Algebra. La suma de dos números consecutivos es igual a 15

Transcripción

1 Algebra. Lenguaje algebraico: El lenguaje algebraico es simplemente traducir lo que normalmente hablamos a expresiones particulares con símbolos y números. La suma de dos números consecutivos es igual a 15 "x"; representa un número. "x + 1"; representa el consecutivo x + x + 1 = 15 Nota: un numero mas su consecutivo es igual a Cuando veas un grupo de dos o más letras seguidas, un número seguido de una letra: 7ax 5 se entiende que entre ellos existe el signo " "(multiplicacion). Sería lo mismo que escribir: 7 a x Una letra sin exponente, se entiende que lleva el Una o más letras sin un número por delante, se entiende que lleva el 1. Ejercicio: Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados. Expresión verbal Lenguaje algebraico El doble de un número es igual a ocho. 2x = 8 Un número mas cinco unidades es igual a veinte. x + 5 = 20 El cuadrado de un número es igual a dieciséis. x 2 = 16 El triple de un numero menos ocho unidades es igual a siete. 3x 8 = 7 Quince unidades menos el doble de un numero es igual a cinco. 15 2x = 5 El cubo de un número es igual a veintisiete. x 3 = 27 El triple del cuadrado de un número es igual a doce. 3x 2 = 12 La tercera parte de un número es igual a seis. x 3 = 6 El cuadrado de un numero menos el triple del mismo es igual a dieciocho. x 2 3x = 18 La suma de dos números es igual a quince. x + y = 15 El producto de dos números es igual a veinticuatro. xy = 24 El cuadrado de la suma de dos números es igual a cuarenta y nueve. 2x = 8

2 Lenguaje algebraico x + 5 = 16 Expresión verbal Un número más cinco unidades es igual a dieciséis. 2x + 3 = 33 El doble de un número más tres unidades es igual a treinta y tres. x 2 El cuadrado de un número más siete unidades es igual a + 7 = 56 cincuenta y seis. 5x 2 = 80 El quíntuple del cuadrado de un número es igual a ochenta x = 27 La séptima parte de un número más quince unidades es igual a veintisiete. x 2 El cuadrado de un número menos el doble del mismo número 2x + 3 = 6 más tres unidades es igual a seis. x + y + z = 19 La suma de tres números es igual a diecinueve. xy = 32 x y = 5 x y = 8 El producto de dos números es igual a treinta y dos. El cociente de dos números es igual a cinco. Un número elevado a otro número es igual a ocho.

3 Conceptos Básicos. Expresión algebraica: Conjunto de números y literales (letras) unidos por medio de signos que nos indican las operaciones que se deben realizar. 4x 3 3x 2 + 5x + 2 Termino: Expresión algebraica que consta de cuatro elementos que son signo, coeficiente, literal y exponente. 3x 2 Signo : Coeficiente : 3 Literal : x Exponente : 2 Ejercicio: Completa el siguiente cuadro anotando en el recuadro lo que se te indica. Termino Signo Coeficiente Base Exponente 5x x 3 7a 4 7 a b b 1 2ab ab 1, 2 6m 2 n 3 6 mn 2, a2 8 9 a 2 2xy 2 z + 2 xyz 1, 2, 1 15m 2 n + 15 mn 2, rst rst 1, 1, 2 12t 2 w 4 x twx 2, 4, 5 a 4 b ab 4, 2

4 Clasificación de los términos. Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. 5a 2 b 3 Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. 5a 2 b 3 + 6x 3 y 2 Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. 5a 2 b 3 + 6x 3 y 2 2mn Nota: Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios. a 2 x + by 2 2ay + 2bx + 5cz Ejercicio: Completa el siguiente cuadro anotando en el recuadro lo que se te indica. Expresión algebraica Clasificación Expresión algebraica Clasificación 6a 3 Monomio 6a 2 + 3b 3 Binomio 6x 2 3x Binomio 8k 2 h 3 Binomio 8g 2 h 3 k 7 Binomio 7f 3 g + 2 Trinomio 8a 4 + 3a 2 + 5a Trinomio m 4 n 2 Monomio m mn + n 2 Trinomio x + bx + 1 Trinomio 4x Binomio 10x + x Trinomio 6m n 11 Trinomio 10rs 2 t 3 Monomio 2ab + 3bc 4de Trinomio 16x 4 + 3x 3 + 8x 2 Trinomio 5x 11y Binomio 2mn Monomio 12ax 3 y Monomio 2d 3 e + 7de 3 Binomio x 4 y + 50 Binomio 4x 2 + 8x 1 Trinomio a + b Binomio 5x 4 Monomio 2y 2 + 3y 9 Trinomio a + b c Trinomio 8x + 9 Binomio x 2 y 3 z 4 Monomio

5 Términos Semejantes: Llamamos términos semejantes los que tienen la misma parte literal. Esto quiere decir que, dos o más términos son semejantes si tienen las mismas literales con los mismos exponentes. 5x 3 y 2 z 5 y 6 x 3 y 2 z 5 Como ves, los signos y los coeficientes o partes numéricas pueden ser diferentes, pero en general el término es semejante por tener las mismas partes literales elevados al mismo exponente. Ejercicio: Relaciona los siguientes terminos con sus semejantes. (f) 11a 4 b 2 a) + 16a 2 mx 4 (g) + 16mn 2 b) + 2.5x 3 y 2 (i) 7xy 2 z c) mn2 p (h) 5 4 a2 b d) 32a 3 b 3 (b) x 3 y 2 e) + 12a 2 bx (e) + 3a 2 bx f) 2a 4 b 2 (a) 9a 2 mx 4 g) 4 5 mn2 (d) + 6a 3 b 3 h) 5a 2 b (c) 5mn 2 p i) + 3xy 2 z Reducción de términos semejantes: Al reducir los polinomios es conveniente subrayar los términos semejantes, para evitar confusión: Ejercicio: Reduce los terminos semejantes. 6x 2y 4x + 5y = 2x + 3y 6x 4x = 2x 2y + 5y = 3y 1. 2f + 3f = 5f 2. 4x + 5x = 9x 3. 4y 2y = 2y 4. 3w 7w = 4w 5. 8z + 9z = 17z 6. 15b b = 14b 7. 5k + 7k = 2k 8. 6a 12a = 6a 9. 6d 9d = 3d 10. m 5m = 6m

6 11. 2a + 4a = 6a 12. 7x 2 4x 2 = 3x m 2 + 3m 2 = 3m f f = 10f 15. h 3 + 8h 3 = 9h ef 2 + 4ef 2 = ef xy + 5xy 4xy = 3xy 18. 2ab 7ab + 6ab = 3ab x2 3 4 x2 = 2 4 x a a = 5 8 a Ejercicio: Completa la reduccion. 1. 3a + 6b 2 + 2a + 4b 2 = 5a + 10b x + 2y 2x + 3y = 3x + 5y 3. 6m + 2n 3 + 2m + n 3 = 4m + 3n g 2g + 5h + h = 6g + 6h 5. 2w + 6z + 8w 4z = 10w + 2z 6. 4x 2 + 7y + 2x 2 8y = 6x 2 y 7. 4x 2 + 3x 2x 2 + 5x = 2x 2 + 8x 8. 4m + 2n 7m + 3n = 3m + 5n 9. 2e 5 + 5f 5e 5 + 4f = 3e 5 + 9f 10. 3a 4 + 4b 3 9a 4 2b 3 = 6a 4 + 2b 3 Ejercicio: Reduce los terminos semejantes en las siguientes expresiones. 1. 8x + 2y 5x 4y = 3x 2y 2. 2m 2 + 3n 3m 2 + 6n = 5m 2 + 9n 3. 3a 3 + 2b 2 + 4a 3 3b 2 = 7a 3 b xy 2 + 2x 3 y 5x 3 y 9xy 2 = 5xy 2 3x 3 y 5. 2h 3 g 2 3hg + 5h 3 g 2 2hg = 3h 3 g 2 5hg 6. 3a + 2b + 4a + 5b = 7a + 7b 7. n + n n n + 6 = 4n a + 1 b 2 a 5 b = 5 a 4 b a + 4 b 2 a 1 b = 3 a + 3 b = 1 a + 1 b a2 b a3 b a2 b a3 b 2 = 5 4 a2 b a3 b 2

7 Suma y resta algebraica: Solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar. Reglas: 1.- Se agrupan los términos semejantes. 2.- Se suman o restan los coeficientes (parte numérica). 3.-Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante. Ejemplo ilustrativo para signo positivo: (8x + 5m 3x 2 ) + (+7x 3m + 5x 2 ) = 8x + 5m 3x 2 + 7x 3m + 5x 2 8x + 7x = 15x 5m 2m = 3m 3x 2 + 5x 2 = 2x 2 = 15x + 2m + 2x 2 Como puede verse el signo más (+) antes de un símbolo de agrupación no cambia el signo de todos los términos agrupados, esta regla se mantiene para toda la matemática. Ejemplo ilustrativo para signo negativo. (8x + 5m 3x 2 ) (+7x 3m + 5x 2 ) = 8x + 5m 3x 2 7x + 3m 5x 2 8x 7x = x 5m + 3m = 8m 3x 2 5x 2 = 8x 2 = x + 8m 8x 2 Como puede verse el signo menos ( ) antes de un símbolo de agrupación cambia el signo de todos los términos agrupados, esta regla se mantiene para toda la matemática.

8 Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas algebraicas. 1. (5a b) + (4a + 5b) = 9a + 4b 2. (2m 2 3n) + ( 4m 2 2n) = 2m 2 5n 3. ( xy 3 + 5x 2 y) + (3xy 3 4x 2 y) = 2xy 3 + x 2 y 4. (6a + 3b) + ( 2a + 2b) = 4a + 5b 5. (8a + 3b) + (5a + 7b) = 13a + 10b 6. (4x + 8y) + ( 7x + 5y) = 3x + 13y 7. ( 7g 2 h 3 2gh 2 ) + (3gh 2 + 2g 2 h 3 ) = 5g 2 h 3 + gh 2 8. ( 3x + 6y) + ( 4x 2y) = 7x + 4y 9. (2a 4b) + ( 9a + 3b) = 7a b 10. ( 9x 2 5x) + (2x 2 2x) = 7x 2 7x 11. (9d + 3e 5f) + ( 5d + 2e + 3f) = 4d + 5e 2f 12. (3j 4k + 2) + (j + 7k 2) = 4j + 3k 13. (8p 4q 2r) + ( 6p + 3q 2r) = 2p q 4r 14. (8a 2 b + 2ab 5) + ( 3a 2 b 6ab + 3) = 5a 2 b 4ab (11s + 5t + 13u) + (2s + 3t + 11u) = 13s + 8t + 24u 16. (8a + 9b 10c) + ( 3a 6b + 8c) = 5a + 3b 2c 17. (ax ay az) + ( 5ax 7ay 6az) = 4ax 8ay 7az 18. (7a 4b + 5c) + ( 7a + 4b 6c) = c 19. (3x + x 3 4x 2 ) + ( x 3 + 4x 2 6x) = 3x 20. ( 7x 2 + 5x 6) + (8x 9 + 4x 2 ) = 3x x 15

9 Ejercicio: Resuelve las siguientes restas algebraicas. 1. (4a 2 + 3b) (9a 2 5b) = 5a 2 + 8b 2. (7f + 2g) (9f + 5g) = 2f 3g 3. ( 8e + 3f 2 ) ( 5e + 2f 2 ) = 3e + f 2 4. (5h 2 3k) (2h 2 k) = 3h 2 2k 5. (5x + 4y) (2x 3y) = 3x + 7y 6. (11a 8b) ( 6a + 3b) = 17a 11b 7. ( 9m + 7n) ( 3m 4n) = 6m + 11n 8. ( 4a + 5b) (3a + 2b) = 7a + 3b 9. (7x 5y) ( 4x 8y) = 11x + 3y 10. (11a 9b) ( 9a + 3b) = 20a 12b 11. (x 2 3x) ( 5x + 6) = x 2 + 2x (8a + b) ( 3a + 4b) = 11a 3b 13. (x + y z) ( x y + z) = 2x + 2y 2z 14. (a + b + c d) ( a b + c d) = 2a + 2b 15. (10mn 3m 2 + 2n) (7mn + 4m 2 8n) = 3mn 7m n 16. (x 3 + 5x 2 + 7x) ( 3x 3 2x 2 + 5x) = 4x 3 + 7x 2 + 2x 17. (5a + 4b 3c) (a + 3b 2c) = 4a + b c 18. (8ab + 7bc 3cd) (2ab 5bc + 4cd) = 6ab + 12bc 7cd 19. (4x + 3y + 5z) (2x 2y + 2z) = 2x + 5y + 3z 20. (x 2 + y 2 3xy) ( y 2 + 3x 2 4xy) = 2x 2 + 2y 2 + xy