APUNTES UNIDAD O FRACCIONES : 1. QUÉ ES UNA FRACCIÓN Y PARA QUÉ SIRVE?

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1 FRACCIONES : 1. QUÉ ES UNA FRACCIÓN Y PARA QUÉ SIRVE? Qué es una fracción? Una fracción es un cociente de dos números enteros. Al de la parte superior se le llama NUMERADOR y al de la inferior DENOMINADOR. Para qué sirve una fracción? Las fracciones aparecen en muchas partes de las matemáticas, de ahí su importancia.se usan para muchas cosas pero su significado básico es representar las partes en que se divide algo ( denominador ) y el número de ellas que se toman ( numerador ). Ejemplos : Podemos representar gráficamente funciones usando la idea anterior. 1

2 2. FRACCIONES EQUIVALENTES: Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor. Por ejemplo ( usando la representación gráfica ) : Cómo saber si dos fracciones son equivalentes? La forma más sencilla es calcular el decimal correspondiente a cada fracción para comprobar si los valores son exactamente iguales. El método que debe usarse sin recurrir a los decimales es realizar el producto cruzado de las fracciones ( numerador de la primera por denominador de la segunda y denominador de la primera por numerador de la segunda ). Si los resultados son iguales las fracciones son equivalentes. Ejemplo : Probar, sin usar decimales, si las fracciones 2 5 y son equivalentes: 2 150= = 00 Luego son equivalentes, al obtenerse el mismo resultado en los productos cruzados. Cómo construir fracciones equivalentes a partir de una dada? Se puede hacer esto de dos formas : Por amplificación,multiplicando numerador y denominador por un mismo número.se podrán crear infinitas fracciones equivalentes. Por simplificación, dividiendo numerador y denominador por un mismo número. Solo se podrá hacer si ambos números son divisibles por el mismo. Ejemplo: calcula fracciones equivalentes a las dadas a) 5 Por amplifiación: multiplicando arriba y abajo por 2, o por, o por 4. Por simplificación: no se puede, pues no hay números que dividan a 5 y a a la vez. b) Por amplifiación: multiplicando arriba y abajo por 2, o por, o por 4. Por simplificación : se puede dividir el numerador y el denominador por 2. También se puede por. 2

3 . OPERACIONES CON FRACCIONES: A. Suma y resta de fracciones: Solo se pueden sumar o restar fracciones que tengan el mismo denominador. En ese caso nos ocuparemos de sumar o restar SOLO LOS DENOMIDAORES y el denominador el el mismo que tienen todas las fracciones. Ejemplo: = Qué hacer cuando tenemos fracciones con diferentes denominadores? Debemos buscar fracciones equivalentes a las que nos dan, pero de forma que todas ellas tengan el mismo denominador. Por ejemplo, si queremos sumar los denominadores son distintos, pero hay fraaciones equivalentes a ambas: 1 2 = 2 4 = 6 = 4 8 = = 2 6 = 9 = 4 12 = 6 18 Vemos que entre las equivalentes las hay que tienen denominadores, el 6, podemos usar esas fracciones para hacer la suma: = =+ 2 6 = 5 6 Al denominador que usamos se le llama denominador común. No hace falta hacer esta búsqueda para encontrar el denominador común, hay un métodos para hacerlo más rápido:

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5 B. Multiplicación de fracciones: C. División de fracciones: 5

6 D.La fracción como operador: POTENCIAS : 1. QUÉ ES UNA POTENCIA Y PARA QUÉ SIRVE? En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2 4 y lo llamaremos potencia. 2 4 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta". 5 2 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual. Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. 2. PROPIEDADES A. Potencias con exponente entero: a n = 1 a n siempre que a sea distinto de cero B. Potencias con exponente racional o fraccionario: m a n = a n m C. Potencias de exponente entero y base racional: ( a b ) n = an b n 6

7 C. Propiedades 7

8 RAÍCES EXACTAS : Sabemos que 2 =9. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como 9= y se lee es igual a la raíz cuadrada de 9. En general: Se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que b 2 =a y escribimos b= a Se define la raíz cúbica de un número a como otro número b tal que b =a y escribimos b= a Igualmente, se define n-ésima de un número a como otro número b tal que b n =a y escribimos b= n a El número a se llama radicando, el número n índice y b es la raíz. A. LA RAÍZ COMO POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO: n 1 n Ejemplo: a=a 8=8 1 En general m n a n n =a Ejemplo 5 6 =8 6 B. RAÍCES EXACTAS E INEXACTAS: Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional.en caso contrario diremos que son inexactas y el resultado no erá un número racional. Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice. Ejemplos : Vamos a estudiar si las siguientes raíces son exactas a) 216 b) 4 0,0256 c) 192 8

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10 C. OPERACIONES BÁSICAS CON RAÍCES 1. SUMA Y RESTA Caso 1 Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando). Ejemplo: Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que todos los términos tienen Para recordar: Cuando hay un radical solo siempre será lo mismo que. Como los radicales son todos iguales radical se deja igual. Veamos ahora otro ejemplo: se suman los números que están fuera de ellos ( ) y la parte Como todos los términos tienen podemos sumar y/o restar sin problema. Se ha añadido un "1" delante del radical único. Caso 2 Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distinta base? Ejemplo: Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo, no será posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidades subradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no se pueden factorizar. 10

11 Pero, veamos otro ejemplo: Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen el mismo índice (2) pero tienen distinta base. Pero aquí hay una diferencia: las bases se pueden factorizar, de tal modo que Para quedar 11

12 2. PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE RADICALES Multiplicar radicales del mismo índice Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice. COCIENTE O DIVISIÓN DE RADICALES Dividir radicales del mismo índice Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice MONOMIOS 1. INTRODUCCIÓN En ocasiones has visto expresiones como la siguiente: a + b = b + a Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de números y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos. En Matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combinen números y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando, como en el caso anterior, expresamos relaciones que se dan para todos los números. También cuando desconocemos el valor de algún dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos. Y también cuando no conocemos el valor numérico de algún dato y hemos de escribir una expresión en la que interviene aunque no se trate de hallar su valor. Las expresiones que resultan de combinar números y letras relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas. La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra. 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Muchas expresiones algebraicas que utilizaremos resultan de una traducción del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Fíjate en los ejemplos y observa que a los números cuyo valor desconocemos unas veces les hemos dado el nombre de una letra y otras veces el de otra. (El signo entre número y letra o entre dos letras no es necesario escribirlo y lo sobreentenderemos). El doble de un número 2n. La mitad de un número X/2. El triple de un número menos dos y - 2. El doble del producto de dos números 2ab 12

13 . La mitad del cuadrado de un número x 2 2. La mitad de un número más su triple z /2+ z. MONOMIOS: Son las expresiones algebraicas más simples. Un monomio es el producto de un número por una o varias letras. El número es el coeficiente u las letras forman la parte literal. Ejemplos: 5x 2 4 a2 b tvz En el primero el coeficiente es 5 y la parte literal x 2. En el segundo el coeficiente es literal a 2 b. En el tercero el coeficiente es 1 y la parte literal tvz. A. GRADO DE UN MONOMIO: Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus letras: 4x 2 es de grado 2 ab 2 es de grado 7es de grado0 4 y la parte B. MONOMIOS SEMEJANTES: Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal x 2 2 y 5 x2 son semejantes 5t y 8t son semejantes 2a 2 y 2a no son semejantes 4. SUMA/RESTA DE MONOMIOS: La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma/resta de los coeficientes: 5x+ 2x=7x x 2 2x 2 = 5x 2 4a+ 5a=9a 8z 9z = z La suma/resta de dos monomios semejantes permite a veces reducri expresiones algebraicas operando dentro de ella los monomios que sean semejantes: x 2 + 5x 2x 2 9x=x 2 4x 2a+ 5a 9a+ 8x 2 5x 2 = 2a+ x 2 1

14 5. PRODUCTO DE MONOMIOS: El producto de dos monomios sean o no semejantes- es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes literales ( Recuerda el producto de potencias de la misma base). x 2 5x 2 =15x 5 4x 2x 5 = 8x 6 4 x 2x5 = 6 4 x6 6.COCIENTE DE MONOMIOS: 2 5 x5. 7 = x5 Para que el cociente de dos monomios sea un monomio, el grado del monomio dividiendo ha de ser igual o mayor que el divisor. En caso contrario, el resultado es una fracción algebraica. En el primer caso, el cociente de dos monomios es otro monomio que tiene de coeficiente el cociente de los coeficientes y la parte literal es el cociente de las partes literales.( Recuerda el cociente de potencias de la misma base). 12x 8 :x 5 =4x 7x 5 :x= 7 x4 8x 2x =4x2 9x 8 7x 2= 9 7. x6 En el segundo caso, lo mejor es poner el cociente de monomios en forma de fracción, descomponer cada uno en todos en los factores posibles y simplificar eliminando factores iguales: 8x 2 : 2x 5 = 8x2 2x 5 = x.x. 2.x.x.x.x.x. = 2.2 x.x.x = 4 x Con la práctica aprenderás a hacerlo en menos paso POLINOMIOS 1.DEFINICIÓN: Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n a n - 2 x n a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n a 1, a o números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. 14

15 a n es el coeficiente principal. a o es el término independiente. Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Clasificación de un polinomio según su grado Primer grado P(x) = x + 2 Segundo grado P(x) = 2x 2 + x + 2 Tercer grado P(x) = x 2x 2 + x SUMA/RESTA DE POLINOMIOS: Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x + 5x Q(x) = 4x x 2 + 2x 1Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x x 2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x + 5x ) + (2x x 2 + 4x) 2Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x + 2x x 2 + 5x + 4x Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x x 2 + 9x También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x 4 + 4x 2 + 7x + 2 Q(x) = 6x + 8x + 15

16 P(x) + Q(x) = 7x 4 + 6x + 4x x + 5 Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) Q(x) = (2x + 5x ) (2x x 2 + 4x) P(x) Q(x) = 2x + 5x 2x + x 2 4x P(x) Q(x) = 2x 2x + x 2 + 5x 4x P(x) Q(x) = x 2 + x.producto: Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. (2x x 2 + 4x 2) = 6x 9x x 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. x 2 (2x x 2 + 4x 2) = 6x 5 9x x 6x 2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x 2 Q(x) = 2x x 2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) Q(x) = (2x 2 ) (2x x 2 + 4x) = = 4x 5 6x 4 + 8x 6x + 9x 2 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x 5 6x 4 + 2x + 9x 2 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. IDENTIDADES NOTABLES Igualdad 2x + = 5x 2 16

17 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x Cierta 2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x = 2 Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. 2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x = 2 Binomio al cuadrado (a ± b) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (x + ) 2 = x x + 2 = x x + 9 (2x ) 2 = (2x) 2 2 2x + 2 = 4x 2 12 x + 9 Suma por diferencia (a + b) (a b) = a 2 b 2 (2x + 5) (2x - 5) = (2x) = 4x 2 25 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1.ECUACIÓN: Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x + 1 = 2 x = 1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros. Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.2 Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x = x + 2 solución x = 5 2 ( 5) = ( 5) = = 1 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. 2. TIPOS DE ECUACIONES SEGÚN SU GRADO: 5x + = 2x +1 Ecuación de primer grado. 5x + = 2x2 + x Ecuación de segundo grado. 5x + = 2x +x2 Ecuación de tercer grado. 5x + = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado..ecuaciones EQUIVALENTES: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x = x + 2 x = 5 x + = 2 x = 5 Criterios de equivalencia de ecuaciones 17

18 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + = 2 x + = 2 x = 5 2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = x + 2 2= 2 x = 1 4.ECUACIONES DE PRIMER GRADO: En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. EJEMPLOS: 18

19 2x=6 Despejamos la incógnita x= 6 2 x= 2x =6+ x Agrupamoslos términnos semejantes y losindependientes, y sumamos: 2x x=6+ x=9 2 (2x )=6+ x Quitamos paréntesis 4x 6=6+ x Agrupamos términos y sumamos: 4x x=6+ 6 x=12 Despejamos la incógnita: x= 12 x=4 x 1 6 x 2 = 1 Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo m.c.m.(6,2)=6 x 1 (x )= 6 Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes : x 1 x+ 9= 6 x x= x= 14 Despejamos la incógnita: 2x=14 x= 14 2 x=7 (2x+ 4)= x Quitamos paréntesis y simplificamos: 6 4 x+ 12 =x x+ = x Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes : x+ 6=2x+ 8 x 2x=8 6 x=2 1.- El error más frecuente es no cambiar los signos de la expresión que aparece detrás de un signo menos. 2. Otros error muy común es no multiplicar TODA la ecuación por el m.c.m 19

20 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx+ c=0 con a 0 Se resuelve mediante la siguiente fórmula: x= b± b2 4ac 2a x=5± x 2 5x+ 6=0newline = 5± = 5± 1 = 5±1 2 2 x 1 = 6 2 = x 2 = 4 2 =2 SISTEMAS DE ECUACIONES Para resolver los sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se utilizan los siguientes métodos de resolución: Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación del sistema, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones. Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por sustitución 20

21 1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones del sistema. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. 2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: Resolvemos la ecuación obtenida: 4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 5 Solución Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones. Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por igualación 21

22 1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 2 Igualamos ambas expresiones: Resolvemos la ecuación: 4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: 5 Solución: Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 22

23 Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por reducción Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso. Restamos y resolvemos la ecuación: Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Solución: 2

24 EJERCICIOS 1. Representa las siguientes fracciones: 2. De las siguientes fracciones, indica cuáles son equivalentes. Razona tu respuesta: a) 5 6 y 10 6 b) 4 7 y c) 25 y d) 2 9 y 8 6. Realiza las siguientes operaciones con fracciones, simplificando siempre los resultados: (a ) (b) (c) (d ) (e) ( f ) (g ) (h) (i) 12 5 : 6 7 ( j) 4 :6 (k )( ) (l)( 1 6 :) Completa la tabla: 1 2 de 1 de 4 de 5 de

25 5. Realizar el cálculo de las siguientes operaciones con potencias: a) = b) (-4) 2 (-4) 4= c) (/5) (/5) 2 = d) 5 6 : 5 2 = e)(2/) 5 : (2/) = f) = g)(1/) (1/) = h)(-2) 7 (-5) = i)( 2 ) 5 = j)((-5) 2 ) 4 = 6. Hallar el valor de las siguientes operaciones con potencias: a) = i) (-5) (-5) 2 (-5)= b)(-5) 4 4 = j) (-8) 5 2 = c)15 4 : 5 4 = k) (8 4 : 8 ) (-5) 2 = d)(2 5 5 ) : 6 4 = l) (2/) : (2/) 2 = e)( ) : 5 8 = ll) (/5) 5 : (/5) 4 = f)(8 : 8) 9 2 = m) (7 2 ) 4 = g)(6 5 : 6 2 ) 5 = n) [(-4) 2 ] 5 = h) = ñ) [(1/2) ] 5 = 7. Calcula,si es posible, las siguientes raíces: (a ) (b) 1000 (c) Calcula, si es posible, las siguientes raíces: (a) (b) 4 (c) Calcula,si es posible, las siguientes raíces: (a) 24 5 (b) 216 (c)

26 10. Halla el resultado cuando sea posible: (a)x 2 + 2x 2 = (b)9x+ 12x= (c) 8x 4x= (d) x 8x= (e)6x 9x= ( f ) 5x 2 + 9x 2 = (g )5x+ 2x 2 (h)4x+ x 11. Calcula el resultado: (a)x 2x (b)2x 2 x (c)5x 4 4x 2 (d )2x 7 4 (e)8x x 5 ( f ) x 6 (g) 2 x 5x 2 (h) 4 x 2 5 x 4 (i)5x Calcula el resultado: (a )15x 5 :x 2 (b) 0x8 5x (c) 12x 4 x (d )12x :x 2 1. Dados los polinomios: P(x) = 4x 2 1 Q(x) = x x 2 + 6x 2 R(x) = 6x 2 + x + 1 S(x) = 1/2x T(x) = /2x U(x) = x Calcular: P(x) + Q (x) = 2P(x) U (x) = P(x) + R (x) = 2P(x) R (x) = S(x) + T(x) + U(x) = S(x) T(x) + U(x) = 26

27 14. Multiplicar: 1(x 4 2x 2 + 2) (x 2 2x + ) = 2 (x 2 5x) (2x + 4x 2 x + 2) = (2x 2 5x + 6) (x 4 5x 6x 2 + 4x ) = 15. Desarrolla: (x + 5) 2 = (2x 5) 2 = (x 2) 2 = 16. Desarrolla: (x 2) (x + 2) = (x + 5) (x 5) = (x 2) (x + 2) = (x 5) (x 5) = 27

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30 18 EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES 0