Introducción a los números reales
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- José Miguel Suárez Maestre
- hace 6 años
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1 Grado en Matemáticas Curso
2 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto
3 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos
4 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,...
5 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...
6 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0.
7 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1,
8 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1, Complejos representados con C son de la forma a + bi donde a, b R y la i es un símbolo
9 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1, Complejos representados con C son de la forma a + bi donde a, b R y la i es un símbolo En la lista anterior cada conjunto incluye a los que le preceden (eventualmente, mediante identificaciones adecuadas de los elementos)
10 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto.
11 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos
12 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible.
13 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible.
14 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b.
15 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible.
16 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible. En Z el cociente puede hacerse ciertas parejas. En Q, R y C siempre es posible.
17 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible. En Z el cociente puede hacerse ciertas parejas. En Q, R y C siempre es posible. Cociente es la «operación inversa» del producto: ax = b.
18 Propiedades de suma y producto Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Conmutativa a + b = b + a, Asociativa (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) a b = b a Distributiva (a + b) c = a c + b c Neutros suma: el 0 pues a + 0 = a, producto: el 1 pues a 1 = a Simétricos suma: simétrico de a es a pues a + ( a) = 0, producto: simétrico de a 0 es 1/a pues a (1/a) = 1 En adelante escribiremos ab en lugar de a b. En C se opera formalmente como en R y polinomios arbitrarios en el símbolo i con el convenio de que i 2 = 1
19 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas el corpus de la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo.
20 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas el corpus de la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo. Las matemáticas son deductivas: parten de unos axiomas precisos y construyen sobre ellos, respetando ciertas leyes o reglas de juego, conocimiento intemporal. El punto de partida puede inspirarse en la realidad física o mental, pero a partir de ahí inicia el vuelo libremente, despojándose de lo accesorio, creando nuevos conocimientos a través de los «teoremas».
21 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas el corpus de la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo. Las matemáticas son deductivas: parten de unos axiomas precisos y construyen sobre ellos, respetando ciertas leyes o reglas de juego, conocimiento intemporal. El punto de partida puede inspirarse en la realidad física o mental, pero a partir de ahí inicia el vuelo libremente, despojándose de lo accesorio, creando nuevos conocimientos a través de los «teoremas». Los axiomas de partida pueden ser diferentes. Y consecuentemente diferentes pueden ser también los teoremas de ellos deducidos. Pero incluso se puede tomar como axioma lo que en otras construcciones es un teorema.
22 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible.
23 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible.
24 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Si n es primo entonces 2 n 1 también es primo Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible.
25 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Si n es primo entonces 2 n 1 también es primo Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible. Si n es par entonces n 2 también es par
26 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Si n es primo entonces 2 n 1 también es primo Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible. Si n es par entonces n 2 también es par Si n es compuesto entonces 2 n 1 también es compuesto
27 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Si n es primo entonces 2 n 1 también es primo Todo número par es suma de dos primos Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible. Si n es par entonces n 2 también es par Si n es compuesto entonces 2 n 1 también es compuesto
28 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas.
29 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático.
30 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto
31 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto Tesis Es un enunciado cuya certeza se desconoce, pero se sospecha como cierto
32 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto Tesis Es un enunciado cuya certeza se desconoce, pero se sospecha como cierto Demostración Es el proceso que permite obtener la certeza de la tesis a partir de la certeza de la hipótesis. Para realizarlo se hace uso de los axiomas o de otros teoremas anteriormente establecidos.
33 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par.
34 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par.
35 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par. Contrarecíproco. H T es equivalente a not noh Ejemplo: Si a R es un número irracional entonces a también es irracional.
36 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par. Contrarecíproco. H T es equivalente a not noh Ejemplo: Si a R es un número irracional entonces a también es irracional. Reducción al absurdo. Para probar la veracidad de una proposición A, consiste en suponer noa y construir una proposición C de modo que C y noc son ciertas. Ejemplo: 2 es irracional.
37 El axioma de los números reales El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Axioma Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R.
38 El axioma de los números reales El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Axioma Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R. Cuerpo: dos operaciones internas en R la suma y el producto: 1 Asociativa: x + (y + z) = (x + y ) + z, x (yz) = (xy )z 2 Conmutativa: x + y = y + x, xy = yx 3 Existe 0 R tal que x + 0 = x, x R 4 x R existe x R tal que x + x = 0. Notación x = x 5 Existe 1 R, 1 0 tal que 1x = x 6 x R con x 0 existe x R tal que xx = 1. Notación x = x 1, x R 7 Distributiva (x + y )z = xz + yz.
39 El axioma de los números reales El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Axioma Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R. Totalmente ordenado significa que existe una relación binaria en R denotada con que cumple 1 Reflexiva: x x 2 Antisimétrica: si x y y también y x, entonces x = y 3 Transitiva: si x y y también y z, entonces x z 4 Para cada pareja x, y R se cumple x y o bien y x 5 Si x y entonces x + z y + z para todo z R 6 Si x y entonces xz yz siempre que 0 < z (0 z y z 0)
40 El axioma de los números reales El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Axioma Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R. Completo significa que todo conjunto A R acotado superiormente y no vacío tiene supremo. A si dice que está acotado superiormente si existe b R tal que a b, a A α R se dice supremo de A si a α, a A y cualquier otro b R con la propiedad de que a b, a A necesariamente cumple que α b.
41 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Teorema En R se verifican las siguientes propiedades: 1 Los elementos neutros son únicos. 2 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también lo son a = b y a 1 b = 1. 3 c < 0 equivale a c > 0. 4 a0 = 0 para todo a R. 5 ( 1)a = a y por tanto ( a)b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b. 8 Si c < 0 entonces a b y ac bc son equivalentes. 9 Si a 0 entonces aa > 0; en particular 1 > a > 0 1 a > 0. Si b > 0 entonces a b 1 a 1 b.
42 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Definición Un subconjunto no vacío A R se dice acotado inferiormente si existe M R tal que M a para todo a A. Cualquier valor M que cumpla la relación anterior se llama una cota inferior de A. Si existe α R que es cota inferior de A y además cumple que M α para cualquier otra cota inferior M de A, entonces α se llama ínfimo de A y se denota en la forma α = «ınf A. Teorema Si en un cuerpo ordenado se verifica el axioma del supremo, entonces todo subconjunto no vacío acotado inferiormente tiene ínfimo.
43 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Definición Un conjunto I R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 0 I. Si x I entonces x + 1 I. Definición N := {I : donde I es un conjunto inductivo de R}. Teorema (Método de inducción) Cualquier subconjunto S N que satisfaga las siguientes propiedades 1 0 S, 2 si n S entonces n + 1 S, verifica que S = N.
44 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Enteros y racionales subconjuntos de R Definición El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q están definidos del siguiente modo: 1 Z := {n R : n N, o bien n N} 2 Q := {m 1 1 : m Z y n N \ {0}}. El número real m n n se denota indistintamente como m o como m/n. n Teorema (Propiedad arquimediana) El cuerpo R tiene la propiedad arquimediana, es decir, dados x, y R, con 0 < y, existe n N tal que x < ny.
45 La parte entera Conjuntos numéricos El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Teorema Todo subconjunto no vacío A de N tiene primer elemento. Corolario Para cada x R existe un único número entero m que verifica m x < m + 1. Definición Sea x R, el único número entero m que verifica m x < m + 1 se llama parte entera de x y se denota con [x ], es decir [x ] := m.
46 Densidad en R Conjuntos numéricos El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Teorema Si x, y R, con x < y, entonces existe r Q tal que x < r < y. Teorema Existe un número α R \ Q tal que α 2 = 2. Además Teorema α = sup{0 r Q : r 2 < 2} Si x, y R, x < y, entonces existe z R\Q tal que x < z < y.
47 El valor absoluto Conjuntos numéricos El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto Definición { x si x 0 x := x si x < 0 Teorema Para cada par de elementos x, y de R se cumplen: 1 x = x 0 y x > 0 si x 0. x = m«ax{x, x} 2 xy = x y = x x. 4 x a a x a 5 x + y x + y (desigualdad triangular). 6 x y x y
48 El axioma fundamental Los primeros teoremas El valor absoluto J. M. Mira; B. Cascales y S. Sánchez-Pedreño
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