Álgebra. Cynthia P.Guerrero Saucedo

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1 Álgebra Cynthia P.Guerrero Saucedo 21 de agosto de 2016

2 Índice general 1. Lenguaje algebraico Álgebra Expresión algebraica Representación algebraica de expresiones en lenguaje común Interpretación de expresiones algebraicas Evaluación numérica de expresiones algebraicas Operaciones fundamentales Términos semejantes Suma de monomios Resta de monomios Suma de polinomios Resta de polinomios Multiplicación de monomios Multiplicación de monomio por polinomio Multiplicación de polinomios División de monomios División de polinomio entre monomio División de polinomio entre polinomio Operaciones fundamentales Productos notables Factorización Ecuaciones lineales Ecuaciones lineales con una incógnita Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas Ecuaciones cuadraticas 49 2

3 CAPÍTULO 1 Lenguaje algebraico 1.1. Álgebra De acuerdo a la Real Academia Española se dene al Álgebra como parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas, empleando números, letras y signos. Cada letra representa simbólicamente un número u otra cantidad matemática. Cuando alguna de las letras representa un número desconocido se le llama incógnita. Las incógnitas ademas de ser representadas por letras, también pueden ser representadas por símbolos y con las operaciones aritméticas necesarias se puede obtener su valor numérico. Actividad 1 (Incognitas). Resuelve el siguiente acertijo. 1. ¾Cuanto vale el?: 2. ¾Cuanto vale la?: 3. ¾Cuanto vale la?: 4. ¾Cuanto vale el?:

4 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.2. Expresión algebraica Una expresión algebraica consta de uno o varios términos que se encuentran separados entre si por el signo mas o menos. Un termino esta compuesto por cuatro elementos: Signo: Son términos negativos los que van precedidos por el signo y términos positivos aquellos que van precedidos por el signo. En los términos positivos suele omitirse el signo. Ejemplos: 5x 6 es un término negativo 3y 2 es un termino positivo 15a 3 b 5 es un termino positivo Coeciente: Es la parte numérica que se encuentra antes de una o varias letras y realiza la operación de multiplicación. Es importante señalar que el coeciente siempre va acompañado del signo del termino y cuando un termino no tiene coeciente numérico se sobreentiende que su coeciente es la unidad. Ejemplos: 5a 6 su coeciente es 5 m 2 su coeciente es 1 15x 3 y 5 su coeciente es 15 Literal: Son las letras o símbolos que hay en un término. Ejemplos: 5x 6 su literal es x 3w 2 su literal es w 15x 3 y 5 sus literales son x y y Grado absoluto: Es la suma de los exponentes en un mismo término algebraico.el exponente es el número que se escribe en la parte superior derecha de una literal e indica el número de veces que esta deberá de multiplicarse en el termino algebraico. Ejemplos: 5a es de primer grado ya que su exponente es 1 3x 3 y 3 es de sexto grado por que la suma de sus exponentes es 3+3=6 15p 2 q 5 r es de octavo grado por que la suma de sus exponentes es 2+5+1=8 4 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

5 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 2 (Elementos de un termino algebraico). Completa la siguiente tabla escribiendo el termino, signo, coeciente, parte literal y grado de cada uno de los términos. Término Signo Coeciente Literal Grado 1. a x 3 3. c 5 d r 7 s xyz 6. 9p 3 q 4 r u 2 v 3 w 8. 4 m y n w y z a y b 6 Las expresiones algebraicas se clasican según el número de términos que contienen, estos términos se encuentran separados por el signo o. Monomio: Consta de un solo termino. Ejemplos: 5a 6 3t 2 15x 3 y 5 Binomio: Esta formado por dos término. Ejemplos: 4a 3 5b 5 9x 6 5x 2 11p 12 q 4 4p 8 q 3 Trinomio: Esta formado por tres términos.ejemplos: 12a 7 b 8 5a 6 b 5 4a 2 b 2 12x 4 y 5 7x 2 y 9 8xy 3 4w 7 5y 5 2z 3 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 5

6 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Polinomio: Esta formado por dos o mas términos. Ejemplos: 2a 3 5a 2 8x 9 3x 4 x 2 5m 8 n 4 6m 6 n 3 5m 4 n 7 2m 2 n 5 Actividad 3 (Clasicación de expresiones algebraicas). Marca una X en cada renglón si se trata de un monomio, binomio, trinomio o polinomio. En algunos casos tendrás que marcar dos X. Expresión algebraica Monomio Binomio Trinomio Polinomio 1. 5a 4 b 3 2a 3 b 5 6ab 8 2. m 3n w 9 4x 8 2y 7 12z a 5 b 3 2a 3 b ab 4c 6. 4x 8 3x 5 x 8y 2 y 7. 5p 4 q 3 2p 3 q 5 6pq pq x 6y c 3 d 7 y 3 El grado absoluto de un polinomio es la mayor suma de los exponentes obtenida en alguno de los términos del polinomio. Por ejemplo: 2k 4 8k 2 k es un polinomio de grado 4 ya que el primer termino es de grado 4, el segundo de grado 2 y el tercero de grado 1. 6a 3 b 5 9a 2 b 8 es un polinomio de grado 10 ya que el primer termino es de grado 8 y el segundo de grado 10. 3m 5 n 2 4m 2 n 2 mn 8 es un polinomio de grado 9. ya que el primer termino es de grado 7, el segundo de grado 4 y el tercero de grado 9. 6 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

7 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 4 (Grado absoluto de un polinomio). Escribe el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios. Polinomio 1. 5a 4 b 3 2a 3 b 5 6ab x 3 y 7 8x 2 y t7 v t4 v t2 v f 5 g 3 2f 3 g 2 Grado absoluto del polinomio 5. 3q 5 2r x 8 3x 5 x 8y 2 y 7. 3f 6 g 3 2f 2 g 8 6fg p 5 2p 4 6p c4 d c2 d x 9 4y 8 2z 7 12w 3 El termino independiente de un polinomio es aquel termino que no contiene parte literal. Ejemplos: 3a 4 15 su termino independiente es 15 18x 4 8y 2 9 su termino independiente es 9 7y 3 z 5 su termino independiente es 0 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 7

8 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 5 (Termino independiente de un polinomio). Escribe el termino independiente de cada uno de los siguientes polinomios. Polinomio 1. 7a 8 b 5 3a 3 b p 3 2q x 14 5y 8 9z m 5 n 3 2m 3 n c x 8 3x 5 x 8y a 4 b 3 2a 3 b 5 6ab p 5 2p 4 6p x 3 y 7 8x 2 y f 5 g 3 2f 3 g 2 8f 3 g Termino independiente 8 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

9 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.3. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común Al lenguaje utilizado por las matemáticas se le conoce como Lenguaje algebraico y no es mas que una forma de traducir a símbolos y números lo que comúnmente utilizamos como expresiones del lenguaje común. Con el lenguaje algebraico podemos representar valores desconocidos y realizar operaciones aritméticas con ellos. ŸŸ Ejemplo 1.1. Traduce el siguiente enunciado del lenguaje común al lenguaje algebraico: María le dice a Laura: Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene Luisa. Solución. Para representar un enunciado del lenguaje común al lenguaje algebraico puedes realizar los siguientes pasos: 1. Identicar las cantidades desconocidas o incógnitas, a estas se les asignará una literal. Del enunciado anterior desconocemos cuanto dinero tiene Luisa por lo que utilizaremos la literal x para expresar dicha cantidad, y podemos decir: Luisa tiene x pesos. 2. Identicar palabras que representen operaciones entre las cantidades conocidas y las cantidades desconocidas. Tenemos palabras claves, tales como: mas que que se reere a sumarle a, entonces cuando Laura dice: Tengo ochenta pesos mas que = 80 y el doble, que se reere a multiplicar por dos, por lo que: el doble de lo que tiene Luisa= 2x 3. La expresión algebraica que representa la situación. Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene Luisa: 80 2x ŸŸ Ejemplo 1.2. Escribe en lenguaje algebraico: El triple de un número Solución. La respuesta es 3x. Como desconocemos el número del cual estamos hablando entonces lo llamamos incógnita y utilizamos la letra x para referirnos a el, después lo multiplicamos por 3 para obtener el triple de un numero. ŸŸ Ejemplo 1.3. A continuación se muestran las palabras que comúnmente se utilizan en el lenguaje común para representar relaciones numéricas entre cantidades desconocidas: CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 9

10 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Tabla 1.1: Representación algebraica de expresiones en lenguaje común Lenguaje común Operación Lenguaje algebraico Aumentar, incrementar, Suma de dos cantidades x y añadir, exceder, más Diferencia, disminuir, quitar, Resta de dos cantidades x y decrementar, reducir, menos Doble, triple, cuádruple,... Multiplicar por 2,3,4,... 2x, 3x, 4x,... Producto Multiplicación de dos cantidades xy x Mitad, tercera, cuarta parte,... Dividir entre 2,3,4,... 2,x x 3 4 x Cociente División de dos cantidades y Cuadrado Multiplicar por si mismo dos veces x 2 Cubo Multiplicar por si mismo tres veces x 3 Es un valor especial que al ser Raíz cuadrada Promedio multiplicado por si mismo nos da como resultado un número inicial Suma de los datos entre el número de datos? x x 1 x 2... x n n Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad. 10 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

11 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 6 (Del lenguaje común al lenguaje algebraico). Traduce las siguientes expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico: 1. La edad de Lucia hace 15 años: 2. La suma de un numero con su tercera parte: 3. El doble producto de dos números: 4. En una granja hay vacas y caballos, en total son 23 animales: 5. Tengo la tercera parte de tus dulces aumentado en 10: 6. El cuadrado de la diferencia de dos números: 7. Daniel, Emilio y Fernanda juntaron sus ahorros, Emilio aporto la tercera parte de lo que aporto Daniel y Fernanda la mitad de lo aporto Daniel, en total se juntó 320 pesos: 8. Las tres quintas partes de un número mas la raíz cuadrada de otro numero: 9. El cociente entre un número y su mitad: 10. El promedio de las calicaciones de Matemáticas, Ingles y Química es de 8: CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 11

12 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.4. Interpretación de expresiones algebraicas Para representar una expresión algebraica en lenguaje común se debe comenzar por la jerarquía de las operaciones, tomando en cuenta los signos de agrupación ya que estos permiten establecer el orden en el que las operaciones aritméticas se deben de llevar a cabo. Los signos de agrupación son: el paréntesis ( ), el corchete [ ] y llave {}. ŸŸ Ejemplo 1.4. A continuación se muestran ejemplos en los que se representa una expresión algebraica en lenguaje común. Tabla 1.2: Interpretación de expresiones algebraicas Expresión algebraica x 2 y 3 px yq 2 Lenguaje común El cociente de la suma de x con 2 entre la diferencia de y con 3 El cuadrado de la diferencia de x y y xyz La mitad del producto de x, y y z 2 x 2 y 2 La suma de los cuadrados de x y y 3x 3 y La diferencia del triple del cubo de x y la quinta parte de y 5? xpy 8q El producto de la raíz cuadrada de x y la suma de y con 8 Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad. 12 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

13 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 7 (Interpretación de expresiones algebraicas). Representa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas: 1. 4x 3y : 2. x 4y: 3. x 2 : px yq: 5. 3x 2 2y 3 : 6. x y x y : 7. px 4q 3 : 8.? 2xy: 9. px 1qpx 2q: 10. x 3 y 3 : CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 13

14 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas Una expresión algebraica adquiere un valor numérico cuando sus literales son reemplazadas por números, a este proceso se le denomina evaluación de la expresión. Por ejemplo, consideremos la expresión algebraica 3x 2y para la cual suponga que x 1 y y 2, entonces, al sustituir la x por 1 y la y por 2 resulta 3p1q 2p2q 7 ŸŸ Ejemplo 1.5. Obtenga una ecuación algebraica que represente el área de cualquier rectángulo en general de base x y altura y, después, obtenga el valor numérico de la misma si la base y altura son de 0.35 metros y 1.5 metros, respectivamente. Solución. El área de cualquier rectángulo está denida por el producto de su base con la altura, en este caso: Área pbaseqpalturaq Área xy Sustituyendo x 0.35 m y y 1.5 m resulta Área p0.35 mqp1.5 mq Área m 2 14 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

15 CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Actividad 8 (Valor numérico de una expresión algebraica). Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas según sea el caso. 1. El volumen de un cubo, si uno de sus lados mide 2.5 cm 2. El área de un círculo cuyo radio es de 8 cm 3. El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y altura de 9 cm 4. Si a 1 y b 3 calcula ab 3 5. Si x 1, y 3, z 1 5 calcula x2 3y 2z c 2a 3b 6. Si a 5, b 3 y c 1, calcula 4 c 7. Si x 5, a 3, y 2 7 y b 2, calcula 5x ay 3b 2x 3ab 2xy 5ax 2ab CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 15

16 CAPÍTULO 2 Operaciones fundamentales Términos semejantes Para sumar o restar monomios primero tenemos que identicar los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. Ejemplos: 6a 3 y 2 5 a3 son términos semejantes 12x 3 y 2 y 2x 3 y 2 son términos semejantes 8m 5 y 3n 5 no son términos semejantes 5z 5 y 8z 3 no son términos semejantes Sumar o restar monomios consiste en reducir los términos semejantes, esto es, sumar o restar sus coecientes numéricos, conservando su parte literal y sus exponentes Suma de monomios Suma de monomios Dos monomios se están sumando si sus signos son iguales. Para sumar dos o mas monomios se deben de sumar los coecientes numéricos de los términos semejantes, conservando el signo que estos tienen y su parte literal. ŸŸ Ejemplo 2.1. Suma los siguientes monomios: a) 3a 5a Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la suma de sus coecientes y por ultimo se escribe su parte literal a. 3a 5a 8a 16

17 b) 2m 2 4m 2 Ambos monomios son negativos, por lo tanto el resultado tendrá signo, seguido por la suma de sus coecientes y por ultimo se escribe su parte literal m 2. 2m 2 4m 2 6m 2 c) 2 3 x5 4 5 x5 Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la suma de sus coecientes: Se multiplican los denominadores 3 y 5 para obtener un denominador común Se multiplica el primer numerador 2 por el segundo denominador 5 para obtener el numerador de la primer fracción que es 10. Se multiplica el primer denominador 3 por el segundo numerador 4 para obtener el numerador de la segunda fracción que es 12. Se suman las fracciones y si es posible se reduce la fracción resultante. Por ultimo se escribe su parte literal x x5 5 x5 15 x5 d)5p 4 3q 7 4p 4 2q 7 Juntamos los términos semejantes y los reducimos: 5p 4 y 4p 4, como los dos son positivos su resultado tendrá signo, seguido de la suma de sus coecientes y su parte literal p 4. 3q 7 y 2q 7, como los dos son negativos su resultado tendrá signo, seguido de la suma de sus coecientes y su parte literal q 7. 13y 5 z 3 5p 4 3q 7 4p 4 2q 7 9p 4 5q 7 Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 17

18 Actividad 9 (Suma de monomios). Realiza las siguientes sumas de monomios: 1. 4a 8 3a k3 2 3 k d4 3 4 d x 2 9x x 3 y 5 8x 3 y z8 3 6 z8 7. 5y y2 8. 7m 5 3m 5 5m t 3 4t 3 8t d 2 7d 2 8d p 5 12q 2 6p 5 8q f 4 12g 7 8g 7 6f Resta de monomios Resta de monomios Dos monomios se están restando si sus signos son diferentes. Para restar dos monomios se debe de restar los coecientes numéricos, precedido por el signo del termino con mayor coeciente y conservando su parte literal. ŸŸ Ejemplo 2.2. Resta los siguientes monomios: a) 7b 13b El termino de mayor coeciente es 13b, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) y por ultimo se escribe 18 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

19 su parte literal b. 7b 13b 6b b) 9y 7 z 4 4y 7 z 4 El termino de mayor coeciente es 9y 7 z 4, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) y por ultimo se escribe su parte literal y 7 z 4. 9y 7 z 4 4y 7 z 4 5y 7 z 4 c) 4j 2 6k 3 7k 3 9j 2 Juntamos los términos semejantes y los reducimos: 4j 2 y 9j 2, el termino de mayor coeciente es 9j 2, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) y por ultimo se escribe su parte literal j 2. 6k 3 y 8k 3,el termino de mayor coeciente es 8k 3, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) y por ultimo se escribe su parte literal k 3. 4j 2 6k 3 7k 3 9j 2 4j 2 9j 2 6k 3 8k 3 5j 2 2k 3 Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 19

20 Actividad 10 (Resta de monomios). Realiza las siguientes restas de monomios: k8 2 3 k8 2. 5x 2 13x w 3 x 5 3w 3 x g4 3 7 g p8 3 4 p t 3 5v z 7 4z a 2.5a 9. 12t 5 v 3 4t 5 v c8 1 4 c a 3 9b 2 2a 3 5b v 3 8w 2 17w 2 22v 3 Suma y resta de monomios con signos de agrupación Para sumar o restar monomios que se encuentran dentro de signos de agrupación es necesario suprimir los paréntesis siguiendo la ley de los signos que dice: Ley de los signos p q mas por mas = mas p q mas por menos = menos p q menos por menos = mas p q menos por mas = menos Después se reducen los términos semejantes como se explico anteriormente. Recuerda que cuando un monomio es positivo suele omitirse su signo. 20 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

21 ŸŸ Ejemplo 2.3. Resuelve las siguientes sumas y restas de monomios: a) p4b 5 q p7b 5 q Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos 4b 5 7b 5 reducimos los términos semejantes restando los coecientes 3b 5 b) p 6g 3 q p 2g 3 q Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos 6g 3 2g 3 reducimos los términos semejantes restando los coecientes 4g 3 c) 5x 5 p7x 5 3x 5 q Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos, observa que cuando tenemos un signo antes de un paréntesis todos los monomios cambian de signo 5x 5 7x 5 3x 5 reducimos los términos semejantes sumando y restando los coecientes: 9x 5 d) p 2m 7 q p5n 7 q p8n 7 q p 6m 7 q Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos 2m 7 5n 7 8n 7 6m 7 reducimos los términos semejantes 2m 7 6m 7 5n 7 8n 7 Ahora realiza la siguiente actividad. 4m 7 3n 7 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 21

22 Actividad 11 (Signos de agrupación). Realiza las siguientes sumas y restas de monomios: 1. p 2 3 yq p 5 8 yq 2. p7z8 q p 4z 8 q 3. p 6a 2 b 4 q p9a 2 b 4 q 4. p 1 4 zq p2 4 zq 5. p12d 3 q p 3d 3 5d 3 q 6. p 12j 2 q p3j 2 5j 2 q 7. 4x p 6x 2xq 8. 6yz 3 p5yz 3 9yz 3 q 9. p 4p 3 q p5q 4 q p7p 3 q p 9q 4 q 10. p2m 4 q p 6n 2 q p 5m 4 q p8n 2 q 11. p6c 2 q p4d 9 q p 3c 2 q p 8d 9 q 12. p 1 3 f q p3 6 gq p 7 10 f q p 4 6 gq 22 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

23 2.4. Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se requiere reducir los términos semejantes de los polinomios que se estén sumando. ŸŸ Ejemplo 2.4. Sumar P pxq 4x 2 8 6x y Qpxq 5 3x 6x 2 Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente, es decir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno. P pxq 4x 2 6x 8 Paso 2: Sumamos los polinomios. Qpxq 6x 2 3x 5 P pxq Qpxq p4x 2 6x 8q p6x 2 3x 5q Opción 1: Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos. P pxq Qpxq 4x 2 6x 8 6x 2 3x 5 Juntamos los términos semejantes y los reducimos. P pxq Qpxq 4x 2 6x 2 6x 3x x 2 3x 13 Opción 2: También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir. 4x 2 6x 8 6x 2 3x 5 10x 2 3x 13 ŸŸ Ejemplo 2.5. Sumar P pxq 12a 3 b 5ab 4a 2 b y Qpxq 6a 2 b 4a 3 b 8ab Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente. P pxq 12a 3 b 4a 2 b 5ab CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 23

24 Qpxq 4a 3 b 6a 2 b 8ab Paso 2: sumamos los polinomios. P pxq Qpxq p 12a 3 b 4a 2 b 5abq p4a 3 b 6a 2 b 8abq Opción 1: Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos. P pxq Qpxq 12a 3 b 4a 2 b 5ab 4a 3 b 6a 2 b 8ab Juntamos los términos semejantes y los reducimos. P pxq Qpxq 12a 3 b 4a 3 b 4a 2 b 6a 2 b 5ab 8ab 8a 3 b 10a 2 b 13ab Opción 2: También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir. 12a 3 b 4a 2 b 5ab 4a 3 b 6a 2 b 8ab 8a 3 b 10a 2 b 13ab Ahora realiza la siguiente actividad. 24 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

25 Actividad 12 (Suma de polinomios). Realiza las siguientes sumas de polinomios P(x)+Q(x): 1. P pxq 8k 2 5k 3 2. P pxq 3h 3 7h 2 2h Qpxq 2k 2 4k 2 Qpxq 4h 3 8h 2 3h 3. P pxq 7m 4 n 3 9m 3 n 5 2m 2 n 7 4. P pxq 6p 2 5p 10 Qpxq 4m 4 n 3 5m 3 n 5 7m 2 n 7 Qpxq 9p 2 4p 8 5. pa 2 b 3a 2 b 8q p5a 2 b 6a 2 b 2q 6. p8z 7 2z 5 z 3 q p 8z 7 9z 5 8z 3 q 7. p3x 2 4x 5q p 6x 2 7x 9q 8. p 7y 2 2y 1q p9y 2 2yx 2q 9. p 2 3 t2 1 4 t 2q p5 7 t2 2 4 t 7q 10. p5 8 w2 2 6 w 2 7 q p 5 7 w2 1 3 w 2 3 q CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 25

26 2.5. Resta de polinomios Para restar dos polinomios se deben de cambiar todos los signos del polinomio que se resta, ya que estaremos aplicando la ley de los signos y después se procede a reducir términos semejantes de los dos polinomios. Ejemplo: ŸŸ Ejemplo 2.6. Restar P pxq 9 3y 3 2y 2 y Qpxq 5 6y 2 6y 3 Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente. P pxq 3y 3 2y 2 9 Paso 2: Restamos los polinomios. Qpxq 6y 3 6y 2 5 P pxq Qpxq p3y 3 2y 2 9q p6y 3 6y 2 5q Opción 1: Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos, esto hará que cambien todos los signos del polinomio que se esta restando. P pxq Qpxq 3y 3 2y 2 9 6y 3 6y 2 5 Juntamos los términos semejantes y los reducimos. P pxq Qpxq 3y 3 6y 3 2y 2 6y y 3 4y 2 14 Opción 2: También podemos restar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir. Recuerda que se deben de cambiar todos los signos del polinomio que se esta restando. 3y 3 2y 2 9 6y 3 6y 2 5 3y 3 4y 2 14 Ahora realiza la siguiente actividad. 26 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

27 Actividad 13 (Resta de polinomios). Realiza las siguientes restas de polinomios P(x)-Q(x): 1. P pxq 8k 2 5k 3 2. P pxq 3h 3 7h 2 2h Qpxq 2k 2 4k 2 Qpxq 4h 3 8h 2 3h 3. P pxq 7m 4 n 3 9m 3 n 5 2m 2 n 7 4. P pxq 6p 2 5p 10 Qpxq 4m 4 n 3 5m 3 n 5 7m 2 n 7 Qpxq 9p 2 4p 8 5. pa 2 b 3a 2 b 8q p5a 2 b 6a 2 b 2q 6. p8z 7 2z 5 z 3 q p 8z 7 9z 5 8z 3 q 7. p3x 2 4x 5q p 6x 2 7x 9q 8. p 7y 2 2y 1q p9y 2 2yx 2q 9. p 2 3 t2 1 4 t 2q p5 7 t2 2 4 t 7q 10. p5 8 w2 2 6 w 2 7 q p 5 7 w2 1 3 w 2 3 q CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 27

28 2.6. Multiplicación de monomios CAPÍTULO 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES 1 Para multiplicar dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los exponentes para la multiplicación: Ley de los signos p qp q p qp q p qp q p qp q mas por mas = mas mas por menos = menos menos por menos = mas menos por mas = menos Ley de los exponentes para la multiplicación x m x n x m n Al multiplicar dos literales si estas son iguales se suman sus exponentes y si son diferentes se queda expresada la multiplicación. Ejemplos: a) x 2 x 3 x 2 3 x 5 b)pa 5 b 6 qpa 4 b 2 q a 5 4 b 6 2 a 9 b 8 c) m 8 n 4 m 8 n 4 El procedimiento para la multiplicación de monomios consta de los siguientes pasos: 1. Aplicar la ley de los signos. 2. Multiplicar los coecientes numéricos. 3. Multiplicar las literales aplicando la ley de los exponentes. ŸŸ Ejemplo 2.7. Multiplica los siguientes monomios: a) p4a 2 qp 2a 5 q Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la multiplicación de sus coecientes y por ultimo se multiplican las literales aplicando la ley de los exponentes: a 2 a 5 a 2 5 a 7. p4a 2 qp 2a 5 q 8a 7 b) 9f 7 g 2 p2f 5 q Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la multiplicación de sus coecientes y por ultimo se multiplican las literales: f 7 g 2 f 5 f 7 5 g 2 f 12 g 2. 9f 7 g 2 p2f 5 q 18f 12 g 2 c)p 5m 4 n 3 qp 3m 2 nq Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q, por lo que el resultado tendrá 28 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

29 signo, seguido por la multiplicación de sus coecientes y por ultimo se multiplican las literales: m 4 n 3 m 2 n m 4 2 n 3 1 m 6 n 4. p 5m 4 n 3 qp 3m 2 nq 15m 6 n 4 d)p 3 4 x2 qp 2 5 x4 q Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la multiplicación de sus coecientes: Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador Se simplica la fracción y por ultimo se multiplican las literales: x 2 x 4 x 2 4 x 6. p 3 4 x2 qp 2 5 x4 q 3 10 x6 Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 29

30 Actividad 14 (Multiplicación de monomios). Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios: 1. 5a 2 p3a 8 q 2. p 4 5 k4 qp 1 3 k6 q 3. p 2 5 d6 qp 2 4 d4 q 4. 12x 7 p 6z 5 q 5. p2x 2 y 7 qp8x 3 y 8 q 6. p 3 6 z6 qp 2 6 z7 q 7. 8y 12 p 1 2 y7 q 8. p7mqp3m 5 qp5m 2 q 9. p15t 4 qp4t 8 qp 8t 5 q d7 p 3 4 d2 q 11. p 9p 4 qp12q 2 qp 6p 5 q 12. p9f 3 qp 12g 5 qp 8g 7 qp6f 4 q 2.7. Multiplicación de monomio por polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada termino del polinomio, siguiendo las mismas reglas de la multiplicación de monomios. ŸŸ Ejemplo 2.8. Multiplica los siguientes monomios por polinomios: 30 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

31 a) 6d 4 p5d 3 3d 2 d 9q Al multiplicar el monomio por cada termino del polinomio tenemos: 6d 4 p5d 3 3d 2 d 9q 6d 4 p5d 3 q 6d 4 p 3d 2 q 6d 4 p dq 6d 4 p 9q b) 2j 3 k 5 p4j 5 7j 4 k 2 3k 6 1q 30d 7 18d 6 6d 5 54d 4 2j 3 k 5 p4j 5 7j 4 k 2 3k 6 1q 2j 3 k 5 p4j 5 q 2j 3 k 5 p 7j 4 k 2 q 2j 3 k 5 p3k 6 q 2j 3 k 5 p1q c) 3 10 y6 p 3 5 y4 6 7 y2 5 8 q 8j 8 k 5 14j 7 k 7 6j 3 k 11 2j 3 k y6 p 5 y4 7 y2 8 q 10 y6 p 5 y4 q 3 10 y6 p 6 7 y2 q 9 50 y y y6 simplicando fracciones 9 50 y y y y6 p 5 8 q Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 31

32 Actividad 15 (Multiplicación de monomio por polinomio). Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios: 1. 3c 2 p4c 8 5c 3 q p2 q 3 p 3 5 p6 q p4 q 8 q g4 p 1 4 g6 2 3 g4 3 5 g2 q 4. 5m 7 p 8m 5 2n 2 9q 5. p6t 7 yqp 2 4 t3 y 2 0.5t 3 yq 6. p 2 6 z3 qp 1 3 z z2 3 8 zq w 3 p4.3w 4 5.2w 6.7q 8. p2a 2 b 4 c 3 qp 4a 6 b 2 c 8 5a 3 b 8 c 3 1q 9. p15k 4 qp3k 8 8k 5 q e3 p10e 12 24e 8 40e 7 q 11. p 6p 5 qp12q 2 6p 5 q 12. 3h 5 p 12g 5 8h 7 6i 4 q 2.8. Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio, después, si hay términos semejantes, se reducen y se ordena el resultado. ŸŸ Ejemplo 2.9. Multiplica los siguientes polinomios: 32 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

33 a) p 10m 3 2qp8m 6 3q Al multiplicar cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio tenemos: p 10m 3 2qp8m 3 3q 80m 6 30m 3 16m 3 6 reduciendo términos semejantes 80m 6 46m 3 6 b) p6x 2 5qp3x 3 7x 2 x 10q p6x 2 5qp3x 3 7x 2 x 10q 6x 2 p3x 3 7x 2 x 10q 5p3x 3 7x 2 x 10q 18x 5 42x 4 6x 3 60x 2 15x 3 35x 2 5x 50 reduciendo términos semejantes 18x 5 42x 4 21x 3 95x 2 5x 50 c) p 4a 5 b 3 5c 3 qp 3a 2 b 5 6c 4 q p 4a 5 b 3 5c 3 qp 3a 2 b 5 6c 4 q 4a 5 b 3 p 3a 2 b 5 6c 4 q 5c 3 p 3a 2 b 5 6c 4 q 12a 7 b 8 24a 5 b 3 c 4 15a 2 b 5 c 3 30c 7 Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 33

34 Actividad 16 (Multiplicación de polinomios). Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios: 1. p7c 9bqp3c 2bq 2. p 10k 3 2qp 4k 3 3q 3. p4n 3 7qp4n 3 7q 4. p 4 5 z3 2 7 z2 qp 3 8 z2 1 2 z3 q 5. p4g 2 9h 5 qp6g 4 2h 5 q 6. p 15m 2 n 4 3qp 12m 5 n 3 5q 7.p 4 5 x3 1 8 y4 qp 2 3 x3 2 7 y4 q 8. p5a 2 9b 5 qp3a 3 2b 4 q 9. p5d 3 e 4 6qp 8d 5 e 2 9q 10. p4p 6 q 5 3r 2 qp 8p 4 q 3 7r 6 q 11. p 3x 4 y 5 3qp2x 2 y 4xy 3 10q 12. p 3 6 v5 w xqp8 9 v3 w xq 34 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

35 2.9. División de monomios Para dividir dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los exponentes para la división: Ley de los signos para la división mas entre mas = mas mas entre menos = menos menos entre menos = mas menos entre mas = menos Ley de los exponentes para la división x m x n xm n Al dividir una literal entre otra literal si estas son iguales sus exponentes se restan y si son diferentes se queda expresada la división. Ejemplos: a) b6 b 2 b6 2 b 4 b) d5 e 3 d 2 e d5 2 e 3 1 d 3 e 2 c) m5 n 4 m5 n 4 cuando m>n cuando m=n Cuando dividimos literales iguales con potencias iguales, tendremos como resultado una literal con potencia cero, lo que equivale a la unidad. d) p4 p 4 p4 4 p 0 1 cuando m<n Cuando la potencia de la literal del dividendo sea menor que la potencia de la literal del divisor, tendremos como resultado una literal con potencia negativa, esto se puede escribir como el reciproco de la literal elevada a la potencia positiva. e) t2 t 7 t2 7 t 5 1 t 5 El procedimiento para la división de monomios consta de los siguientes pasos: CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 35

36 1. Aplicar la ley de los signos. 2. Dividir los coecientes numéricos. 3. Dividir las literales aplicando la ley de los exponentes. ŸŸ Ejemplo Divide los siguientes monomios: a) 12b6 4b 3 Al aplicar la ley de los signos tenemos que, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la división de sus coecientes y por ultimo se dividen las literales aplicando la ley de los exponentes: b6 b 3 b6 3 b 3. 12b 6 4b 3 3b3 b) p 20g 5 h 6 q p 5g 9 h 3 q Al aplicar la ley de los signos tenemos que, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la división de sus coecientes y por ultimo se dividen las literales: g5 h 6 g 9 h 3 g5 9 h 6 3 g 4 h 3 h3 g 4. p 20g 5 h 6 q p 5g 9 h 3 q 20g5 h 6 5g 9 h 3 4g 4 h 3 4h3 g 4 c) 4j2 k 9 8j 2 k 6 Al aplicar la ley de los signos tenemos que, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la división de sus coecientes y por ultimo se dividen 2 las literales: j2 k 9 j 2 k 6 j2 2 k 9 6 j 0 k 3 1k 3 k 3. 4j 2 k 9 8j 2 k k3 0.5k 3 d)p 2 3 x12 y 18 q p 6 8 x9 y 13 q Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q, por lo que el resultado tendrá signo, seguido por la división de sus coecientes: Se multiplica el numerador de la primer fracción por el denominador de la segunda fracción y el denominador de la primer fracción por el numerador de la segunda fracción. Se simplica la fracción CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

37 y por ultimo se dividen las literales: x12 y 18 x 9 y 13 x12 9 y x 7 y 5. p 2 3 x12 y 18 q p 6 8 x9 y 13 q 8 9 x7 y 5 Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 37

38 Actividad 17 (División de monomios). Realiza las siguientes divisiones de monomios: 1. 14c f 2. 7c4 5f 8 3. p 7 8 j5 k 9 q p 3 10 jk2 q 4. p18m 36 n 45 q p3m 36 n 26 q 5. 28p14 q 5 r 4 4p 8 q 2 r 4 6. p 5 6 t6 q p 1 7 t7 q 7. 6v6 w v 2 w 8. 3 x9 y 7 z x2 y 5 z f 5 g 3 6f 2 g p 50u 6 v 3 q p 20u 4 v 7 q h h p 16a 4 b 5 q p8a 6 q 38 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

39 2.10. División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada termino del polinomio entre el monomio, siguiendo las mismas reglas de la división de monomios. ŸŸ Ejemplo Divide los siguientes polinomios entre monomio: a) 20a6 10a 4 5a 3 Al dividir cada termino del polinomio entre el monomio tenemos: 20a 6 10a 4 5a 3 20a6 5a 3 10a4 5a 3 b) p 15j 6 k 5 21j 4 k 9 9j 2 k 4 q p3j 2 k 2 q 4a 3 2a p 15j 6 k 5 21j 4 k 9 9j 2 k 4 q p3j 2 k 2 q 15j6 k 5 21j 4 k 9 9j 2 k 4 3j 2 k 2 15j6 k 5 3j 2 k 2 21j 4 k 9 3j 2 k 2 9j2 k 4 3j 2 k 2 5j 4 k 3 7j 2 k 7 3j 0 k 2 5j 4 k 3 7j 2 k 7 3k 2 c) 49m5 n 4 28m 3 n 6 35m 2 n 3 7mn 4 49m 5 n 4 28m 3 n 6 35m 2 n 3 7mn 4 49m5 n 4 28m 3 n 6 7mn 4 7mn 4 35m2 n 3 7mn 4 Ahora realiza la siguiente actividad. 7m 4 n 0 4m 2 n 2 5mn 1 7m 4 4m 2 n 2 5m n CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 39

40 Actividad 18 (División de polinomio entre monomio). Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio: 1. 35a6 15a 4 5a 2 2. p 15b 7 c 5 24b 5 c 4 q p3b 3 c 2 q 3. 12c8 d 9 8c 6 d 12 4c 5 d 3 2c 4 d f 12 g 4 20f 8 g 7 f 6 g 9 4f 5 g 4 5. p 2 7 j9 4 5 j5 q p 1 3 j3 q 6. 8m5 n 4 4m 4 n 6 10m 2 n 2 4m 2 n p8 q 9 48p 6 q 13 12p 5 q 7 12p 4 q r7 1 4 r5 3 7 r3 9. p10t 6 v 5 8t 5 v 9 q p4t 2 vq 10. p15w 5 9w 3 24wq p3w 7 q x6 y x4 y x2 y x2 y y8 z 12 27y 5 z 9 63y 4 z 9z 6 40 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

41 2.11. División de polinomio entre polinomio La división de polinomio entre polinomio se realiza de manera similar a la división de números naturales. ŸŸ Ejemplo Divide los siguientes polinomios: a) px 3 x 2 1q px 1q Para realizar la división de un polinomio entre un polinomio se debe de realizar los siguientes pasos: Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente, es decir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno. Si falta algún término se deja el espacio que debería ocupar. x 1 x 3 x 2 1 Paso 2: Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor x 3 x x2, lo que nos dará uno de los términos del cociente. x 1 x 2 x 3 x 2 1 Paso 3: Se multiplica el término del cociente obtenido en el paso 2 por el divisor px 2 qpx 1q x 3 x 2, el producto obtenido se resta del dividendo, para restarlo se deben de cambiar los signos x 3 x 2 y se obtiene un nuevo dividendo. x 1 x 2 x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 Paso 4: Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el dividendo sea cero o hasta que en el dividendo se tenga una literal con potencia menor a la literal del divisor. Paso 2: Paso 3: x 1 x 2 2x x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 41

42 x 1 x 2 2x x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 2x 2 2x 2x 1 Paso 2: x 1 x 2 2x 2 x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 2x 2 2x 2x 1 Paso 3: Por tanto, el resultado es: x 1 x 2 2x 2 x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 2x 2 2x 2x 1 2x 2 px 3 x 2 1q px 1q x 2 2x 2 o dicho de otra manera: el cociente es x 2 2x 2 y el residuo x 1 Paso 5: Se comprueba que el resultado sea correcto, con base en la siguiente relación: Dividendo=(Cociente)(Divisor)+Residuo x 3 x 2 1 px 2 2x 2qpx 1q 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 2x 2 2x 2 2x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 b) px 2 8x 15q px 5q x 5 x 3 x 2 8x 15 x 2 5x 3x 15 3x CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

43 El cociente es x 3 y el residuo es 0 c) p6x 2 3x 12q p2x 7q 2x 7 El cociente es 3x 12 y el residuo es 96 3x 12 6x 2 3x 12 6x 2 21x 24x 12 24x Ahora realiza la siguiente actividad. CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 43

44 Actividad 19 (División de polinomio entre polinomio). Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio: x 3 4x 2 6x 3 x 2 x 3 2x x 4 20x 2 28x x 1 12x 2 20x 3 5. x 5 8x 3 46x 2 32x 4 6. x 10 x 2 12x x x 4 9x x 3 16x 3 24x 2 4x 6 44 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

45 CAPÍTULO 3 Operaciones fundamentales Productos notables aqui empieza... 45

46 3.2. Factorización aqui empieza... CAPÍTULO 3. OPERACIONES FUNDAMENTALES 2 46 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

47 CAPÍTULO 4 Ecuaciones lineales 4.1. Ecuaciones lineales con una incógnita sfdgfdgdf 47

48 CAPÍTULO 4. ECUACIONES LINEALES 4.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas aqui empieza CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

49 CAPÍTULO 5 Ecuaciones cuadraticas aqui empieza... 49