CLASE 1 LENGUAJE ALGEBRAICO

Transcripción

1 Unidad de álgebra

2 CLASE 1 LENGUAJE ALGEBRAICO

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4 COMPLETE LA TABLA Y DEFINA CON QUÉ EXPRESIÓN PODEMOS REPRESENTAR LA SIGUIENTE SECUENCIA: Número triángulos Cantidad fósforos

5 COMPLETE LA TABLA Y DEFINA CON QUÉ EXPRESIÓN PODEMOS REPRESENTAR LA SIGUIENTE SECUENCIA: Número cuadrados Cantidad fósforos

6 Tema: Lenguaje Algebraico Lenguaje Algebraico: Conjunto de letras, números y signos que permiten generalizar distintas expresiones, tanto de la vida cotidiana como de otros ámbitos. Ejemplos: Español El triple de la edad de Juan Un número aumentado en 7 La mitad de un número Un número cualquiera El doble de un número Un número menos dos Un número más otro distinto Algebraico 3x x + 7 x / 2 X 2 x x- 2 x+ y

7 Tema: Lenguaje Algebraico Ejercicio: Representa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados. Lenguaje Natural El triple de a El sucesor de un número Dos números consecutivos Un tercio de y El cuadrado de a El cubo de p El doble de a aumentado en uno El cuádruplo de la diferencia de un número y su triple Lenguaje Algebraico 2 a a +1 n ; n+1 y / 3 a 2 p 3 2a (x -3x)

8 Tema: Lenguaje Algebraico TRABAJO EN CLASES: Pág. 134 a la 137

9 CLASE 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

10 Recordando la clase anterior Número figura Cantidad triángulos - Qué expresión algebraica nos ayuda a encontrar la cantidad de triángulos que tendrá cada figura? - Cuántos triángulos tendrá la figura 5? - Y la figura 17?

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12 Tema: Expresiones Algebraicas Expresión Algebraica: Está formada por letras y números, con operaciones que las relacionan. A su vez, cada expresión está formada por uno o más términos algebraicos, que se reconocen por estar separados por sumas y restas Ejemplo: Expresión algebraica 4xy + 5z Término algebraico 1 Término algebraico 2

13 Tema: Expresiones Algebraicas Clasificación de Expresiones Algebraicas: Las expresiones algebraicas pueden clasificarse según el número de términos algebraicos que contenga dicha expresión. 1) Monomio: Expresión que contiene UN solo término. Ejemplo: 2x 2) Binomio: Expresión que contiene DOS términos. Ejemplo: 2x + y 3) Trinomio: Expresión que contiene TRES términos. Ejemplo: 2x + y 3xy 4) Polinomio: Expresión que contiene CUATRO O MÁS términos. Ejemplo: 2x + y 3xy + z

14 Tema: Expresiones Algebraicas Ejercicio: Clasifica las siguientes expresiones algebraicas según su número de términos. Expresión Algebraica a. 3x + 7 b. 3xyz 2 c. 4 + x + b 2 d. 2x 2 + b + cd + 34 Clasificación Binomio Monomio Trinomio Polinomio Monomio f. x Monomio g. abc + 34x Binomio

15 Tema: Términos Algebraico Partes de un Término Algebraico: 1. Coeficiente numérico: Número del término 2. Factor literal: Letra o símbolo del término Ejemplo: 4 x 2 Término algebraico Coeficiente numérico Factor literal

16 Tema: Términos Algebraico Ejemplo: -8 xy 2 Término algebraico Coeficiente numérico Factor literal Ejemplo: -1 pq 3 4 Término algebraico Coeficiente numérico Factor literal

17 Tema: Términos Algebraico Ejercicio: Determina el coeficiente numérico y el factor literal de los siguientes términos algebraicos. Lenguaje Algebraico Factor numérico Factor literal a. 4x b. -3ab c. 2x 2 d. 5b/ /3 x ab x 2 b

18 Tema: Términos Algebraico Lenguaje Algebraico Factor numérico Factor literal a. 5a 3 b 5 a 3 b b. 0,7x 2 0,7 x 2 1/9 a 7 b 3 d. 10z 3 10 z 3

19 CLASE 3 TÉRMINOS SEMEJANTES

20 Tema: Términos Semejantes Términos Semejantes: Son aquellos términos algebraicos que tienen el mismo factor literal (letra o símbolo). 4x + 12 z 3x 2x + 5 3x + 4 5x + 7 z 3x

21 Tema: Términos Semejantes 4x + 6 3x = x = y 4x + 6y 3x

22 Tema: Términos Semejantes Ejemplo: 4x + 0,5z 3x mismo factor literal (x) son términos semejantes Ejemplo: 3xy 6ab 2yx + 4z mismo factor literal (xy) son términos semejantes

23 Tema: Términos Semejantes Ejemplo: 4ab + 0,5c 3ba mismo factor literal (x) son términos semejantes Ejemplo: 3mn² 6m 2m²n + 4m mismo factor literal (xy) son términos semejantes

24 Tema: Reducción de Términos Semejantes Reducción términos semejantes: Consiste en sumar o restar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que tienen en común. 4x + 6,5z 3x reducción 1x + 6,5z

25 Tema: Reducción de Términos Semejantes 2x + 5 3x + 4 reducción -1x + 9 x

26 Tema: Reducción de Términos Semejantes 5x + 7,5z 3x reducción 5x + 7,5z 3x

27 Tema: Reducción de Términos Semejantes 5x + 7y 3x reducción 2x + 7y

28 Comprueba: como vimos, al reducir 5x + 7y 3x resulta 2x + 7y Son expresiones equivalentes? Asigna valores para x e y, luego resuelve. Si son equivalentes, Qué deberíamos obtener? 5x + 7y 3x 2x + 7y Por qué creen que pasa esto?

29 Tema: Reducción de Términos Semejantes Pasos para la reducción de términos semejantes: 1. Identificar aquellos términos que sean iguales 2. Agruparlos según su factor literal 3. Resolver las operaciones correspondientes Ejemplo: 5x 2-3x + 8x + 10x y 1. Identificación: 5x 2-3x + 8x + 10x y 2. Agrupar: 5x x 2-3x + 8x + 12y 3. Resolver: 15x 2 + 5x + 12y

30 Tema: Reducción de Términos Semejantes Ejercicio: Reduce los términos semejantes en cada expresión algebraica.. Expresión Algebraica Reducción a. 4x + y +2x b. 25 ab + bc +ab c. x 2 + 4xy + 6yx + 6x 2 d. 25c 2 b + 7b + c 2 b +6x 6x + y 25 + bc 10xy + 7x 2 26c 2 b + 7b + 6x e. 10x + 12x 22x +1 1 f. 100ab + a 2 b + ab 2-100ba a 2 b + ab 2

31 Tema: Reducción de Términos Semejantes Expresión Algebraica 1. m + 2m 2. a + 2a+ 9a 3. m 2 2m 2-7m x 2 y 2-12x 2 y 2 + x 2 y 2 Reducción 3m 12a -8 m 2-5x 2 y a 2b 5b + 9a 12a 7b 6. a 2 + b 2 2b 2-3a 2 + a 2 + b 2 -a 2 7. x 2 yz + 3xy 2 z - 2xyz 2-3xy 2 z + xyz 2 - x 2 yz -xyz pq + 3p -12q 15q + 7pq -13p 9pq -10p -27q 9. a + a 2 + a 3 + a 4 a 2a 2 + 3a 3-4a 4 -a 2 + 4a 3-3a u 2 + uv + v 2 2u 2 + 3uv - v 2 -u 2 + 4uv

32 TRABAJO EN CLASES: Pág. 138 a la 142 (ejercicio 5)

33 CLASE 4 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

34 Recordando la clase anterior Utilizando lenguaje algebraico, exprese el perímetro de las siguientes figuras. Reduzca términos semejantes si es posible.

35 Tema: Reducción de Términos Semejantes Reducción con Paréntesis: Los paréntesis se usan frecuentemente en álgebra y sirven para separar expresiones algebraicas. Se eliminan de acuerdo a reglas determinadas. Pasos: 1. Eliminar paréntesis de adentro hacia afuera. 2. Si precede un signo +, se quita dejando igual los términos en su interior. 3. Si precede un signo -, se quita colocando el inverso aditivo de cada término en su interior. 4. Si precede un coeficiente numérico, se quita multiplicando cada término en su interior por dicho coeficiente. Ejemplos: (5a b + 7) = 5a - b (5a - b + 7) = -5a + b - 7 2(5a - b + 7) = 10a -2b +14-2(5a - b + 7) = -10a + 2b -14

36 Tema: Reducción de Términos Semejantes Ejemplos: - {5a 3b + 7 (4a + 1)} = - {5a 3b + 7-4a 1} despejo primer paréntesis = -5a + 3b 7 + 4a + 1 despejo segundo paréntesis = -5a + 4a + 3b 7 +1 agrupo = -a + 3b 6 resuelvo Ejemplos: - {2x+ 2(3y + 6) (x + 2y)} = - {2x + 6y x 2y} despejo primeros paréntesis = -2x 6y 12 + x + 2y despejo segundo paréntesis = -2x + 4a + 3b 7 +1 agrupo = -a + 3b 6 resuelvo

37 Tema: Reducción de Términos Semejantes Ejercicio: Elimina los paréntesis y reduce los términos semejantes en cada expresión algebraica. Expresión Algebraica a. (a+b) + a-b b. (a-b) (b+a) c. 2a (2a - 3b) b d. 3x - 2y 3(x y) c. {2a (2a - 3b) b} d. 3x - {2y 3(x y)} Despejar Paréntesis a + b + a b a - b - b - a 2a 2a + 3b b 3x - 2y 3x + 3y -{2a 2a + 3b b} -2a + 2a - 3b + b 3x {2y 3x + 3y} 3x 2y +3x 3y Reducción 2a -2b 2b y -2b 6x 5y

38 Tema: Reducción de Términos Semejantes Ejercicios : Expresión Algebraica 1. (a+b) + (a-b) 2. (a+b) + (b-a) 3. 2a (2a - 3b) b 4. 3x + 2y [x - (x y)] 5. 2m 3n [-2m + n (m-n)] 6. (a+b-c) (-a-b+c) + (a-b+c) Despejar Paréntesis a + b + a b a + b + b - a 2a 2a + 3b b 3x + 2y [x x + y] 3x + 2y x + x - y 2m 3n [-2m +n m + n] 2m 3n +2m n + m -n -a - b + c +a + b c +a b + c Reducción 2a 2b 2b 3x + y 5m 5n a - b + c 7. 3x+2y {2x [3x - (2y-3x) - 2x] - y} 3x+2y {2x [3x -2y+3x -2x] y} 3x+2y {2x 3x+2y-3x+2x y} 3x+2y 2x+3x-2y+3x-2x+y 5x + y

39 Tema: Reducción de Términos Semejantes Reemplace y obtenga la operación solicitada: 1. Si P = x 2 + 3x 2, y Q = 2x 2 5x + 7, obtenga P + Q (x 2 + 3x 2) + (2x 2 5x + 7) x 2 +3x 2 + 2x 2 5x + 7 3x 2-2x Si P = 3x x 2, y Q = 3x 2 x, obtenga Q - P (3x 2 x) - (3x x 2 ) 3x 2 x - 3x + x 2 4x 2 4x

40 Tema: Reducción de Términos Semejantes Expresión Algebraica a. (2x + 3y) + (8y + 10x) Reducción 12x + 11y b. -7(a +w) (4w 7b) + (8a + 3w 5b) c. (10x + 2y) (4x y) d. (5a 2 b 2ab + 5b 2 a) + 2(a 2 b + 7ab 2 + 3ab) a 2w + 2b 6x + 3y -3a 2 b + 8ab + 9ab 2

41 TRABAJO EN CLASES: Pág. 142 (ejercicios 6 y 7), 143, 145, 146 y 147

42 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

43 Concepto y representación

44 Ecuaciones: Tema: Ecuaciones de Primer Grado Son una igualdad entre dos o más expresiones algebraicas en las que aparecen uno o más términos desconocidos llamados incógnitas, y donde el valor de la incógnita recibe el nombre de solución. Sirven para resolver problemas o valores desconocidos (incógnitas) que se presentan en la vida real, a través de un modelo matemático. Ejemplo1: Pedro quiere calcular cuántos kilómetros le quedan por recorrer si ya ha avanzado 15 kilómetros y la carrera es de 42 en total. 1. Qué quiere saber Pedro? Los kilómetros que le faltan (x) 2. Qué datos conoce?. Los kilómetros recorridos (15) y los kilómetros totales (42) 42 km 15 km Falta por recorrer (x) 3. Cuál sería la igualdad? x = 42

45 Ejemplo 2: Juan está ahorrando dinero para comprar una bicicleta que cuesta $ Aún le falta reunir tres veces la cantidad que ya lleva reunida. Cuánto dinero ha ahorrado juan? $ Ahorrado Falta por ahorrar X X X X Qué ecuación representa la situación planteada? X = X + 3X = X =

46 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Resolución de Ecuaciones: Consiste en encontrar o descubrir el valor de la incógnita que permite que la igualdad sea verdadera. Para esto, es necesario despejar la variable que representa la incógnita de la ecuación, para que ocuparemos los siguientes pasos: Pasos: 1. Identificar la variable o construir la ecuación (problemas). 2. Reducir términos semejantes. 3. Despejar la variable mediante las propiedades de las igualdades. 4. Verificar el resultado obtenido IMPORTANTE!!! En una ecuación, el valor resultante de la incógnita (x) es válido solo para dicha ecuación. Frente a una nueva ecuación, el valor de x puede ser diferente.

47 Resuelve: 1) x + 5 = 9 2) 8 + x = 14 3) x x = ) x x = ) 2 + 2x + 3x = 27 6) x + 2x + 8 = x x 7) 2x + 5 = -15 2x + 5 = -15

48 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Qué propiedades puedo usar para resolver una ecuación?? una incógnita de grado uno 15 + x = 42

49 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Resolución de Ecuaciones: SUMAR EL INVERSO ADITIVO Si a los miembros de una ecuación se suma o se resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Por lo tanto, para aislar la incógnita y encontrar su valor, podemos utilizar esta propiedad.

50 Ejemplo 1: X + 6 = 13 Positivo Negativo x + 6 = 13 Sumo -6 x = 13 6 Reduzco x = 7 Comprobar!

51 Ejemplo 2: X - 2 = -4 Positivo Negativo x - 2 = -4 Sumo 2 x = Reduzco x = -2 Comprobar!

52 Ejemplo 3: 2x + 3 x = 2 4 Positivo Negativo 2 x + 3 x = 2 4 Reduzco x + 3 = -2 Sumo -3 x = Reduzco x = - 5 Comprobar!

53 Ejemplo 4: 2 + 3x = 2x 1 Positivo Negativo x = 2x 1 Sumo x + 2 = 2x Reduzco 3x = 2x + 1 Sumo -2x 3x 2x = 2x + 1 2x Reduzco x = 1 Comprobar!

54 Ejercicios colectivos Tema: Ecuaciones de Primer Grado Pasos: 1. Identificar la variable. 2. Reducir términos semejantes. 3. Despejar la variable mediante las propiedades de las igualdades. (incógnitas en el primer miembro, y números en el segundo miembro) 4. Verificar el resultado obtenido Ejercicio 1) Ejercicio 2) 3 - x + 2x = Reduzco 3 + x = 48 Resto 3 x = 45 5x x = 5x + x + 7 Reduzco 7x - 8 = 6x + 7 Sumo 8 7x = 6x Resto 6x 7x 6x = 6x x Reduzco x =15

55 Ejercicios individuales: Resuelva las siguientes ecuaciones, escriba las propiedades que va utilizando y represente en balanzas cada ejercicio. Ecuación Resolución Respuesta x 3 = x +5 = 2 8 3x + 5 2x = x + 7 = 4x 5 3x

56 INVERSO MULTIPLICATIVO

57 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Resolución de Ecuaciones: Multiplicar por el inverso multiplicativo Si ambos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un número (distinto de cero), se obtiene una ecuación equivalente a la dada. De esta forma, se puede aislar la incógnita para obtener su valor. x+x+x+x = x = 20 x = 5

58 Ejemplo 1: 2X = 6 Positivo Negativo Comprobar!

59 Ejemplo 2: 5x+3 = Positivo Negativo Comprobar!

60 Tema: Ecuaciones de Primer Grado EJERCICIOS: Resuelva los siguientes ejercicios, indicando los pasos y representando en una balanza la resolución. Ejercicio 1) Ejercicio 2) 5 x 7= 3x + 3 2x 6= 15 5x Sumo 7 y resto 3x 2x = 10 Sumo 5x y 6 2 x + 5x = Divido por 2 2 x 10 = 2 2 x = 5 Reduzco Divido por 7 7 x = 21 x = 21 7 x = 3

61 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Evaluación de la clase: Cuál es el valor de x en la ecuación 2x + 2 = 8? 1. Identifico variable: x 2. Despejo variable: 1 Resto en ambos lados dos : 2x = 8 2 2x = 6 2 Divido en ambos lados por dos : 2x/2 = 6/2 x = 3 3. Verifico: 2 (3) + 2 = = 8 8 = 8

62 Tema: Ecuaciones de Primer Grado Evaluación de la clase: Cuál es el valor de x en la ecuación 4x + 4-2x - 2 = 8? 1. Identifico variable: x 2. Reduzco los términos semejantes: 4x 2x = 8 2x + 2 = 8 2. Despejo variable: 1 Resto en ambos lados dos : 2x = 8 2 2x = 6 2 Divido en ambos lados por dos : 2x/2 = 6/2 x = 3 3. Verifico: 2 (3) + 2 = = 8 8 = 8

63 Ejercitación. Resolución de ecuaciones.

64 Ejercitación: Resuelva las ecuaciones. En el caso de las balanzas, plantee la ecuación y luego resuelva. (1) Resultado: x = 3 (2) 2x + 2 5x = x Resultado: x = -7 (3) Resultado: x = 3

65 (4) 4 + 2x x = 3x 4 Resultado: x = -2 (5) Resultado: x = 2 (6) -y + 5y = y 1 Resultado: x = -2/3

66 Resultado: (7) x = 8/3 (8) 2(x + 3) = 6(x - 1) Resultado: x = 3

67 Libro, páginas 148 a la 151