3. Muestra en un diagrama de Venn-Euler estas mismas operaciones.

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1 Unidad. I. Conjuntos Conceptos: Conjunto Conjunto por extensión y por comprensión Cardinalidad Conjunto universal Conjunto vacío Subconjunto Revisa como se efectúan cada una de las operaciones entre conjuntos, intenta explicarlas con tus propias palabras: Unión, Intersección, Complemento y Diferencia. Se recomienda que tengas muy claro el significado de todos y cada uno de los símbolos utilizados en teoría de conjuntos, algunos ejemplos son símbolos como Ø, ϵ,, {}, etc. Una vez que hayas realizado la revisión de los temas resuelve los siguientes ejercicios. 1. Sea A= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas 11 pertenece a A 16 no pertencece a A La cardinalidad de A es 9 {4, 2} es subconjunto de A 2. Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {Dígitos menores que 6} C = {5, 7} Encontrar: C c A B C A (A C) B (AᴗB)ᴖC A c ᴖC 3. Muestra en un diagrama de Venn-Euler estas mismas operaciones. 4. Resuelve los siguientes problemas usando diagramas de Venn- Euler: Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B. 138 personas consumían A pero no B

2 206 personas consumían A y B 44 personas no consumían ni A ni B Cuántas personas consumían A? Cuántas personas consumían B pero no A? 5. En una encuesta se les preguntó a 12 personas su preferencia por tomar té o café. Se encontró que 2 personas tomaban solamente té, 4 personas tomaban té y café, y una persona no tomaba ninguna de las dos bebidas. Cuántas personas tomaban solo café? 6. En una escuela de idiomas trabajan 67 personas, de las cuales, 47 hablan el idioma inglés, 35 el francés y 23 ambos idiomas. Cuántas personas que trabajan en dicho instituto no hablan ni el inglés ni el francés? Unidad II. Sistemas numéricos Revisa los procedimientos que se utilizan para convertir un número en cualquier base a sistema decimal y el proceso inverso, es decir, para convertir de sistema decimal a cualquier otra base. Y si se te pide convertir un número en una base cualquiera a otra base distinta de la decimal, Qué procedimiento debes seguir? Revísalo. Una vez que hayas revisado estos procesos en tus apuntes o realizando una búsqueda en la red o libros, resuelve los siguientes ejercicios: 1. Convierte los siguientes números a sistema decimal Realiza cada una de las conversiones que se piden a continuación: 45 a binario 130 a base a base a base 2 Unidad III. El campo de los números reales. Conceptos. Número real Número racional Número irracional Números primos Números imaginarios Números complejos

3 Revisa que implicaciones tienen las propiedades de las operaciones binarias con números reales como son: Para la suma Ley conmutativa Ley asociativa Elemento identidad Neutro aditivo Para la multiplicación Ley conmutativa Ley asociativa Ley distributiva sobre la suma y la resta Elemento identidad Neutro multiplicativo Es necesario que comprendas cuáles son las reglas de jerarquización que se utilizan para simplificar una expresión aritmética. Por ejemplo, Cómo resolverías (4 14) (-2) 7(2 8) + 3? Revisa muy bien las reglas que existen para sumar números con signo y cómo multiplicar y dividir números con signo. Revisa el concepto de valor absoluto Revisa atentamente cada una de las leyes de los exponentes Revisa los conceptos de mcm y MCD Cómo reduces una fracción? Qué son y cómo se obtienen los factores primos de un número? A continuación se plantean una serie de ejercicios que te ayudarán a aplicar lo que revisaste: 1. Resuelve sin calculadora cada una de las siguientes operaciones (después, si quieres puedes probar resolver con calculadora y comparar tus resultados). NOTA: Solo debes obtener como resultado números enteros, si obtuvieras decimales regresa y revisa *5-4 + (-10) 36 (-6) (- 5) (20 4) 8 2. Encuentra el mcm y el MCD de las siguientes tercias de números. 4, 16, 24 40, 60, 80

4 2, 4, 8 3. Reduce las siguientes fracciones usando el MCD Efectúa las siguientes operaciones con fracciones Encuentra el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones. Usa las leyes de exponentes que consideres adecuadas ( ) (5 3 ) 2 (-6) 2 (-6-3 ) Unidad IV. Operaciones con monomios y polinomios en una variable. Conceptos. Monomio Polinomio Grado de un polinomio Término

5 Factor Exponente Coeficiente Literal Términos semejantes Revisa nuevamente las leyes de los exponentes, ejemplos que hayas resuelto y tu formulario (si lo tienes). Estas leyes se utilizan continuamente cuando se realizan operaciones entre monomios y polinomios. Analiza los procesos para: Sumar monomios y polinomios Restar monomios y polinomios Multiplicar monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio Dividir monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio Elevar un monomio a cierta potencia, Qué hacer si en la expresión además de la multiplicación o división aparecen exponentes afectando alguno de los monomios o polinomios? Contesta las siguientes preguntas: Cuál es la ley del producto en leyes de exponentes? Describe que procedimiento usas para sumar polinomios Explica la diferencia entre restar x 2 + 3x 5 de 7x 2 2x + 9 y restar 7x 2 2x + 9 de x 2 + 3x 5 Cuál es el resultado en cada caso? Menciona al menos una ventaja y una desventaja de sumar o restar polinomios en forma vertical (en columnas) Explica por qué la regla del producto (leyes de exponentes) no se puede aplicar en la expresión x 2 + y 3 Qué se hace con los exponentes en , se restan, se suman o se multiplican? No olvides que las leyes de los signos para suma y las leyes de signos para multiplicación y división se utilizan con frecuencia en las operaciones con monomios y polinomios y debes tenerlas comprendidas cuando resuelvas algún ejercicio. A continuación se enlistan una serie de ejercicios que implican diferentes tipos de operación. NO se te indica que tipo de operación es en cada caso de manera que tu ejercites el reconocimiento de las mismas que como recordarás es una cuestión de leer con atención e interpretación de símbolos (por ejemplo el paréntesis es común para indicar multiplicación pero también se puede usar para dividir en secciones una expresión que contiene cantidades negativas).

6 1. Sumar 2a + 3b con 6b 4c y -a + 8c 2. Sumar 8a + 3b c con 5a b c y el resultado restárselo a 7a b + 4c 3. De 3x + 13y 11 restar -2x + 12y Restar 3a b de 8a 6b 5. Elimina los símbolos de agrupación y reduce términos semejantes en b 2{ a + [b + 2(a 1) 3(2b 3)]} 6. Elimina los símbolos de agrupación y reduce términos semejantes en 4x + x (2x 3) [5 2(1 x )] 7. Multiplica 3xy 3 (-5x 2 y)(-4yz) 8. Multiplica (3x 2 y) 2 (2xy 3 ) 3 9. Multiplica -3ab(2a 2 + 3b 2 1) 10. Multiplica (x + 3)(x 3) 11. Multiplica (a 3)(a + 1) 12. Multiplica (x + 3)(x 3 3x 2 + 1) 13. Multiplica (x + 2)(x - 2)(x + 1) 14. Divide para encontrar la expresión mínima de a 7 ( a) Divide para encontrar la expresión mínima de 20 a4 b 3 z Divide (4x 8 10x 6 5x 4 ) 2x 3 4 a 3 b 9 z Divide (6x 3 17x ) (3x 4) 18. Divide (19x 2 10x 3 + x 5 14x + 6) (x 2 2x + 1) 19. Divide (2x 3 4x 2) (2x + 2) Unidad V. Productos notables y factorización. Conceptos Producto notable Factorizar Máximo factor común (MFC) Contesta lo siguiente Puede el MFC ser solo un coeficiente? Puede el MFC ser solo el número 1? Cuándo? Nombra el siguiente producto notable (a + b) 2 Nombra el siguiente producto notable (a + b)(a b)

7 Al factorizar una expresión como x 2 4, se obtiene un producto de: Al factorizar una expresión como a 3 + b 3, se obtiene un producto de la forma: Un polinomio de la forma a 2 + 2ab + b 2 recibe el nombre de: Cómo identificas una diferencia de cubos? Explica el procedimiento para factorizar un trinomio de la forma ax 2 ± bx ± c Explica el procedimiento para factorizar un trinomio de la forma x 2 ± bx ± c Lo anterior debe servirte como punto de partida para resolver los siguientes ejercicios, ya que la intención de las preguntas es que ubiques cuantos productos notables se ven en el curso y como se factoriza una expresión algebraica cualquiera tanto si es un producto notable como si no. 1. Efectúa los siguientes productos notables empleando la fórmula adecuada. (x + 2) 3 (a 1) 2 (x 12)(x + 8) (x + 20)(x 6) (3x + 2)(5x 1) (y 2 2)(y 2 + 2) (abc + 3)(abc 3) (a + 4) 2 (2a 3)(4a 2 + 6a + 9) 2. Factoriza cada una de las siguientes expresiones 28a 2 b + 21a 2 b 2 x x x a 2 bx 15a 2 by 8x 2 22x x x 2 + 4x 77 x 2 9x x 2 144y 2 x x x + 10 x 2-36 x 2 + 4x 21 5a + ab 2 + 5m + mb 2 xm xn + my ny

8 Unidad VI. Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Conceptos Fracción algebraica Numerador Denominador Revisa cuales son los procedimientos para: Sumar o restar fracciones algebraicas con el mismo denominador Sumar o restar fracciones algebraicas con diferente denominador Multiplicar fracciones algebraicas Dividir fracciones algebraicas Concepto de radical Como se expresa un radical en notación de exponentes Revisa el proceso que debe seguirse para reducir un radical, Cuál es el papel de los factores primos en estos casos? Revisa los procesos de suma de expresiones radicales, multiplicación de expresiones radicales y división de expresiones radicales. Una vez que hayas revisado estos procedimientos resuelve los siguientes ejercicios: Ejercicios 1. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas x 3 4 y 2 x2 9 2xy = x 2 10x + 24 x 2 8x + 12 x2 7x + 12 x 2 6x + 8 = a 2 + 5a + 6 a 2 + 9a + 18 a2 + 4a 12 a 2 5a + 6 = x 2 11x + 30 x 2 7x 15 x2 2x 24 x 2 x 20 =

9 4x 2 9 9x 2 1 3x2 2x 1 2x 2 5x + 3 = 2. Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas 4x + 3 3x 2 7x + 2 x 3 x 2 + 5x + 6 = 3x + 6 x 2 + x 20 x x 2 6x + 8 = 5x 1 x 2 + 2x 3 2x + 2 x 2 + 5x + 6 = 4x x x x + 2 = 7x x 2 x x 2 9 = 3. Simplifica cada una de los siguientes radicales 340 = 500 = 4 625= = 3 343a 6 = 4. Efectúa las operaciones entre radicales. 3 2x 8x = = y + 3 y 5 y = =

10 = 20x 3 y 6x 3 y 5 = 25a 25a 7 = 24x 3 y 4 24x 2 y 12 = 120x 2 yz 2 9x 2 y 2 = 50a 3 b 6 10a 3 b 8 = = 5. Convierte cada exponente fraccionario a radical y simplifica las expresiones = = (27a 3 b 6 ) 1 3 = (25a 3 y 4 ) 3 2 = = = =

11 Unidad VII. Ecuaciones y desigualdades Conceptos Ecuación Inecuación (desigualdad) Igualdad Intervalo Intervalo abierto Intervalo cerrado Ecuación lineal Desigualdad lineal Ecuación de segundo grado Desigualdad de segundo grado Revisa las propiedades de la igualdad y las técnicas de despeje que has aprendido. Recuerda que resolver una ecuación lineal se refiere a despejar la variable también llamada incógnita. Es necesario que revises como se procede, en algunos casos bastará con agrupar términos y despejar, en otros tendrás que eliminar símbolos de agrupación (paréntesis) y después agrupar y finalmente despejar, en otros más tendrás coeficientes fraccionarios o decimales. Revisa la forma en que se expresa la solución de una desigualdad lineal, en estos casos la solución no es única, es un intervalo que se puede representar en una recta numérica. Las ecuaciones cuadráticas se resuelven mediante tres métodos: factorización, fórmula general y completando el trinomio cuadrado perfecto. Recuerda que la forma general de esta ecuación es ax 2 ± bx ± c = 0 Una vez que hayas revisado los temas, resuelve los siguientes ejercicios: 1. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) 2t + 9 = 21 b) 5(3x + 3) = 2(5x 4) + 6x c) (x + 4) + 5 = 4x + 1 5x d) 1 2 (2d + 4) = 1 3 (4d 4) e) f) 3(2r 5) 2 5 = 3r 6 4 (5x + 4) = 1 (3x 4)

12 a 5 g) = 3a + a Encuentra el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones lineales. Muestra la solución en una recta numérica y como intervalo. h) 2x 5 x + 3 i) 4 (x + 1) 3x + 7 j) 10 3x 7 6x k) 0.5 (x + 0.2) 0.3 (x + 0.3) l) x 2x 2 7 m) 7x x n) x 6 x 4 < x Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado por a) factorización, b) fórmula general y c) completando el TCP. x 2 + x 6 = 0 y 2 + 2y 8 = 0 2y 2 8y 64 = 0 4. Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas. x 2 + 8x + 12 > 0 x 2 6x 16 < 0 Unidad VIII. Sistemas de ecuaciones y desigualdades Conceptos. Sistema de ecuaciones Sistema cuadrado Determinante Revisa los procedimientos a seguir para resolver sistemas de 2X2 y de 3X3. Recuerda que en el caso de los sistemas de 2X2 tienes hasta 5 formas o métodos distintos de resolver y que puedes enfocar tu atención en uno o dos (los que te parezcan más sencillos). Los métodos son eliminación (suma o resta), sustitución, igualación, determinantes y método gráfico. En el caso de los sistemas de 3X3 se sugirió que se usara el método por determinantes (regla de Cramer) debido a su facilidad. Revisa como se efectúa este proceso. Recuerda que este tipo de sistemas nos sirven para resolver problemas de aplicación. En estos casos no se dan las ecuaciones sino se te da una descripción de una situación y en base a ello tú

13 escribes las ecuaciones que lo representan. Una vez que tengas escritas las ecuaciones puedes elegir el método que quieras para resolver el sistema. Una vez que hayas revisado los temas resuelve los siguientes ejercicios, en los sistemas de 2X2 puedes usar el método que quieras y en los de 3X3 utiliza determinantes. 1. x + y = 23 9x 8y = x y = 6 x 2y = x 4y 5z = 12 4x 2y 3z = 8 5x + 3y 4z = x + y + z = 0 x + 2y z = 6 x + 5y + 2z = 0 5. El largo de un rectángulo dado mide 2 m más que su ancho. Si el área es de 120 m 2, determine sus dimensiones. 6. Hallar dos números tales que el menor sea 3 del mayor y la suma de ambos sea Hallar el área de un rectángulo cuyo largo mide el triple de su ancho y su perímetro es 160 m. 8. La familia Muñoz tuvo una reunión familiar. Compraron boletos para visitar el parque de diversiones Six Flags en Texas. Los boletos de adulto cuestan 40 dólares y los de los niños 30 dólares. Si se compraron 27 boletos y el costo total fue de 930 dólares, Cuántos boletos de adulto y cuantos de niño se compraron? 9. En un juego de salón se vendieron boletos. El precio de los boletos en la sección numerada fue de $40 pesos y en la general fue de $15 pesos; si el ingreso total obtenido fue de $ peso, determine cuantos boletos se vendieron en la sección numerada y cuántos en general.

14 10. Donaldo tiene 26 pesos en su bolsillo. Si tiene solamente monedas de 1 peso y de 5 pesos y, tiene un total de 10 monedas, cuántas monedas de cada denominación tiene? 11. En un puente de peaje solo se permite el paso a vehículos de dos ejes. El peaje para motocicletas es de 50 centavos y para automóviles es de 1 peso. Un día, el encargado de la caseta de cobro recolectó un total de 150 pesos y el contador de vehículos registró 170 vehículos que cruzaron el puente. Cuántas motocicletas y cuántos automóviles cruzaron el puente ese día? 12. Un granjero que planta maíz y trigo en su granja de 100 acres, cerca de Celaya, Guanajuato. El granjero estima que su ingreso, después de deducir los gastos, es de 450 dólares por acre de maíz y 430 dólares por acre de trigo. Determina el número de acres de maíz y de trigo sembrados si su ingreso total, después de gastos es de 44,400 dólares.