CURSO DE FORTALECIMIENTO A LA INGENIERÍA

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1 CURSO DE FORTALECIMIENTO A LA INGENIERÍA Tema 1: Lenguaje matemático Álgebra Notación algebraica Fórmulas Signos del álgebra (operación, relación, agrupación) Término, monomio, binomio, polinomio y grado Recta numérica Tema 2: Igualdades y desigualdades Igualdad algebraica Fórmula general Ecuaciones (definición, primero y segundo grado) Inecuaciones Tema 3: Factorización Definición Agrupación por término común Productos notables Cocientes notables Teorema del residuo Tema 4: Sistema cartesiano Evaluación de funciones Representación gráfica de las funciones Gráficas, aplicaciones prácticas Tema 5: Trigonometría Clasificación de los triángulos Funciones trigonométricas Teorema de Pitágoras Ley de senos y cosenos Identidades trigonométricas Tema 6: Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones base a Funciones base e Logaritmos (definición y propiedades) Tema 7: Sistemas de ecuaciones lineales Métodos de solución o Eliminación o Sustitución o Igualación o Determinantes 1

2 TEMA 1 LENGUAJE MATEMÁTICO ALGEBRA: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. En aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re presentar veinte o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque hay que dejar claro que en un problema, una letra no puede tomar un valor distinto al que se la ha asignado. Notación algebraica: Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d Se les designa como constantes. Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Son las llamadas variables. FORMULAS: Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Fórmula algebraica: es la representación por medio de letras de una regla o de un principio general. Así, para el área de un rectángulo ( que puede ser un terreno) se tiene: Área = base por altura. Algebraicamente: A = b x h Si b = 5 y h = 3 A = 5 x 3 = 15 Pero si b = 7 y h = 4 A = 7 x 4 = 28 2

3 SIGNOS DEL ALGEBRA. Los signos empleados en álgebra son de tres clases: Signos de Operación, Signos de Relación y signos de Agrupación. Signos de Operación: Son los empleados para las operaciones aritméticas. Suma: + que se lee más: a + b Resta: - que se lee menos: a b Multiplicación: x que se lee multiplicado por, o simplemente por: a x b. En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores a b División: que se lee dividido entre, o simplemente entre. a b. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así, a b El signo de elevación a potencia es el exponente, un número pequeño colocado arriba y a la derecha: a 3 a a a El signo de raíz: que se lee raíz cúbica de c llamado signo radical, que se lee raíz cuadrada de c, o bien Signos de relación: Indican la relación existente entre dos cantidades. El signo de igualdad: = que se lee igual a. a = b El signo mayor: > que se lee mayor que. a > m El signo menor: < que se lee menor que. c < n Signos de agrupación: Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { }. Así, (a + b)c indica que la suma de a y b debe multiplicarse por c. [a c]m indica que c debe restarse de a y el resultado multiplicado por m. 3

4 {a + b} {c d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. Cantidades Positivas y Negativas. En álgebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser de la cantidad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo menos a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior y se les nombra cantidades negativas. Así, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo menos. Por ejemplo una persona que posee $100 de haber diremos que tiene positivos $100, mientras que para expresar que debe $100 diremos que tiene -$100. En temperaturas, los grados por encima del cero se designan como positivas y los grados bajo cero con el signo menos. De esta manera para indicar que el termómetro marca 10 sobre cero escribiremos +10 y para indicar que marca 8 bajo cero, se escribe -8 La fijación del sentido positivo, depende de nuestra voluntad, es decir que podemos tomar como sentido positivo el que queramos, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a este será el negativo. Así, hacia le derecha se considera comúnmente el + y hacia la izquierda será el -. Cero es la ausencia de cantidad. Las cantidades positivas son mayores que cero y las negativas menores que cero. Esto se representa mediante la llamada recta numérica Valor Absoluto y relativo: Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad y valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo. Las cantidades +7 y -7 tienen el mismo valor absoluto pero su valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero. Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo 3b, 2xy, -4a 2 b. 4

5 Clasificación de las expresiones algebraicas. Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término 3a, -5b, x 2 y 4 a 3. Binomio: Es una expresión algebraica que consta de dos términos: a + b, x-y Trinomio: Es una expresión algebraica que consta de tres términos. a + b + c, x 2-5x + 6, 5x 2 6y 3 + 3a 2 Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de mas de un término, por lo que desde binomio en adelante también se pueden considerar polinomios. a + b, a + b + c El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así x 4-5x 3 + x 2-3x el grado mayor de sus términos es el cuatro, luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto. CLASIFIQUE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 5a a 3 + a 2-5 Monomio de primer grado Trinomio de tercer grado x 4 + 4x 3 6x 2-4x Polinomio de cuarto grado Resuelva: Una persona recibe como salario $2500. Paga de tarjeta de crédito $600. Abona en la mueblería $300 y gasta $900 en la despensa. Cuánto es su saldo al final del día? Considerando positivo lo que recibe su salario y negativo lo que paga: Sl = 2500, Tc = -600, Am = -300, D = -900 Saldo =

6 Saldo = 700 Al final del día cuenta con $ El campo eléctrico se define como la fuerza que una carga eléctrica puede ejercer sobre una partícula de prueba positiva. Por ello una carga eléctrica tiene como campo eléctrico fuerzas salientes de la partícula pues repele a la carga de prueba, mientras que una carga eléctrica negativa por atraer a la partícula de prueba, tendrá fuerzas entrantes. TEMA 2 6

7 IGUALDADES Y DESIGUALDADES. Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. a = b + c 3x 2 = 4x + 15 Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades des conocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de la incógnita. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto, u, v, w, x, y,z. Así, 5x + 2 = 17 es una ecuación porque es una igualdad en que hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3, ya que al sustituir x por 3 se tiene 5(3) + 2 = 17 Si se da a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera. La igualdad y 2 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para y = 2 e y = 3. En efecto, sustituyendo la y por 2, resulta: 2 2 5(2) = = = - 6 Sustituyendo la y por 3, tenemos: 3 2 5(3) = = = - 6 MIEMBROS Y TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN. Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro a la expresión que está a la derecha. Así en la ecuación: 3x 5 = 2x 3, 3x 5 es el primer miembro y 2x 3 es el segundo miembro. 7

8 Términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro. Así en la ecuación: 3x 5 = 2x 3, 3x, -5, 2x y -3, son los términos de la ecuación. CLASES DE ECUACIONES. Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como 4x 5 = x + 4 donde la única letra es la incógnita x. Una ecuación literal es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidades conocidas, como 3x + 2a = 5b bx. Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador, como en los ejemplos anteriores y es fraccionaria cuando alguno o todos sus términos tienen denominador, como: 3 x 2 6 x 5 5 x 5 El GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así: 4x 6 = 3x -1 y ax + b = b 2 x + c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales La ecuación x 2 5 x + 6 = 0 Es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de segundo grado se llaman ecuaciones cuadráticas. RAÍCES O SOLUCIONES. Los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas convierten la ecuación en identidad se llaman raíces o soluciones de la ecuación. 8

9 Así en la ecuación 5x 6 = 3x + 8 la raíz es 7 porque al sustituir 5(7) 6 = 3(7) = = 29 Y vemos que 7 satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz. Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación. AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES. Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA. 1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste. LA TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro. REGLA: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. 9

10 5x = 2a b Sumando b: 5x + b = 2a b + b 5x + b = 2a 3x + b = 2a Restando b: 3x + b b = 2a b 3x = 2a b Términos iguales con signos iguales en distintos miembros de una ecuación, pueden suprimirse. x + b = 2a + b Restando b: x + b -b = 2a + b b x = 2a 5x x 2 = 4x x Sumando x 2 : 5x x 2 + x 2 = 4x x 2 + x CAMBIO DE SIGNOS. 5x = 4x +5 Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por - 1, con lo cual la igualdad no varía. -2x 3 = x 15-1(-2x 3) = -1(x 15) 2x + 3 = - x

11 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. REGLA GENERAL. 1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. 2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3) Se reducen términos semejantes en cada miembro. 4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita Resolver la ecuación 3x 5 = x + 3 3x x = x = 8 x =(8/2) x = 4 Resolver las siguientes ecuaciones x x = x x -18x + 30x = x = 5 x = (5/-10) x 2 1 y 5 = 3 y = 3y - y 15 = 2y y

12 Antonio tiene 14 años menos que Benito y ambas edades suman 56 años. Qué edad tiene cada uno? Siendo x la edad de Benito, la edad de de Antonio será x 14, y la ecuación será x + x 14 = 56 2x = x = 70 x = 35 Es la edad de Benito y x 14 = 21 Es la Antonio Resolver la ecuación: 8x -15x - 30 x -51x = 53x + 31x x 15 x 30 x 51 x 53 x 31 x 172 x( ) 172 x 172 ( ) x x x x 12

13 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA. Toda ecuación en la cual una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2, se conoce como ecuación de segundo grado. Así 4x 2 +7x + 6 = 0 Es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0 Por ejemplo: 2x 2 + 7x -15 = 0 y x 2-8x + 15 = 0 Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 +c = 0 o bien a 2 + bx = 0. Por ejemplo: x 2 16 = 0 y 3x 2 + 5x = 0 RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Resolver una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la ecuación. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. La ecuación es ax 2 + bx + c = 0 Multiplicando por 4a 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 Sumando b 2 a los dos miembros 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2 Pasando 4ac al segundo miembro Factorizando el primer miembro 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2-4ac Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros 2ax + b = ± b2 4 ac Transponiendo b 2ax = - b ± b2 4 ac Despejando x x b± b 2 4 ac 2 a 13

14 Fórmula que da las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0, porque en un caso se suma el radical y en otro se resta. Resolver la ecuación 3x 2 7x + 2 = 0 Aplicando la fórmula x b± b 2 4 ac 2 a, se tiene que a = 3, b = -7 y c =2 x ( 7) ± ( 7) La primera raíz se obtiene con el valor positivo de radical: x x X1 = 2 La segunda raíz se obtiene con el valor negativo de la raíz: x x x 1 1 x

15 Resolver la ecuación: 6x 2 = x +222 Transponiendo los términos del segundo al primer miembro para darle forma a la ecuación: 6x 2 x 222 = 0 a = 6 b = -1 y c = -222 x ( 1) ± ( 1) 4 6 ( 222 ) 2 6 x x x La segunda raíz es: x x x

16 Una aplicación de las ecuaciones de segundo grado es el movimiento de objetos. Un objeto se mueve verticalmente de acuerdo a la ecuación sy = 60t 16t 2 estando sy en pies y t en segundos. Calcule el tiempo en que la posición es de 10 pies. Sustituyendo el valor de 10 pies para sy. 10 = 60t 16t 2 Dando forma a la ecuación: 16 t 2 60 t + 10 = 0 a = 16, b = - 60, c = ( 60 ) ( 10 ) t t ( 60 ) ( 10 ) t t Son los valores de tiempo para los que la posición del objeto será de 10 pies. 16

17 Resolver la ecuación 32x 2 +18x -17 = 0 a =32, b = 18, c = ( 17 ) x ( 17 ) x x x x 2 18x x 17

18 DESIGUALDADES. INECUACIONES. Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es positiva. Así, 4 es mayor que 2 porque la diferencia 4-(-2) = = 6 es positiva; -1 es mayor que -3 porque la diferencia -1 (-3) = = 2 es positiva. Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia -1-1 = - 2 es negativa; - 4 es menor que -3 porque la diferencia -4 (-3) = = -1 es negativa. De acuerdo a lo anterior cero es mayor que cualquier cantidad negativa. Así cero es mayor que -1 porque 0- (-1) = 1, cantidad positiva. DESIGUALDAD es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Los signos de desigualdad son >, que se lee como mayor que, y <, que se lee como menor que. Así 5>3, que se lee 5 mayor que 3; -4 < -2 se lee -4 menor que -2. MIEMBROS. Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo segundo miembro a la que está a la derecha del signo de la desigualdad. Así, en a + b > c d, el primer miembro es a + b y el segundo c d. TÉRMINOS de una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras por el signo + o o la cantidad que está sola en un miembro. Así en la desigualdad anterior los términos son a, b, c y d. Dos desigualdades son del mismo signo o susbsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos que los segundos. Así a > b y c>d son desigualdades del mismo sentido. Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. 1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Así, dada la desigualdad a > b, podemos escribir: a + c > b + c y a c > b c 18

19 CONSECUENCIA. Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo. Así, en la desigualdad a > b + c, podemos pasar c al primer miembro con signo menos y quedará a c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros. En la desigualdad a - b > c, podemos pasar b al segundo miembro con signo mas y quedará a > c + b, porque equivale a sumar b a los dos miembros. 2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Así, dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, se puede escribir ac > bc y a b c c CONSECUENCIA. Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Así en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por c, tendremos - ac < - bc, y dividiéndolos por c, o sea multiplicando por c 1, tenemos a c c b. CONSECUENCIA: Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por 1. Así en la desigualdad a b > -c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos b - a < c 19

20 4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, a > b, es evidente que b < a. 5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo Así, siendo a > b se tiene 1 1 a b 6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, siendo 5 > 3, elevando al cuadrado: 5 2 > 3 2 o sea 25 > 9. 7) Si los dos miembros, o uno de ellos es negativo, y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, -3 > -5, elevando al cubo: (-3) 3 > (-5) 3 o sea - 27 > > - 2, elevando al cubo: 2 3 > (-2) 3 o sea 8 > ) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia. Así. - 3 > - 5, elevando al cuadrado: (-3) 2 = 9 y (-5) 2 = 25 y queda 9 > 25 9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positivo, el signo de la desigualdad puede cambiar. Así, 3 > - 5, elevando al cuadrado: 3 2 = 9 y (-5) 2 = 25 y queda 9< 25, cambia. 8 > -2, elevando al cuadrado: 8 2 = 64 y (-2) 2 = 4 y queda 64 > 4 No cambia. 10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, a > b y n es positivo, tendremos n n a b. 11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Así, si a > b y c > d, tendremos: a + c > b + d y ac > bd. 12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. 20

21 Así, 10 > 8 y 5 > 2, restando miembro a miembro: 10 5 = 5 y 8 2 = 6; luego 5 < 6; cambia el signo. Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4, tenemos: ; por lo tanto queda 2 = 2, igualdad. INECUACIONES. Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición. Así, la desigualdad 2x 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y solo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto, para x = 8 se convertiría en igualdad y para x < 8 se convertiría en una desigualdad de signo contrario = = 4 y = = 13 4 < 12 Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES. La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de las mismas se derivan. Resolver la inecuación 2x -3 > x + 5 Pasando la x al primer miembro y 3 al segundo: 2x x > Reduciendo: x > 8 8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada solo se verifica para los valores de x mayores que 8 INECUACIONES SIMULTÁNEAS. Son inecuaciones que tienen soluciones comunes 21

22 Hallar que valores de x satisfacen las inecuaciones: 2x 4 > 6 y 3x + 5 >14 Para la primera: 2x 4 > 6 Para la segunda: 3x + 5 > 14 2x > x > 14 5 x 10 2 x 9 3 x 5 x 3 El valor que satisface a las dos es x > 5 pues cualquier valor mayor a 5 será mayor que 3, y se satisfacen ambas inecuaciones. Resolver la inecuación 7 x 5 x Suprimiendo denominadores, multiplicando por 6: 42-3x > 10x -36 Transponiendo: -3x -10x > Simplificando: -13x > -78 Para cambiar el signo se multiplica por -1 y con ello se invierte la desigualdad Dividiendo por 13 x x 6 13 x< 78 La desigualdad se verifica para los valores de x menores que 6. Resolver la inecuación (x + 3)(x 1) < (x -1) x Efectuando las operaciones indicadas: x 2 + 2x 3 < x 2 2x x 22

23 Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x - 3x < Simplificando: x < 4 4 es el límite superior de x. Resolver la inecuación: 2 x 5 x x 5 3 x 35 3 x x 10 x x x 35 x 35 x 7 5 El l valor inferior de x es 7 Hallar el límite de las soluciones comunes a 5 x > - 6 y 2x + 9 > 3x - x >-6 5-3x + 2x > 9 -x > x > - 9 x < 11 x < 9 El valor que cumple con ambas desigualdades es x < 9 Las inecuaciones se aplican para determinar el rango de una función. 23

24 Su representación es: x

25 RESOLVER LAS ECUACIONES SIGUIENTES: x 2-8x + 16 = 0 Esta ecuación se puede factorizar como: (x 4) 2 = 0 (x 4) (x 4) = 0 (x 4) = 0 x = 4 Y la solución única es x = 4 x 2-81 = 0 Se puede factorizar como: (x + 9)(x 9) = 0 x + 9 = 0 x 9 = 0 x1 = - 9 Es una raíz x2 = 9 Es la segunda raíz. x 2 3x + 2 = 0 Se puede factorizar como: (x 2)(x 1) = 0 x - 2 = 0 x 1 = 0 x = 2 Es la primera raíz. x = 1 Es la segunda raíz. 25

26 Estos ejemplos pretenden mostrar la importancia de la factorización. Temas que se estudiarán enseguida LINEA SECANTE x 2 3 x x 6 x 2 5 x LINEA TANGENTE x LINEA TANGENTE Para la línea secante hay un incremento en x y un incremento en ye x = x2 x1 y = y2 y1 La distancia entre los dos puntos, con teorema de Pitágoras es: d 2 = (x2 x1) 2 + (y2 y1) 2 = (x1 x2) 2 + (y1 y2) 2 d x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 Y el cociente de los incremento y y x es conocido como la pendiente, m: m y x Siendo b la ordenada al origen, la ecuación de la recta se escribe como y = mx + b 26

27 TEMA 3 FACTORIZACIÓN 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 Factorizar o descomponer en dos factores Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible: Factorizar o descomponer en dos factores Factorizar: Factorice ordenando previamente, si es posible, las expresiones siguientes: 55

56 Descomponer en dos factores: Hallar por simple inspección, el cociente de: Hallar por simple inspección, el cociente de: Hallar por simple inspección, el cociente de: Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir: Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes: 56

57 TEMA 4 SISTEMA CARTESIANO 57

58 58

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60 60

61 61

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63 63

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70 Construya la gráfica de la función y = x 2 con un rango de valores entre 5 y 5. Para iniciar construimos una tabla para obtener los valores de y que corresponden a cada valor de x con una variación de 0.5, para que la grafica sea más precisa, en la forma siguiente: 70

71 EVALUACIÓN SISTEMA CARTESIANO: Determine gráficamente los puntos: (1,2), ( 3.0), ( 4, 3) Trazar la línea que pasa por los puntos: (1,2) y (3,4). Dibuje el cuadrado cuyos vértices son: (4,4), (-4,4), (-4,-4) y (4,-4). Construya la gráfica de las ecuaciones y = 3x + 4, y = x 2. 71