todas las clases de equivalencia se llama conjunto cociente, usualmente notado por A. Ejemplo 7: Retomando nuevamente A y R 1 de los ejemplos 4, 5 y 6, se tiene que las clases de equivalencia de la relación R 1 en A son a a, b b y c c. El conjunto cociente dado por la relación es: A R 1 a, c. Ejemplo 8: Sea la partición en números enteros dado ser par o impar, está definida por la siguiente relación de equivalencia: si a y b son enteros entonces a está relacionado con b, si y sólo si, a b al dividirlo por 2 el residuo es 0. Las clases de equivalencia de la relación son 0 que representa los enteros pares y 1 que representa los números impares. Luego el conjunto cociente está dado por los elementos 0 y 1. Ejemplo 9: Si A 0,1,2,3, entonces la relación en A : R 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 1,0, 0,1 es una relación de equivalencia, el lector puede verificarlo. Por ser R una relación de equivalencia en A, las clases de equivalencia son 0 0, 1 1, 2 2 y 3 3. El conjunto cociente de la relación es A R 0, 2, 3. Ejercicio Ejercicio 4: Proponga dos conjuntos y para cada uno de ellos proponga una relación de equivalencia, describa las clases de 20

5 equivalencia y defina quién es el conjunto cociente de la relación. Lección No.5: Relación de orden Qué es una relación de orden? Una relación del conjunto A en sí mismo es una relación de orden en A si cumple las siguientes propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación es reflexiva, si para todo a de A, se cumple que a a. Una relación es antisimétrica, si para todo a b y b a entonces a b. En otras palabras, una relación es antisimétrica si para todo a b con a b entonces no es cierto que b a. Una relación que a c. es transitiva, si para todo a b y b c, se tiene Ejemplo 1: Ejemplos de relaciones reflexivas y transitivas pueden ser los mismos presentados en los ejemplos del la sección 1.5. Ejemplo 2: Sea A 1,2,3 y la relación R en A definida como R (1,1), ( 1,2), ( 1,3), ( 2,2), ( 2,3), ( 3,3), el lector puede verificar sin dificultad que R es reflexiva y transitiva en A. También es antisimétrica porque al tomar (1,2), (1,3) y (2,3) de R se tiene que (2,1), (3,1) y (3,2) no están en R. Luego R es una relación de orden en A. 21

6 Ejemplo 3: Sea B = {a, b, c, d}y la relación R en B, R= {(a,a),(a,b),(a,c),(b,c)} es relación de orden Ejemplo 4: La relación de contenencia entre conjuntos es una relación de orden. Ejemplo 5: Las relaciones de orden usual definidas en los números naturales, números enteros, números racionales y números reales son ejemplos de relaciones de orden. Ejercicio Ejercicio 1: Proponga tres conjuntos y para cada uno de ellos proponga una relación de orden. Justifique. Representación gráfica de una relación de orden La representación gráfica usual de una relación de orden es el Diagrama de Hasse que es una gráfica de puntos que representan los elementos del conjunto sobre el cual se le ha definido la relación de orden y el diagrama indica cómo es la relación entre cada uno de los elementos dada por esta misma relación de orden. Ejemplo 6: Sea la relación de orden definida en el ejemplo 1.6.2, entonces el diagrama de Hasse para esta relación es: 22

7 3 2 1 Gráfica Diagrama de Hasse para ejemplo Ejemplo 7: Sea el conjunto para el orden usual sobre A es: A 1,2,3,4,5, el diagrama de Hasse Gráfica Diagrama de Hasse para ejemplo Ejercicios Ejercicio 2: Construya los diagramas de Hasse para las relaciones de orden del ejercicio 1 de esta lección. Ejercicio 3: Construya los diagramas de Hasse para dos relaciones de orden definidas por usted. 23