1 LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES SOBRE OPERACIONES BÁSICAS
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- Enrique Romero Campos
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1 LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES SOBRE OPERACIONES BÁSICAS Afectan directamente a los procesos de simplificación de operaciones con números, con expresiones algebraicas y a los procesos de solución de ecuaciones. Se clasifican en seis tipos, distribuidas en diez casos. En todos los enunciados de la siguiente tabla, se supone que a, b y c R. NOMBRE ENUNCIADO SIGNIFICADO EJEMPLOS. Conmutativa de la El orden en los sumandos no altera la a + b b + a adición suma. k + + k k + k +. Asociativa de la El orden de agrupación de los términos de 4x + (x + ) (4x + x ) + a + (b + c) (a + b) + c adición una suma no altera los resultados. 5x + 3. Neutro aditivo a + 0 a El 0 no afecta los resultados en la suma Inversos aditivos Cuando se suman dos simétricos o a + (-a) 0 o simétricos inversos aditivos, el resultado es 0. 5a 5a Conmutativa de la El orden en los factores no altera el a b b a multiplicación producto. 3ba 3ab. Asociativa de la El orden de agrupación de los términos de a (b c) (a b) c multiplicación un producto no altera los resultados. (3a 3 b) ( 3) a 3 b a 3 b 7. Neutro multiplicativo a a El no afecta los resultados en el producto. a a a 8. Inversos multiplicativos o a recíprocos a inversos multiplicativos, el resultado es. (5x + 3) (5x) + (3) 0x + (t + )(3t ) t(3t ) + (3t ) 3t t + 3t 9. Distributiva a(b + c) ab + ac La multiplicación se distribuye en la suma. 3t + t x + y + x + xy (x + y) + x(x + y) (x + y)( + x) 0. Si x, entonces: Si a b, entonces a y b se pueden sustituir uno por otro, según x 3x + () 3() + convenga, en cualquier proceso algebraico
2 En los siguientes ejercicios se muestra, paso por paso, el proceso de solución de algunas operaciones con números y polinomios. En cada paso del proceso se identifican las propiedades de los números reales que los justifican (38 + 3) 7 + (3 + 38) Conmutativa (+) (7 + 3) + 38 Asociativa (+) (59 5) 4 (5 59) Conmutativa ( ) (4 5) 59 Asociativa ( ) (3 5 ) 5(3 + 5 ) 5( 5 + 3) Conmutativa (+) 5( ) + 5(3) 5 Distributiva + 5(3) Inversos ( ) (a + 5b)(4a b) a(4a b) + 5b(4a b) Distributiva a(4a) + a(-b) + 5b(4a) + 5b(-b) Distributiva 8a ab + 0ab 5b 8a + (-ab + 0ab) 5b Asociativa (+) 8a + 8ab 5b 5. (5x - 3)(x - 3x + ) 5x(x 3x + ) 3(x 3x + ) Distributiva 5x(x ) + 5x(x) + 5x() 3(x ) 3(x) 3() Distributiva 0x 3 5x + 5x() x + 9x 3() 0x 3 5x + 5x x + 9x 3 Neutro ( ) 0x 3 5x x + 5x + 9x 3 Conmutativa (+) 0x 3 + (-5x x ) + (5x + 9x) 3 Asociativa (+) 0x 3 x + 4x 3
3 3 LAS PROPIEDADES DE LA IGUALDAD APLICADAS A LA TRANSFORMACIÓN DE LAS ECUACIONES Afectan directamente a la solución de las ecuaciones y permiten determinar los valores de las variables involucradas, empleando procesos de transformación, llamados también despejes. Se clasifican en 5 tipos: PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Adición Para deshacer restas Sustracción Para deshacer sumas Multiplicación Para deshacer divisiones División Para deshacer multiplicaciones Simetría Para intercambiar los lados de una ecuación En todos los enunciados de la siguiente tabla, se supone que a, b y c. NOMBRE ENUNCIADO SIGNIFICADO EJEMPLOS. ADICIÓN a b a + c b + c A una igualdad (ecuación) se le puede sumar la misma cantidad en ambos miembros sin alterar su solución.. SUSTRACCIÓN a b a c b c 3. MULTIPLICACIÓN a b a c b c 4. DIVISIÓN a b a c b c (c 0) 5. SIMETRÍA a b b a A una igualdad (ecuación) se le puede restar la misma cantidad en ambos miembros sin alterar su solución. A una igualdad (ecuación) se le puede multiplicar por la misma cantidad en ambos miembros sin alterar su solución. A una igualdad (ecuación) se le puede dividir entre la misma cantidad en ambos miembros sin alterar su solución. A una igualdad (ecuación) se le pueden intercambiar los miembros sin alterar su solución. x 3 8 x 3 / + 3 / x 5y + 7 5y + / / 7-5y y -5 / y (-5) / y -0 4a 4 / a 4 / 4 a 3-7z + 8 7z + 8 -
4 4 En algunos casos no solamente intervienen estas cinco propiedades, sino, además, también se involucran las propiedades de campo y el principio de sustitución. Los siguientes ejemplos nos muestran cómo intervienen: EJEMPLO En los siguientes ejercicios se muestra, paso a paso, los procesos de solución de algunas ecuaciones y el nombre de la propiedad que justifica a cada uno de sus pasos: a) La solución de la ecuación x + 7 es: b) La solución de la ecuación y 8 4 es: x Sustracción () y Adición () x Inversos (+) y Inversos (+) x 7 Neutro (+) y Neutro (+) x -5 y El conjunto solución es {-5}. El conjunto solución es {}. c) La solución de la ecuación z es: d) La solución de la ecuación a 3 es: / z / División () a 3 Multiplicación () z Inversos ( ) a 3 Inversos ( ) z Neutro ( ) a 3 Neutro ( ) z -7 a El conjunto solución es {-7}. El conjunto solución es {}. e) La solución de la ecuación 7 x - 3 es: f) La solución de la ecuación z z + 4 es: x 3 7 Simetría () 3z 5 z + 4 Conmutativa (+) x Adición () 3z z Adición () x Inversos (+) 3z + 0 z Inversos (+) x Neutro (+) 3z z Neutro (+) x 0 3z z + 9 / x 0 / División () -z + 3z -z + z + 9 Sustracción () x 0 Inversos ( ) z -z + z + 9 x 0 Neutro ( ) z Inversos (+)
5 5 x 5 z 9 Neutro (+) El conjunto solución es {5}. / z 9 / División () z 9 Inversos ( ) z 9 Neutro ( ) z El conjunto solución es {}. Algunas otras ecuaciones contienen operaciones con signos de agrupación, además de la variable en ambos miembros. Veamos el siguiente ejemplo: es: ( ) 4a (-) ( a ) + ( ) 3 Distributiva a + a + ( ) 3 a a Inversos ( ) - a a Conmutativa (+) 7 - a + + a g) La solución de la ecuación ( a ) ( a ) 7 - a a 7 -a a 7 -a + a 7 Sustracción () Inversos (+) Neutro (+) -a a
6 - a a - a + a Sustracción () - a a 0 Inversos (+) - a a - Neutro (+) 3 - a - 3 a 3 3 División () a 3 Inversos ( ) a 3 Neutro ( ) a 3 Inversos ( ) a 3 El conjunto solución es { 3
7 7 LAS PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Se utilizan para resolver desigualdades o inecuaciones de cualquier grado con una o más variables. LOS SIGNOS DE DESIGUALDAD SIGNO DESCRIPCIÓN > Mayor que Mayor o igual que < Menor que Menor o igual que Diferente de De la misma forma que con las ecuaciones, las desigualdades también se clasifican en 5 propiedades básicas: PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Transitiva Adición Sustracción Multiplicación División Para enlazar cadenas con el mismo signo de desigualdad. Para deshacer restas Para deshacer sumas Para deshacer divisiones Para deshacer multiplicaciones NOTA. En todos los enunciados de la siguiente tabla, se supone que a, b y c R. Las propiedades se enuncian para el signo de >, pero se supone la validez de las mismas para los otros signos de desigualdad. En todos los enunciados de la siguiente tabla, se supone que a, b y c. NOMBRE ENUNCIADO SIGNIFICADO EJEMPLOS. TRANSITIVA a > b y b > c a > c Cuando dos desigualdades se enlazan con el signo de >, entonces el primer número de la cadena sigue siendo mayor que el último. Si x + 3 > x 5 y x 5 > 4, entonces x + 3 > 4. ADICIÓN a > b a + c > b + c A una desigualdad (inecuación) se le puede sumar la misma cantidad en ambos lados sin alterar su solución. Si x 5 > 4, entonces: 5 x + 5 > x > 9
8 NOMBRE ENUNCIADO SIGNIFICADO EJEMPLOS A una desigualdad (inecuación) se le Si x + 3 > 4, entonces: 3. SUSTRACCIÓN a > b a c > b c puede restar la misma cantidad en x > 4 3 ambos lados sin alterar su solución. x > 4a. MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO POSITIVO 4b. MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NEGATIVO 5a. DIVISIÓN POR UN NÚMERO POSITIVO 5b. DIVISIÓN POR UN NÚMERO NEGATIVO a > b y c > 0 a c > b c a > b y c < 0 a c < b c a > b y c > 0 a c > b c a > b y c < 0 a c < b c 8 Una desigualdad (inecuación) se conserva cuando se multiplican ambos lados por una cantidad positiva. Una desigualdad (inecuación) se invierte cuando se multiplican ambos lados por una cantidad negativa. Una desigualdad (inecuación) se conserva cuando se dividen ambos lados por una cantidad positiva. Una desigualdad (inecuación) se invierte cuando se dividen ambos lados por una cantidad negativa. Si y > -5 entonces: y > (-5) y > -0 Si 3 m >, entonces: ( ) < ( 3) m 3 3 m < -8 Si 4a >, entonces: 4 a > 4 4 a > 3 Si z > 9, entonces: z 9 < 3 z <.
9 9 EJEMPLO En los siguientes ejercicios se muestra, paso a paso, los procesos de solución de algunas desigualdades y el nombre de la propiedad que justifica a cada uno de sus pasos: a) La solución de la desigualdad t + 4 > - es: b) La solución de la desigualdad y 3 < es: t > - 4 Sustracción (>) y < + 3 Adición (<) t + 0 > - 4 Inversos (+) y + 0 < + 3 Inversos (+) t > - 4 Neutro (+) y < + 3 Neutro (+) t > -5 y < 9 El conjunto solución es: El conjunto solución es. Algebraicamente: Gráficamente: Algebraicamente: Gráficamente: (-5, + ) {t / t > -5} t (-, 9) {y / y < 9} 3 y c) La solución de la desigualdad -5z 0 es: d) La solución de la ecuación m - es: -5z -5 0 m -5 División por un negativo ( ) (-) Multiplicación por un positivo ( ) z 0-5 Inversos ( ) m (-) Inversos ( ) z 0-5 Neutro ( ) m (-) Neutro ( ) z -4 m - El conjunto solución es: El conjunto solución es. Algebraicamente: Gráficamente: Algebraicamente: Gráficamente: z m (-, -4] {z / z -4} (-, -] {m / m -}
10 e) La solución de la desigualdad > -x + 0 es: f) La solución de la desigualdad z z + 4 es: -x + 0 < Intercambiando lados 3z 5 z + 4 Conmutativa (+) -x < 0 Sustracción (<) 3z z Adición ( ) -x + 0 < 0 Inversos (+) 3z + 0 z Inversos (+) -x < 0 Neutro (+) 3z z Neutro (+) -x < -3 3z z + 9 x -3 División por un > - - negativo (<) -z + 3z -z + z + 9 Sustracción ( ) x > -3 - Inversos ( ) z -z + z + 9 x > -3 - Neutro ( ) z Inversos (+) x > 3 z 9 Neutro (+) Algebraicamente: ( 3, + ) 3 {x / x > } El conjunto solución es: Gráficamente: x z z z División por un negativo ( ) Inversos ( ) Neutro ( ) z El conjunto solución es: Algebraicamente: Gráficamente: [, + ) {z / z } z
11 PRÁCTICA INDIVIDUAL VALOR: Firma y punto. FECHA DE ENTREGA: En el cuaderno al terminar la clase. EJERCICIO : Identifica las propiedades operativas y de igualdad en las siguientes expresiones resueltas. Escribe sobre la línea el nombre de la propiedad correspondiente. a) Si x 5, entonces: x 5 x x x + 5 x x x x b) Si -4y + -, entonces: -4y y y y -8 4 y y 8 y y 4 Algebraicamente: (-, ] {y / y } EJERCICIO : Resuelve y comprueba la siguiente ecuación: z 5 +. z + SOLUCIÓN Y COMPROBACIÓN: El conjunto solución es: -4 Gráficamente: y EJERCICIO 3: Resuelve la siguiente desigualdad y halla su conjunto solución: + 4(m ) -(m + 3). SOLUCIÓN:
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