MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES ALGEBRA

Transcripción

1 MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES ALGEBRA ALGEBRA: es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como reducción o cotejo. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Conjunto de números y de símbolos ligados entre sí por los signos de las operaciones del álgebra y que no contiene más funciones que aquéllas que pueden calcularse con las operaciones del álgebra (suma, multiplicación y sus inversas). Termino algebraico Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales. En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye variables). SIGNO Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo. COEFICIENTE Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad. PARTE LITERAL La parte literal está formada por las letras que haya en el término. EXPONENTE Es el número que aparece en la parte superior derecha (superíndice) de los coeficientes o de las variables. El valor unitario del exponente no se acostumbra a denotarlo GRADO

2 El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x 3 y 2 z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x. CARACTERÍSTICAS DEL MONOMIO Igualmente, los rasgos y circunstancias específicas de cada uno de estos elementos, generan a su vez características específicas del monomio, las cuales pueden resumirse de la siguiente forma: El monomio solo podrá ser considerado como tal si la literal cuenta con exponentes enteros positivos. Entre los números y literales no se podrá en ningún momento encontrar relaciones de suma, resta o división. En un monomio las únicas operaciones permitidas son las de multiplicación (la cual tiene lugar entre el coeficiente y el literal) y la de potenciación (planteada entre el literal y su exponente). De igual manera, si el exponente no llegara a aparecer expresado, el Álgebra Elemental asume que éste es equivalente a 1. Por otro lado, si el monomio tampoco llega a contar con un elemento numérico explícito, se asume que éste es equivalente a 1. Finalmente, se entiende que el monomio es una expresión algebraica elemental, que junto a otros monomios puede formar expresiones algebraicas mucho más complejas, como por ejemplo el polinomio, el cual puede ser definido entonces como una suma finita de monomios. GRADO DE UN MONOMIO Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: Cuál es el grado de:? Cuál es el grado de:?

3 Cuál es el grado de:? Realiza el llenado de la siguiente tabla EXPRESION ALGEBRAICA SIGNO COEFICIENTE VARIABLE EXPONENTE GRADO 3x 3 2xy 3 z x yz 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z x yz 3x 2 6 x 2 2x 3 25x 2 20x x 6y 2 xy x 3 y 4 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES. Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes. y y y y son términos semejantes. son términos semejantes. no son términos semejantes. no son términos semejantes. Monomios Términos Explicación 3x 14x 16xyz 2-5xyz 2 semejante semejante las mismas variables con los mismos exponentes las mismas variables con los mismos exponentes

4 3x 5y -3z -3z 2 no semejante no semejante diferentes variables con los mismos exponentes las mismas variables con diferentes exponentes REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes: a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo Reducir las siguientes expresiones b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo Reducir las siguientes expresiones c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos los términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo Reducir 5a -8a +a -6a + 21a Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a

5 Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a Ejemplo Reducir Reduciendo los positivos: Reduciendo los negativos: Tendremos: ORDENAR UN POLINOMIO Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su grado: EJEMPLOS: Ordena el polinomio: ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena. Ejemplo: Ordena respecto a x, el polinomio: Ordena con respecto a z :

6 SUMA O ADICION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Procedimiento. Dada la suma de los polinomios: a -b, 2a +3b -c, -4a +5b se puede proceder de dos maneras : Primera. 1 Se colocan los términos de los sumandos, unos a continuación del anterior con sus propios signos, así: a -b +2a +3b -c -4a +5b 2 Se ordenan por términos semejantes siempre unos a continuación de los otros: a +2a -4a -b +3b +5b -c 3 Se procede a sumar los términos semejantes, lo que quedaría así: -a +7b -c Resultado. Segunda. 1 Se colocan el primer sumando y a continuación debajo el segundo sumando y luego el tercer sumando. Colocando siempre los términos semejantes uno abajo del otro. Los que no tienen semejantes quedarán solos.. a b. 2a +3b -c 4a +5b.. -a +7b -c Es el Resultado. RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma. Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. Tenemos entonces que: Ejemplo: si tenemos (8x) (6x) = a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico. (8x) + (-6x) = b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma. (8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x ab (-8 ab) x (-3 x) 3. 8cg 2 (16 cg 2 )

7 Solución: ab x cg 2 Resta de polinomios. Para restar polinomios se hace lo siguiente: a) Se convierte la resta en suma cambiando los signos de cada uno de los términos del sustraendo. b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal. Ejemplo: 1. Supongamos que deseas hacer la resta de ( -8x 3 + 3x 2x 2 ) (4x 2 + 8x 3-7) a) Se convierte la resta en suma suprimiendo el paréntesis que es precedido por el signo. (-8x 3 + 3x 2x 2 ) - (4x 2 +8x 3-7) (-8x 3 + 3x 2x 2 ) + (-4x 2-8x 3 + 7) 2. (2a 7b + 4c) (-3a 5b + 4c) = (2a 7b + 4c) + (3a + 5b - 4c) = Ejercicios: 1) (6x 2 6x 3 + 5x) (-4 + 6x 2 3x 3 ) 2) (4x + 8y 9z) (-5x +y z) 3) -(-5x + 7x x 2 ) (-9 + 3x -2x 2 5x 3 ) Solución: 1) 3x 3 + 5x + 4 2) 9x + 7y 8z 3) 2x 3 + 2x +13 Sumas y restas combinadas En ocasiones es frecuente encontrar sumas y restas combinadas, por lo cual se deben llevar a cabo los siguientes pasos para realizar las operaciones de una forma más fácil. a) Se eliminan los paréntesis. b) Se suman los términos semejantes, tomando columnas, ordenando los polinomios. Ejemplos: 1) (3x 3 5x 2 + 4x -8) (-7x + 9x x 2 ) + (-7 + 8x 4x 3 ) a) Se eliminan los paréntesis precedidos por el signo por lo que en este caso sólo cambiaremos los signos de los términos del segundo paréntesis y los demás quedan igual. (3x 3 5x 2 + 4x -8) + (+7x - 9x x 2 ) + (-7 + 8x 4x 3 ) b) Se forman columnas con los polinomios ordenados en forma decreciente y sumamos los términos semejantes. 2) -[-5 x 3 + (3x 2 2x x 2 )] Primero eliminamos los paréntesis internos. -[- 5x 3 + (3x 2 2x x 2 )]

8 Ahora eliminamos el paréntesis exterior y formamos columnas con los términos semejantes para sumar sus coeficientes. [ + 5x 3 3x 2 +2x x 2 ] MULTIPLICACION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Se coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador y seguidamente multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. Debes tener en cuenta: 1.- La ley de los signos. 2.- Producto de potencias de la misma base se suman los exponentes. Calcula el producto siguiente:

9 Calcula: PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR OTRO POLINOMIO. a) Escribes el multiplicando y debajo el multiplicador y trazas una raya por debajo de estas dos líneas. b) Multiplicas cada término del multiplicador por cada uno del multiplicando. Primero multiplicamos por a a cada término del multiplicando, comenzando por delante (de izquierda a derecha)

10 c) Cuando acabas de multiplicar el primer término del multiplicador por cada uno del multiplicando pasas a otra línea más abajo y en ésta, vas colocando los resultados haciendo coincidir los términos semejantes. Pasamos a multiplicar por b a cada término del multiplicando, comenzando por delante (de izquierda a derecha) d) Trazamos una raya horizontal y sumamos los términos semejantes comenzando por la izquierda: EJEMPLOS: Multiplica (x+3) por (x+5): Respuesta: Solución: Multiplica (2x-5)(3x-2)

11 Respuesta: Solución: Multiplica Respuesta: Solución: Respuesta: Solución:

12 Multiplica (a+b+c)(a+b-c) Respuesta: Solución: Ten en cuenta: 1) Guarda el orden alfabético de la parte literal después de calcular el producto 2) Coloca los términos semejantes en la misma columna y si no coinciden escribe el término calculado más a la derecha. Multiplica (a b c)(a b + c) Multiplica

13 Multiplica Multiplica (a + b)(a + b)(a + b) DIVISION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos, se cumplirá que Si el residuo no fuera igual a cero, entonces: Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+) (+)=+ ( ) ( )=+ (+) ( )= ( ) (+)= DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos. E J E M P L O : Dividir SOLUCIÓN:

14 E J E M P L O : Dividir SOLUCIÓN: E J E M P L O : Dividir SOLUCIÓN: En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos: a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. E J E M P L O : Dividir DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. E J E M P L O : Dividir SOLUCIÓN: E J E M P L O : Dividir SOLUCIÓN:

15 E J E M P L O : Dividir DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. E J E M P L O : Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

16 A continuación se ha dividido el primer término del dividendo,, entre el primer término del divisor,, obteniéndose, por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose como resultado, que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto. Después se ha dividido entre obteniéndose como cociente, que es el segundo término del cociente. Multiplicando por todos los términos del divisor que se obtiene como resultado, que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto Finalmente se ha dividido entre, obteniéndose como cociente. Multiplicando por todos los términos del divisor se obtiene como producto, que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división. E J E M P L O : Dividir: SOLUCIÓN: E J E M P L O : Dividir:

17 SOLUCIÓN: E J E M P L O : Dividir: SOLUCIÓN: Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando: a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del divisor. b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor. c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del divisor

18 Realiza las sumas y restas de monomios. a) 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = b) 2x 3 5x 3 = c) 3x 4 2x 4 + 7x 4 = d) 2a 2 bc 3 5a 2 bc 3 + 3a 2 bc 3 2 a 2 bc 3 = Efectúa los productos de monomios. a) (2x 3 ) (5x 3 ) = b) (12x 3 ) (4x) = c) 5 (2x 2 y 3 z) = d) (5x 2 y 3 z) (2y 2 z 2 ) = e) (18x 3 y 2 z 5 ) (6x 3 yz 2 ) = f) ( 2x 3 ) ( 5x) ( 3x 2 ) = Realiza las divisiones de monomios. a) (12x 3 ) : (4x) = b) (18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 yz 2 ) = c) (36x 3 y 7 z 4 ) : (12x 2 y 2 ) = d) e) f) Resolver los siguientes ejercicios (x 5 + 3x 4 2x 3 4x 2 x + 4) : (x 3 + 2x 2 x + 2) (2x 4 + 2x 3 x 2 + x+ 4) : (x x + 2) ( 4x 3 + 2x 2 + x+ 1) : (2x 2 3x + 2) (2x 4 4x 3 + 3x 2 x + 1) : ( x ) (4 + 2x 3 + 6x 4 ) : ( 2x 3 + 2) (2x 5 4x 3 + 3x 2 1) : ( 2 x x 3 ) (-3x 2 y x 2 y 2-6x 3 y 3 ) (5x 4 y + 8x - 2x 3 y 10) (-9x 2 + x + 5x 4 ) (3-2x 2 ) (x + 5) (x - 3) (x + 5) (x - 3) (-9x 3 + x + 4x 5 ) (3x 2 + 2x x 3 + 5x )} (-9x 3 ).(+3x 2 ) = -27x 5 (-9x 3 ).(+2x 4 ) = -18x 7 (-9x 3 ).(-8) = +72x 3 (-9x 3 ).(-x 3 ) = +9x 6 (-9x 3 ).(+5x) = -45x 4 (-x).(+3x 2 ) = -3x 3 (-x).(+2x 4 ) = -2x 5 (-x).(-8) = +8x

19 (-x).(-x 3 ) = +x 4 (-x).(+5x) = -5x 2 (REPASO DE LO QUE YA HEMOS VISTO Y NUEVOS TEMAS) Grupos 101, 102, 103, 104 Nota: Resuelve los ejercicios del libro de acuerdo a los temas expuestos