Listo para seguir? Intervención de destrezas

Transcripción

1 7A Evaluar expresiones con exponentes cero y negativo Exponente cero: todo número distinto de cero elevado a la potencia cero es Exponente negativo: un número distinto de cero elevado a un exponente negativo es igual a uno dividido entre ese número elevado al opuesto del exponente. Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-1 Exponentes enteros Evalúa cada expresión para el o los valores dados de cada variable. A. a 3 b para a y b Sustituye a por y b por Usa la definición x n 1 y simplifica. x n 1 9 Escribe la potencia del denominador como producto Evalúa la potencia del denominador. B. x 0 y 3 para x 7 e y (5) 3 Sustituye x por 7 e y por (5 ) Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1 y x n 1. x n Evalúa la potencia. Simplificar expresiones con exponentes cero y negativo A. 9 a 7 9 a 7 9 a a 9 7 a B. x 6 y 4 x 6 y 4 x y x y 4 y 1 x Holt Álgebra 1

2 7A Listo para seguir? Intervención de destrezas 7- Potencias de 10 y notación científica Busca esta palabra de vocabulario en la Lección 7- y el Glosario multilingüe. Exponente entero positivo: Si n es un entero positivo, halla el valor de 10 n comenzando con 1 y moviendo el punto decimal n posiciones hacia la derecha. Exponente entero negativo: Si n es un entero negativo, halla el valor de 10 n comenzando con 1 y moviendo el punto decimal n posiciones hacia la izquierda. Vocabulario notación científica Evaluar potencias de 10 Halla el valor de El exponente es positivo o negativo? positivo Comienza con 1 y mueve el punto decimal 7 posiciones hacia la derecha Entonces, ,000,000. Escribir potencias de 10 Escribe cada número como una potencia de 10. A El punto decimal se encuentra 5 posiciones a la izquierda de 1, B. 10,000,000,000 por lo tanto, el exponente debe ser positivo o negativo? negativo El punto decimal se encuentra 10 posiciones a la derecha de 1; por lo tanto, el exponente debe ser positivo o negativo? 10,000,000, positivo Multiplicar potencias de 10 Halla el valor de Mueve el punto decimal 6 posiciones hacia la derecha ,300, Holt Álgebra 1

3 7A Hallar los productos de potencias Propiedad del producto de potencias: el producto de dos potencias con la misma base es igual a esa base elevada a la suma de los exponentes. Por ejemplo A. 7 3 Cuál es la base de cada expresión? Suma los exponentes. B. a 4 a 3 a Las bases son iguales? Sí Entonces, suma los exponentes. a 43 a 3 Hallar potencias de productos Propiedad de la potencia de una potencia: una potencia elevada a otra potencia es igual a esa base elevada al producto de los exponentes. Por ejemplo ( 4 3 ) Propiedad de la potencia de un producto: un producto elevado a una potencia es igual al producto de cada factor elevado a esa potencia. Por ejemplo ( y 3 ) 4 ( ) 4 ( y 3 ) 4 8 y 1. A. ( x 3 ) 4 Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-3 Propiedades de los exponentes en la multiplicación () 4 ( x 3 ) 4 Usa la propiedad de la potencia de un producto. 16 x 34 Cuando elevas una potencia a otra potencia, multiplicas los exponentes. 16 x 1 B. ( 5a 3 ) ( 5 ) ( a 3 ) Usa la propiedad de la potencia de un producto. 5 ( a 3 ) 5 a 6 C. ( ab ) 3 ( a 4 b ) a 3 b 3 a 4 b a 3 b 6 a 8 b 4 a 38 b 64 a 11 b 10 Usa la propiedad de la potencia de un producto. Usa la propiedad del producto de potencias. 118 Holt Álgebra 1

4 7A Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 7-3 Propiedades de los exponentes en la multiplicación Un número escrito en notación científica tiene dos partes que se multiplican. La primera parte es un número mayor que o igual a 1 y menor que 10. La segunda parte es una potencia de 10. La luz viaja a una velocidad de metros por segundo. Si la luz viaja durante 4.5 segundos, qué distancia recorre? Escribe tu respuesta en notación científica y en forma estándar. Comprende el problema 1. Qué número o números se dan en notación científica? m/s. Qué número o números se dan en forma estándar? 4.5 segundos 3. Qué se te pide que halles? la distancia que recorre la luz en 4.5 segundos Haz un plan 4. Qué operación debe usarse para resolver el problema? multiplicación 5. Escribe la expresión de multiplicación 4.5 ( ). Resuelve 6. Cuál es el producto de la expresión? (4.5)(3.0) Qué unidades debe tener tu respuesta? metros 8. La respuesta está escrita en notación científica? No a. Cuántas posiciones hay que mover el punto decimal? 1 b. En qué dirección hay que mover el punto decimal? izquierda c. Escribe la respuesta en notación científica Escribe la respuesta en forma estándar. a. Cuántas posiciones hay que mover el punto decimal? 9 b. En qué dirección hay que mover el punto decimal? derecha c. Escribe la respuesta en forma estándar. 1,350,000,000 metros Repasa 10. Estima tu respuesta para ver si es correcta. A qué número se redondea 4.5? 5 Cuánto es (5 3) 1 0 8? Tu estimación se aproxima a tus respuestas numéricas de los Ejercicios 8c y 9c? Sí 119 Holt Álgebra 1

5 7A Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-4 Propiedades de los exponentes en la división Hallar cocientes de potencias Propiedad del cociente de potencias: el cociente de dos potencias distintas de cero con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. Por ejemplo: Simplifica 3 a 7 y 10 a y. 8 Para hallar el cociente de dos potencias, resta los exponentes. 3 a 7 y 10 a y 8 3 a 7 y a 5 y Dividir números en notación científica Simplifica ( ) ( ) y escribe la respuesta en notación científica. ( ) ( ) Vuelve a escribir como cociente. Escribe como producto de cocientes Simplifica cada cociente y simplifica el exponente. Escribe 0.5 en notación científica. Suma los exponentes. Hallar potencias positivas de cocientes Propiedad de la potencia positiva de un cociente: un cociente elevado a una potencia positiva es igual al cociente de cada base elevada a esa potencia. Simplifica 3 a 4 6a b. 3 a 4 6 a b (3 a 4 ) (6 a b ) (3) ( a 4 ) (6) ( a ) ( b ) Usa la propiedad de la potencia de un cociente. Usa la propiedad de la potencia de un producto. 9 a 4 36 ( a )( b ) Simplifica y usa la propiedad de la potencia de una potencia. 9 a 8 4 4b 4 36 ( a 4 )( b 4 ) a 10 Holt Álgebra 1

6 7A Listo para seguir? Prueba 7-1 Exponentes enteros Evalúa cada expresión para el o los valores dados de cada variable. 1. a 4 para a 3. w 6 para w 5 3. w y para w 5 y y , a 0 para a 1 5. (6 w) 8 para w 7 6. a 0 b 3 para a 5 y b w 4 8. y 7 w 9. 3 x y w 6 3 b 4 6 w 4 w 3 y 7 3 b 4 x w La notación de ingeniería puede escribirse en términos de una unidad de base, con una potencia de 10 que es múltiplo de 3. En la tabla se muestran algunas de estas equivalencias. Simplifica cada expresión. Giga 1,000,000,000 Kilo 1000 Mili Micro Mega 1,000,000 Nano Prefijos de ingeniería seleccionados Giga Mega Kilo Mili Micro Nano Potencias de 10 y notación científica 1. Halla el valor de Escribe como una potencia de , Escribe 1,000,000,000,000 como una potencia de Halla el valor de ,570, La longitud de onda de la luz roja es m. Escribe esta longitud en notación científica m 11 Holt Álgebra 1

7 7A Listo para seguir? Prueba, (continuación) 7-3 Propiedades de los exponentes en la multiplicación a 6 a 7 0. w 7 w 9 w ó 5 a 13 1 w 4 1. La estrella más cercana a la Tierra es Próxima Centauri, que se encuentra a 4.3 años luz (un año luz equivale a millas). A qué distancia, en millas, está Próxima Centauri de la Tierra? Escribe tu respuesta en notación científica y en forma estándar millas; 5,84,000,000,000 millas. ( x 5 ) 3 3. ( a 5 b 3 ) 4 4. ( 6w 6 ) 5. (ab) ( a 3 b 4 ) 3 8x 15 a 0 b 1 36 w 1 a 11 b Propiedades de los exponentes en la división x 7 7 5x 8. a 9 b 10 3 a 11 b x 3 y 5 x 3 y 49 3 x 3 b 7 a 8 y 4 w y w w y a b 5 ab 6 b a Simplifica cada cociente y escribe las respuestas en notación científica. 34. ( ) ( ) 35. ( ) ( ) 36. ( 10 5 ) ( ) Holt Álgebra 1

8 7A Listo para seguir? Enriquecimiento Dígitos Escribe una expresión equivalente a los números del 1 al 0 usando los dígitos 1,, 3 y 4 y suma, resta, multiplicación, división, paréntesis y exponentes. En cada expresión debes usar los cuatro dígitos. Puedes usar cualquiera de las operaciones, pero cada símbolo sólo puede usarse una vez en cada expresión. A continuación encontrarás un ejemplo. Puede haber más de una expresión correcta para un número dado. Se dan ejemplos de respuestas. 1 3 (4 1) (3 ) (4 ) (4 ) (3 1) 9 (4 1 ) (4 1) 1 3 (4 1) 13 4 (3 1) 14 (4 3) 1 15 (4 1) 3 16 (3 1) 4 17 (4 ) (3 1) 19 4 (3 1) 0 (3 ) Holt Álgebra 1

9 7B Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-5 Polinomios Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 7-5 y el Glosario multilingüe. Vocabulario monomio grado de un monomio polinomio grado de un polinomio forma estándar de un polinomio coeficiente principal cuadrático cúbico binomio trinomio Escribir polinomios en forma estándar Escribe cada polinomio en forma estándar e indica el coeficiente principal. A. a 5 6 a 3 Identifica el grado de cada término: \\\ a 5 6 a El orden descendente es de menor a mayor o de mayor a menor? de mayor a menor Ordena en orden descendente: 6 a 3 a 5 Cuál es el coeficiente principal? 6 B. 4 a 1 a 6 7 a 3 \ \ \ \ Identifica el grado de cada término: 4 a 1 a 6 7 a 3 0 Ordena en orden descendente: a 6 7 a 3 4 a 1 Cuál es el coeficiente principal? Clasificar polinomios Clasifica cada polinomio según su grado y cantidad de términos. A. 6 x 3 3 x 5 Grado: 3 Términos: 3 Cuál es el nombre para una expresión con un grado 3? cúbica Cuál es el nombre para una expresión que tiene 3 términos? trinomio 6 x 3 3 x 5 es un trinomio cúbico. B. 8 5 y y 6 y 4 Grado: 4 Términos: y y 6 y 4 es un polinomio cuártico. Grado Nombre 0 Constante 1 Lineal Cuadrático 3 Cúbico 4 Cuártico Términos Nombre 1 Monomio Binomio 3 Trinomio 4 o más Polinomio 14 Holt Álgebra 1

10 7B Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-6 Cómo sumar y restar polinomios Sumar polinomios Suma. A. (4 x 3 3x) (5 x 3 4x 7) Qué términos son semejantes? 4 x 3 y 5 x 3 ; 3x y 4x (4 x 3 5 x 3 ) (3x 4x ) (7) Agrupa los términos semejantes. 9 x 3 x 7 Combina los términos semejantes. B. (8 y 7 4 y 3 ) ( y 5 3) Qué términos son semejantes? ninguno Ordena los términos en orden descendente. 8 y 7 y 5 4 y 3 3 Restar polinomios Resta. Recuerda que restar polinomios es equivalente a sumar el opuesto. A. (8 y 3 6 y ) (3 y y) Identifica los términos semejantes: 6 y y 3 y Vuelve a escribir la resta como suma del opuesto: (8 y 3 6 y ) (3 y y ) Vuelve a ordenar los términos de manera tal que los términos semejantes estén juntos. 8 y 3 ( 6 y 3 y ) y Combina los términos semejantes. 8 y 3 3 y y B. ( w 4) (3 w 3 7w) Hay términos semejantes? No Vuelve a escribir la resta como suma del opuesto. ( w 4) ( 3 w 3 7w) w Combina los términos semejantes y ordénalos en orden descendente. 3 w 3 7w 4 C. (8 n 3 3n) ( n 3 7) (8 n 3 3n) ( n 3 7 ) Vuelve a escribir la resta como suma del opuesto. Usa el método vertical y alinea los términos semejantes. Usa 0 para los marcadores de posición. 8 n 3 0 n 3n 0 n 3 0 n 0n 7 6 n 3 3n 7 Suma. 15 Holt Álgebra 1

11 7B Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-7 Cómo multiplicar polinomios Multiplicar monomios Multiplica ( a 3 b 4 )(7 a b 3 ). 3 7( a 3 a )( b 4 b ) Vuelve a ordenar los términos de manera que las bases semejantes estén juntas. 7 a 5 b 7 Debes sumar o restar exponentes? sumar Multiplicar un polinomio por un monomio Multiplica 3xy (7 x 4 x y). 3xy(7 x 4 x y) 3xy( 7 x ) 3xy (4 x y) (3 7)(x x 1 x 3 y 1 x 3 y )y (3 4 )(x x Distribuye 3xy. )(y y ) Agrupa las bases semejantes. Multiplica. Multiplicar binomios Multiplica (4 x 3y)( x y). Qué significa FOIL? multiplicar los primeros términos, los términos externos, los términos internos y los últimos términos 4 x ( x ) 4 x (y) 3y ( x ) 3y (y) Usa el método FOIL. 8 x 4 4 x y 6 x y 3 y Multiplica. 8 x 4 10 x y 3 y Combina los términos semejantes. Multiplicar polinomios Multiplica ( a a)(7 a 5a 3). Para multiplicar polinomios con más de dos términos puedes usar la propiedad distributiva varias veces o multiplicar de manera vertical. ( a a)(7 a 5a 3) Usa la propiedad distributiva. a (7 a 5a 3) a ( 7 a 5a 3 ) a (7 a ) a (5a) a (3) a (7 a ) a (5a) a (3) Vuelve a distribuir. 7 a 4 5 a 3 3 a 14 a 3 10 a 6a Multiplica. 7 a 4 9 a 3 13 a 6a Combina los términos semejantes. 16 Holt Álgebra 1

12 7B Listo para seguir? Intervención de destrezas 7-8 Productos especiales de los binomios Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 7-8 y el Glosario multilingüe. Vocabulario trinomio cuadrado perfecto diferencia de dos cuadrados Hallar productos expresados como (a b ) A. Multiplica (x 9 ). Cuál es la regla para (a b )? a ab b Sea a x y b 9. (x 9 ) (x) ( x )(9) ( 9 ) x 18 x 81 B. Multiplica (3x 5y ). Sea a 3x y b 5y. (3x 5y ) (3x) ( 3x )(5y) ( 5y ) 9 x 30 xy 5 y Hallar productos expresados como (a b ) A. Multiplica (x 5 ). Cuál es la regla para (a b )? a ab b Sea a x y b 5. (x 5 ) (x) ( x )(5) ( 5 ) x 10 x 5 B. Multiplica (4x 3 ). Sea a 4x y b 3. (4x 3 ) (4x) ( 4x )( 3 ) ( 3 ) 16 x 4 x 9 Hallar productos expresados como (a b)(a b) A. Multiplica (x 8)(x 8). Cuál es la regla para la diferencia de dos cuadrados (a b)(a b)? a b Sea a x y b 8. (x 8)(x 8) (x) 8 x 64 B. Multiplica (3x 4)(3x 4). Sea a 3x y b 4. (3x 4)(3x 4) ( 3x ) (4 ) 9 x Holt Álgebra 1

13 7B Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 7-8 Productos especiales de los binomios Un estanque circular tiene un radio de (x 1) pies. Escribe un polinomio que represente el área del estanque. La fórmula para el área de un círculo es A r, donde r representa el radio del círculo. Deja el símbolo en tu respuesta. Comprende el problema 1. Qué se te pide que halles? el área del estanque. Qué información se te da en relación con el estanque? El radio es (x 1) pies. 3. Cómo hallas el área de un círculo? A r Haz un plan 4. Escribe una expresión que represente el área del estanque. (x 1 ) 5. Cuáles son dos maneras posibles de simplificar (x 1 )? usar la propiedad distributiva más de una vez, FOIL o un trinomio cuadrado perfecto Resuelve 6. Cuánto es (x 1 )? x 4x Escribe una expresión que represente el área del estanque. x 4x 144 Repasa 8. Sea x 0. Cuál sería la longitud del radio (x 1)? 8 9. A qué sería igual el área del estanque usando A r? A 8 A Cuál es el valor de la expresión del Ejercicio 7, usando x 0? A x 4x 144 (0 ) 4( 0 ) Tus respuestas a los Ejercicios 9 y 10 son las mismas? Sí 18 Holt Álgebra 1

14 7B Listo para seguir? Prueba 7-5 Polinomios Escribe cada polinomio en forma estándar e indica el coeficiente principal x 4 x 5 r. y y 4y 3. 8 w 4 3w w 5 4 x 5 7 x r ; 4 y 3 8 y 4y 3; 1 w 5 8 w 4 3w; y 5 y x 4 6. a 9 a 8 a 5 y y 3; 5 4 x 4 9; 4 a 8 a a 9; 1 Clasifica cada polinomio según su grado y cantidad de términos a 4a a 4 3 a x 8 3x 9. 3 x 3 5 x 1 polinomio cuártico trinomio cuadrático trinomio cúbico b 4 b 5 b w 1. 3 a 4 6 a 8 a 9 polinomio cuártico monomio cuadrático polinomio de grado La función P(x) x 3 3 x 1 da la ganancia que se obtiene de un producto. Cuál es la ganancia que se obtiene de 800 unidades? $510,080, Cómo sumar y restar polinomios Suma o resta. 14. (1 x 4 5 x 3 ) (6 x 3 7x) 15. (4 x 3) (10 x 5x 7) 1 x 4 11 x 3 7x 14 x 5x (13 d 6 4 d ) (3 d 4 ) 17. (7 y 3 5 y ) (3 y 4y) 13 d 6 3 d 4 4 d 7 y 3 y 4y 18. (8 w 4w) (6 w 6w) 19. ( a 11) (6 a 3 3a) w 10w 6 a 3 a 3a Las medidas de los lados de un triángulo se muestran como polinomios. Escribe un polinomio simplificado para representar el perímetro del triángulo. 4 x 3 4 x 6x 8 4x + 5 4x x 19 Holt Álgebra 1

15 7B Listo para seguir? Prueba, (continuación) 7-7 Cómo multiplicar polinomios Multiplica h 3 6 h 6. ( x 9 y 5 )(7 x y 4 ) 3. 3mn(6 m 4 m 3 n) 4 h 9 7 x 11 y 9 18 m 3 n 1 m 4 n 4. (4w 3 ) 5. (3 x 3 y)(5x y) 6. ( a 4)(3 a 4a 7) 16 w 4w 9 15 x 4 3 x 3 y 10xy y 3 a 4 4 a 3 5 a 16a 8 7. Escribe la expresión simplificada de un polinomio para el área de un rectángulo cuya longitud es x 8 unidades y cuyo ancho es x 5 unidades. (x 3x 40) unidades cuadradas 7-8 Productos especiales de los binomios Multiplica. 8. (x 8 ) 9. (x 3 ) x 16x 64 4 x 1x (3x 7y ) 31. (a 5 ) 9x 4xy 49 y a 10a 5 3. (x y ) 33. (4x 3 ) x xy y 16 x 4x (x 3)(x 3) 35. (6x 7)(6x 7) x 9 36 x Una piscina tiene un radio de x 4 pulgadas. Escribe un polinomio que represente el área de la piscina. (La fórmula para el área de un círculo es A r, donde r representa el radio de un círculo). Deja el símbolo en tu respuesta. ( x 8x 16) pulg 130 Holt Álgebra 1

16 7B Listo para seguir? Enriquecimiento El triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es una disposición geométrica de números. Estos números representan los coeficientes binomiales. Es decir, representan los coeficientes de los términos de la expansión de (x y ) n. Las primeras siete hileras del triángulo de Pascal se ven de la siguiente manera: Hilera 0 1 Hilera Hilera 1 1 Hilera Hilera Hilera Hilera Observa que cada número es la suma de los dos números que están arriba. Por ejemplo, qué dos números se sumaron para obtener 10 en la 5 ta hilera? 4 y 6 Cuáles son los números de la 7 ma hilera? 1, 7, 1, 35, 35, 1, 7, 1 A modo de ejemplo, halla (x y ) 3. Observa la hilera 3; cuáles son los coeficientes de la expansión? 1, 3, 3, 1 El primer término de la expansión comienza con la máxima potencia de x, a saber, x 3, y la mínima potencia de y, a saber, y 0 1. La potencia de x disminuye 1 en cada término sucesivo y la potencia de y aumenta 1 en cada término sucesivo. (x y ) 3 \\\ 1 x 3 y 0 3 x y 1 3 x 1 y \ 1 x 0 y 3 x 3 3 x y 3x y y 3 Expande cada uno de los siguientes polinomios. 1. (x y ) 4. (x 1 ) 5 x 4 4 x 3 y 6 x y 4xy 3 y 4 x 5 5 x 4 10 x 3 10 x 5x 1 3. (x 3 ) 4 4. (x ) 3 x 4 1 x 3 54 x 108x 81 x 3 6 x 1x 8 5. (x 1 ) 9 6. (x y ) 5 x 9 9 x 8 36 x 7 84 x 6 16 x 5 x 5 10 x 4 y 40 x 3 y 3 80 x y 3 16 x 4 84 x 3 36 x 9x 1 80xy 4 3 y Holt Álgebra 1