Polinomios III. I. Fracciones algebraicas con polinomios. 1. Simplificación de fracciones algebraicas. 2. Amplificación de fracciones algebraicas

Transcripción

1 Polinomios III Finalmente veremos en esta última ficha lo correspondiente a fracciones terminando de esta manera con los polinomios. I. Fracciones algebraicas con polinomios Definiremos como una fracción algebraica de polinomios como el cociente de dos polinomios donde el denominador debe ser distinto de cero, luego: Q(x) con Q(x) 0 En las fracciones con polinomios podemos realizar operaciones tales como equivalencia, simplificación y amplificación, veamos estas operaciones con algunos ejemplos prácticos. 1. Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar una fracción algebraica buscamos un factor común entre ellos que nos permita su simplificación, luego sea el siguiente ejemplo: x + 4 () 2 ()() (x + 2)() (x + 2)() x Amplificación de fracciones algebraicas En ciertos ejercicios podríamos necesitar amplificar la fracción de manera tal de obtener una identidad notable ya sea en el numerador o divisor, para lograr esto tenemos que multiplicar tanto el numerador como el divisor por el mismo polinomio, veamos el siguiente ejemplo: x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 x2 4 (x + 2) 2 1

2 3. Equivalencia entre fracciones con polinomios Se dicen que dos fracciones son iguales si cumplen: Q(x) R(x) S(x) R(x) Q(X) S(x) Las siguientes fracciones son equivalentes? y 1 x + 2 Colocamos un signo de igualdad y verificamos que tengamos lo mismo en ambos lados de la ecuación: 1 x + 2 x + 2 x2 4 Ok! II. Común denominador con polinomios En algunas ocasiones es conveniente para resolver algunos ejercicios llevar a dos (o varias) fracciones algebraicas a un mismo divisor, para eso buscaremos su común denominador siguiendo los siguientes pasos: a. Descomponemos los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo (mcm) que será el común denominador. b. Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones. c. El resultado anterior lo multiplicamos al numerador. Veamos un ejemplo, sean las siguientes fracciones polinómicas, reduzcamos a su común denominador: 1 x 2 1 y a. Descomponemos los denominadores: x 2 1 (x + 1)(x 1) x 2 3x + 2 x 1 () x x 2 3x + 2 mcm x 2 1, x 2 3x + 2 (x + 1)(x 1)() 2

3 Note que el termino (x 1) no lo colocamos al cuadrado, error común, ya que es el común denominador solamente, luego. b. Dividimos el mcm entre los denominadores. (x + 1)(x 1)() x 2 1 (x + 1)(x 1)() x 1 () (x + 1)(x 1)() (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1)() x 1 () () (x + 1) c. Multiplicamos ahora el numerador por el valor anterior dividido por el mcm. 1 () (x + 1)(x 1)() x 3 2 x + 2 x (x + 1) (x + 1)(x 1)() x 2 + x x 3 2 x + 2 Como podrá notar, ahora ambas fracciones tienen común denominador o divisor (en verde). III. Suma y resta de fracciones con polinomios Como podrá notar, con las propiedades de amplificación, simplificación y común denominador podemos realizar sumas y restas de fracciones polinómicas al poder llevar el denominador a una misma expresión ya sea que estas tengan igual o distinto denominador. 1. Con distinto denominador Simplemente para sumar o restar este tipo de fracciones solo debemos llevar estas a la expresión con común denominador para realizar la suma o resta. Sean la siguiente operación de suma y resta de fracciones: 3

4 + 2 x Como verá todos los sumandos tienen distinto divisor, luego llevando estos a su común denominador para luego realizar las sumas y restas de fracciones tenemos: x x x x x Con igual denominador + 2 x (x 4) Simplemente sumamos o restamos lo numeradores teniendo el cuidado de los signos, errores frecuente en este tipo de ejercicios con polinomios. Sean la siguiente operación de suma y resta de fracciones: x + 4 8x x + 4 8x 8 IV. 2(x + 1) Producto de fracciones con polinomios Una de las operaciones más sencillas es la multiplicación entre fracciones polinómicas donde solamente tenemos que multiplicar los numeradores y divisores, veamos su formulación: Q(x) R(x) R(x) S(x) Q(x) S(x) 4

5 Sea la siguiente multiplicación: x x x + 2 4x2 8 V. División de fracciones con polinomios Como podrá imaginar el cociente es igual de sencillo que la multiplicación, veamos su formulación: Sea la siguiente división: Q(x) : R(x) S(x) x + 2 : 4 x+2 4 x 2 Q(x) R(x) S(x) Q(x) S(x) S(x) R(x) Q(x) R(x) x + 2 : 4 x x + 2 ( 4) x 4 x + 2 ( 4) x x + 2 Como verá las operaciones con polinomios parar llegar a la respuesta correcta necesita tener cuidado con el orden, respetar los signos y los cambios a su vez el orden de las operaciones de división, multiplicación, suma, resta y paréntesis. 5

6 TEST 1.- Indique que equivalencia es falsa en las siguientes fracciones algebracias: a) x 4 3x 12, 1 3 b) x+y x 2 y 2, 1 x y c) x(x+1), x 2 d) x, 2 x(x 1) Descomponga y simplifique la siguiente fracción, indique que alternativa muestra su resultado: a) x+5 x 5 b) x 5 x+5 c) x+5 x+5 d) x 5 x 5 x x x Descomponga y simplifique la siguiente fracción, indique que alternativa muestra su resultado: x 2 y 3xy 2 a) x+y y b) x 3y y c) x+3y 2y d) x 3y 2y y En la siguiente equivalencia, encuentre el polinomio que permite a la fracciones ser equivalentes: 2 x + 2 x 2 + 4x Indique el común denominador de las siguientes fracciones: a) 2(x 3) 2 b) 4(x 3) 2 c) 4(x + 3) 2 d) 2(x + 3) 2 3x 2 4x x x 2 + 6x Indique el común denominador de las siguientes fracciones: a)x 2 2 b) 2 1 c) x d)x 2 1 x 1 x + 1 x En la siguiente operación de suma y resta indique la alternativa correcta: 2 25x + 3 5x(x + 1) x )? a) 8x 2 +59x+8 b) 8x 2 +59x 8 c) 8x 2 +59x 8 d) 8x 2 +59x En el siguiente producto indique la alternativa correcta: 6

7 a) 4x + 2 b) 4 c) + 4 d) En la siguiente división indique la alternativa correcta: 6x(x 2 1) x x x 2 + 8x a) -3/5 b) 3/5 c) -9/5 d) 9/5 6x(x 1) x x x 2 + 8x a) 1 2 (x 1) (x 1) 2 b) 1 2 (x+1) (x+1) 2 c) 12 (x+1) (x 1) 2 d) 1(x+1) (x 1) Realice la operación entre polinimios y simplifique: a) a b) -a c) 2 d) -2 1 ab + a 1 + (a + b)2 + b b ab a 7