. 1 TEORIA DE NUMEROS. Tema: ARITMETICA MODULAR. (Apuntes de apoyo a clases teóricas) Tiempo de exposición: 2hs

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1 . 1 TEORIA DE NUMEROS Tema: ARITMETICA MODULAR (Apuntes de apoyo a clases teóricas) Tiempo de exposición: 2hs

2 Bibliografía: 2 1. T. Hibbard. Apuntes de Cátedra. Año J. Yazlle. Apuntes de Cátedra: Aritmética Elemental. U.N.Sa. Marzo Grimaldi. Addison Wesley (1989), Matemática discreta y combinatoria. 4. Enzo Gentile. Eudeba (1984). Notas de aritmética. 5. Enzo Gentile. SECRETARIA GENERAL DE LA ORGANIZACION DE LOS ESTADOS AMERICANOS. (1985). Aritmética. 6. Armando Rojo. El Ateneo. (1985). Algebra I.

3 Objetivos: 3 1. Repasar los conceptos: Producto Cartesiano, Relación, Función, Operación binaria. Propiedades de las Relaciones de Equivalencia. Partición. 2. Definir la Relación Congruencia módulo n. 3. Definir Conjunto cociente. 4. Conceptualizar teoremas de congruencia. 5. Definir Relación de congruencia. 6. Obtener inversos aditivos y multiplicativos.

4 Repasemos los siguientes conceptos: 4 1. Producto Cartesiano entre conjuntos: Sean A y B conjuntos, definimos: A x B = {(x, y) / x A y B } Ejemplo: A= {1, 2, 3} B= {, } A x B = {(1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ) } B x A = {(, 1 ), (, 2 ), (, 3 ),(,1), (,2), (, 3) } 2. Relación de A en B: Es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B R : A B R A x B Sobre el ejemplo anterior, podemos escribir las siguientes relaciones: R 1 = {(1, ),(1, ), (3, )} R 2 = {(1, ),(1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ) } = A x B Podemos ver en R 1 que: 1, 1, 2

5 Repasemos los siguientes conceptos 5 3. Función f: Sean A y B ; f : A B Es una relación en la que cada elemento de A aparece exactamente 1 vez como 1era. componente de un par ordenado. Ejemplo: A= {1, 2, 3, 4, 5} B = {1,2,3} R 3 = {(x, y) / x + y 4} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1) } R 3 no es función. Por qué? el 1 aparece más de una vez como 1era componente Propiedades de una función f: i) Existencia: a A, b B / (a,b) f ii) Unicidad: Si (a,b) f (a, c) f b = c

6 Repasemos los siguientes conceptos 6 En esta unidad, nos interesarán relaciones definidas sobre un mismo conjunto A: R : A A Ejemplo: A= {x N 0 / x 10} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Sea R 4 A x A / R 4 = {(x, y) / x + y 10} R 4 = {(0,10),(1, 9), (2, 9), (2, 8), (3,7),(4,7) } Podemos ver en R 4 que: 7 2 Porque Porque Porque

7 Repasemos los siguientes conceptos 7 R : A A Otro Ejemplo: A= {x N 0 / x 4} = {0,1,2,3,4} Sea R 5 A x A / R 5 = {(x, y) / x e y son ambos pares ó x e y son ambos impares} R 5 = {(0,0),(0,2), (0, 4), (2, 0), (2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4),(1,1), (1,3),(3,1), (3,3)} Podemos ver en R 5 que:

8 Repasemos los siguientes conceptos 8 Las relaciones R : A Propiedad Reflexiva: A gozan de ciertas propiedades: a A ; a a R 4 = {(x, y) / x + y 10} R 4 es Reflexiva? Rta:? 2 2 R 5 = {(x, y) / x e y son ambos pares ó x e y son ambos imp} R 5 es Reflexiva? Rta:?

9 Repasemos los siguientes conceptos 9 Propiedad Simétrica: a, b A ; si a b b a R 4 = {(x, y) / x + y 10} R 4 es Simétrica? Rta:? R 5 = {(x, y) / x e y son ambos pares ó x e y son ambos imp} R 5 es Simétrica? Rta:?

10 Repasemos los siguientes conceptos 10 Propiedad Transitiva: a, b, c A ; si a b b c a c R 4 = R 5 = {(x, y) / x + y 10} R 4 es Transitiva? Rta:? {(x, y) / x e y son ambos pares ó x e y son ambos impares} R 5 es Transitiva? Rta:? Si R: A -> A cumple con: Propiedad Reflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Transitiva R es una Relación de Equivalencia

11 TODOS LOS NUMEROS DE LA RECTA NUMERICA QUEDARON MARCADOS R 6 ={ (x, y) / resto(x,3) = resto(y,3) } 11 Analicemos el proceso de agrupar en un mismo conjunto a los elementos que estén relacionados con el 0, luego con el 1, luego con el 2, etc, a través de R 6 : Formemos el conjunto: { x Z / 0 x} = { x Z / resto( x, 3) = 0} ={ -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15 } =[0] = K 0 Formemos el conjunto: { x Z / 1 x} = { x Z / resto( x, 3) = 1} ={ -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,13, 16...} =[1] = K 1 Formemos el conjunto: { x Z / 2 x} = { x Z / resto( x, 3) = 2} ={...-10,-7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,14,...} =[2] = K 2

12 R 6 ={ (x, y) / resto(x,3) = resto(y,3) } 12 Veamos que : { x Z / resto( x, 3) = 0} ={ -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15 } =[0] = K 0 { x Z / resto( x, 3) = 1} ={ -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,13, 16...} =[1] = K 1 =[3] = [6] = [ -3] =[4] = [7] = [ -2] { x Z / resto( x, 3) = 2} ={..-10,-7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,14,...} =[2] = K 2 =[5] = [8] = [ -1] En un diagrama de Venn de los Z vemos que hemos particionado este conjunto: 3 subconjuntos K 0, K 1, K 2 K 0 U K 1 U K 2 = Z { K 0, K 1, K 2 } = Z/ = Conjunto Cociente Cada K i se llama CLASE DE EQUIVALENCIA

13 Generalizando: R n ={ (x, y) / resto(x,n) = resto(y,n) } = n 13 { x Z / resto( x, n) = 0} = { x = k.n, k Z} = [0] = K 0 { x Z / resto( x, n) = 1} = { x = k.n + 1, k Z} = [1] = K 1 { x Z / resto( x, n) = 2} = { x = k.n + 2, k Z} =[2] = K 2 { x Z / resto( x, n) = j } = { x = k.n + j, k Z} =[j] = K j { x Z / resto( x, n) = n-1} = { x = k.n +(n-1), k Z} =[n-1] = K n-1 { x Z / resto( x, n) = n } = { x = k.n +n, k Z} =[n] = [0] = K 0 n subconjuntos distinos: K 0, K 1, K 2. K n-1 K 0 U K 1 U K 2 U K n-1 = Z { K 0, K 1, K 2, K n-1 } = Z/ = Conjunto Cociente { [0], [1], [2],,[n-1] } = Z/ = Conjunto Cociente = Z n Para simplificar la notación: Ejemplos: { 0, 1, 2,, n-1 } = Z n Z 5 = { 0, 1, 2, 3, 4} Z 6 = { 0, 1, 2, 3, 4,5} Z 2 = { 0, 1}

14 Propiedades de las clases de equivalencia: 14 1) Si x y [x] = [y] 2) x, y U ; [x] = [y] ó [x] [y] = 3) U x U [x] = U 4) [x] + [y] = [x + y] 5) [x]. [y] = [x. y] 6) [x]. ( [y] + [z]) = ([x].[y]) + ([x]. [z])

15 Operación binaria: 15 Definición: Sean A y B : A x A B Se define : operación binaria, como una aplicación que asigna a cada par de valores a A y a A, un solo valor de b B y Se simboliza: a a = b ó (a, a ) b = a a Si B A La operación binaria es CERRADA Ejemplo: A ={1,2} B ={a,b,c} : A x A B donde se define como: 1 1 = b 1 2 = c 2 1 = a 2 2 = b Es una operación binaria, es Cerrada? No, porque? ó se define por tabla como: b a c b B no A

16 Operación binaria 16 Otro Ejemplo: A ={1,2,3} se define por tabla como: Aquí es una operación binaria Cerrada: : A x A A Nos van a interesar operaciones binaria de este tipo: : A x A A

17 Operación binaria: Propiedades 17 1) Ley de Cierre: a, b A ; a b A 2) Ley Asociativa a, b, c A ; (a b) c = a (b c) 3) Conmutativa: a, b A ; (a b) = (b a) 4) de Elemento Neutro único e A ; a A ; / (a e) = (e a) = a 5) de Elementos Inversos para cada elemento de A: a A ; a A ; / (a a ) = (a a) = e En el ejemplo anterior: A ={1,2,3} Neutro e = = = = 3 = 3 1 = 3 2 = 3 3 Inversos: 1 1 = = = 3 => 1 = 2 => 2 = 1 => 3 = 3

18 Relación de Congruencia y Relación de Congruencia Módulo n: Definición 18 La relación es de congruencia respecto de una operación si: a, b, c, d A, a b c d a c b d La relación n es de congruencia módulo n si: A = N 0 n N 0 {0} a, b N 0, a n b resto(a, n) = resto(b, n) Ejemplo: 3 a=11, b=2 N 0, resto(11, 3) = resto(2, 3) a=11, b=17 N 0, resto(11, 3) = resto(17, 3) a=29, b=14 N 0, resto(29, 3) = resto(14, 3)

19 Relación de Congruencia Módulo n: Teorema 19 a, b N 0, a n b a - b = k. n ; k Z ) Si a n b a - b = k. n ; k Z H) a n b T) a - b = k. n ; k Z D) Por H) a n b Por definición de n : resto(a, n) = resto(b, n) a b r a c a a = c a. n + r a r a = a - c a. n r b c b b = c b. n + r b r b = b - c b. n Como resto(a, n) = resto(b, n) r a = r b a - c a. n = b - c b. n a b = n( c a - c b ) a b = n. k (c a - c b ) Z

20 Relación de Congruencia Módulo n: Teorema 20 a, b N 0, a n b a - b = k. n ; k Z ) a n b Si a - b = k. n ; k Z H) a - b = k. n ; k Z T) a n b D) En el práctico 1 se demostró que: resto(a, n) = resto(a+k.n, n) Si a b = k.n a = b + n. k resto(a, n) = resto(b + k.n, n) A Por A: resto(a, n) = resto(b, n) Por Def de n : a n b

21 Definiciones equivalentes: 21 1) a, b N 0, a n b a - b = k. n ; k Z 2) a, b N 0, a n b a = b + k. n ; k Z 3) a, b N 0, a n b b = a + k. n ; k Z 4) a, b N 0, a n b resto(a, n) = resto(b, n)

22 TEOREMA: n es una relación de congruencia respecto de las operaciones binaria + n y x n 22 Sean: el conjunto Z, la relación n y las operaciones binarias + n y x n a, b, c, d Z, Si a n b c n d a + n c b + n d a x n c b x n d A B Demostración de A: Si a n b a = b + k. n ; k Z c n d c = d + k. n ; k Z a + c = (b + k.n) + (d + k. n) a + c = (b + d) + (k.n + k. n) a + c = (b + d) + (k + k ) n a + c = (b + d) + (k ) n ; k Z a + c n b + d está demostrado.

23 TEOREMA: n es una relación de congruencia respecto de las operaciones binaria + n y x n 23 Sean: el conjunto Z, la relación n y las operaciones binarias + n y x n a, b, c, d Z, Si a n b c n d a + n c b + n d a x n c b x n d A B Demostración de B: Si a n b a = b + k. n ; k Z c n d c = d + k. n ; k Z a x c = (b + k.n) x (d + k. n) a x c = (b x d) + (b x k.n + d x k. n + k. n. k. n) a x c = (b x d) + n (b k + d. k + k. k. n) a x c = (b x d) + (k ) n ; k Z a x c n b x d está demostrado.

24 El sistema: (Z n, + n, X n ) 24 Z n = { 0, 1, 2, 3,, n-1} / 0 = [0], 1 = [1],, [n-1] + n : a, b Z n, a + n b = resto( a + b, n ) X n : a, b Z n, a X n b = resto( a x b, n ) Ejemplo (n = 5): Z 5 ={0,1,2,3,4} x

25 (Z 5, + 5, X 5 ) 25 Ejemplo (n = 5): Z 5 ={0,1,2,3,4} x Se verifican las propiedades: 1) Ley de Cierre 2) Ley Conmutativa 3) elemento neutro: e + = 0 4) a Z 5, inverso aditivo su forma es: (n-a); a Z 5 (5-a) En Z 5 - {0} se verifican las propiedades: 1) Ley de Cierre 2) Ley Conmutativa 3) elemento neutro: e x = 1 4) a Z 5,- {0} inverso multiplicativo

26 Veamos (Z 4, + 4, X 4 ) 26 Ejemplo (n = 4): Z 4 ={0,1,2,3} x Se verifican las propiedades: 1) Ley de Cierre 2) Ley Conmutativa 3) elemento neutro: e + = 0 4) a Z 4, inverso aditivo su forma es: (n-a) En Z 4 - {0} se verifican las propiedades: 1) Ley de Cierre 2) Ley Conmutativa 3) Elemento neutro: Para 2 : e x = 1 y e x = 3 4) a Z4- {0} inverso multiplicativo (el 2 no tiene) solo inverso multiplicativo para 1,3 que son coprimos con 4

27 Conclusión (Z n, + n, X n ) 27 i) En (Z n, X n ) a 0 a Z n, a tiene inverso multiplicativo a es coprimo con n ii) En (Z n, + n ) a 0 a Z n, todo a tiene inverso aditivo Si n es primo, hablamos del sistema Z p = { 0, 1, 2, 3 p-1}

28 TEOREMA: En (Z n, X n ) a 0 a Z n, a tiene inverso multiplicativo a es coprimo con n 28 Demostración: ) a 0 a Z n, a tiene inverso multiplicativo a es coprimo con n Vamos a negar la Tesis y arribaremos a un absurdo: a NO es coprimo con n p primo / p a p n Por otro lado: k 1 Z / a = p.k 1 k 2 Z / n = p.k 2 x 0 x Z n, / x tiene inverso multiplicativo: x. a n 1 x. a = 1 + k. n (def congruencia) Reemplazando A y B en la última expresión: x. (p. k 1 ) = 1 + k. (p.k 2 ) x. p. k 1 = 1 + p (k. k 2 ) Como 0 1 < p (k. k 2 ) = cociente( x.p.k 1,p) 1 = resto ( x.p.k 1, p) x.p.k 1 no sería múltiplo de p. lo que es un absurdo porque x.p.k 1 es múltiplo de p a es coprimo con n A B

29 TEOREMA: En (Z n, X n ) a 0 a Z n, a tiene inverso multiplicativo a es coprimo con n 29 Demostración: ) Si a es coprimo con n a 0 a Z n, a tiene inverso multiplicativo a es coprimo con n mcd(a,n) = 1 s,t Z / s.a + t. n = 1 s.a + t. n = 1 s.a = 1 - t. n s.a = 1 + (- t). n s.a n 1 por def de congruencia Pero s Z, no a Z n, pero seguro s n x para algún x Z n a n a por Prop. Reflexiva s n x Por ser n una Relac. de congruencia respecto del producto: s. a n x. a s. a n 1 por A x. a n 1 A x es el inverso multiplicativo de a, que se obtiene a partir de s

30 Ejemplo: Encontrar 5-1 en Z ) Aplico algoritmo st(5, 17)= (s,t) a b c r s t s = t t =s -t.c (7.0)= (-2).3= = (s,t) = (7, -2) 2) s = 7 es el candidato a inverso: Si 0 s < 17 s es el inverso: Si s 17 el inverso = resto(s, 17) Si s < 0 el inverso = (s + k.17) con k Z + hasta que (s + k.17) Z 17

31 Para finalizar la clase, vimos: Producto Cartesiano, Relación, Función, Operación binaria. Propiedades de las Relaciones de Equivalencia. Partición. 2. Relación Congruencia módulo n. Z n 3. Conjunto cociente. 4. Teoremas de congruencia y existencia de inverso multiplicativo 5. Obtener inversos aditivos (su forma) y multiplicativos (a partir de st(a,n)).