MATEMÁTICAS I MOMENTO 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES)

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1 1 MATEMÁTICAS I MOMENTO 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) Introducción: El alumno comprenderá qué estudia el álgebra, así como algunas definiciones importantes como son: expresión algebraica y término algebraico; ejemplificando cada una de las definiciones. Se clasificarán las expresiones algebraicas según el número de términos que lo componen y se aplicarán estos conocimientos para la reducción de términos semejantes. Objetivo: Resolver ejercicios y problemas por medio de términos semejantes. Desarrollo: 1.- Definiciones Fundamentales. {Reducción de términos semejantes} Algebra: Rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos aritméticos para efectuar cálculos y resolver problemas por medio de la combinación de números y letras. Expresión algebraica: Combinación de números, letras y signos de operación. Ejemplos: 3x2 + 8x -7x2 + yz3 43xy (4/7) x5y x + y2-3 Término algebraico: Parte de una expresión algebraica separada por los signos + o -. Ejemplos: 3x2 + 6x Los términos son 3x2 y 6x xy 7x8y6 Los términos son -5, 3xy y 7x8y6 Clasificación de expresiones algebraicas según el número de términos: Monomio: 15x3 Binomio: 4m4 7m2 Trinomio: -8n3 + 11n + 4 Polinomio: 17y6 45y4 + 5y3 102y +17 Multinomio: 26x2y3 31x3y2 x4y + 4 Términos semejantes: Dos o más términos algebraicos numéricos que difieren únicamente en el coeficiente, pues los demás factores son idénticos o iguales. Ejemplos: 3x y -5x (-3/5)x5 y 8x5 3yx2, -5x2y y (5/7)x2y Reducción de términos semejantes: Pasos para reducir términos semejantes: 1. Localice los términos semejantes (subráyelos, márquelos con otro color, enciérrelos en un círculo o cuadrado, etc.) 2. Colóquelos en columna, cada cual con su semejante. 3. Súmelos o réstelos según las siguientes reglas: 1. Términos de signos iguales se suman 2. Términos de signos diferentes se restan colocando a la izquierda del término el signo del coeficiente más grande Ordene los términos. 1. De acuerdo a una variable, literal o letra.(según abecedario)

2 2. De acuerdo a la variable, ordenar de mayor a menor exponente. Ejemplos: Reduzca las siguientes expresiones algebraicas: 1. 3x2 2x + 5; -4x x; 8x2 2x m2 + 21mn 7m2 35mn + m3 m2-11m2 + m xm+2 4ym ym+2 + 6xm xm+2 5ym+3 2

3 Ejercicios de tarea: 1. 8a 6b 9b + 6a 2. 15x 21y 25x 6 27y x2y 0.7xy x2y 2.4x2y 0.2xy2 4. 3x5 2x4 + 5x2 + x 3; -6x4 + 3x3 12x2 12x + 5; -3x3 + 2x2 3x 4 3

4 mn2 + 4mn 4; 32mn2 6mn + 6; 8n2m 3mn x3y 13x2y x3y5 + 20x2y3 15x2y5 33; 15x3y5 + 22x2y3 7. 5a2 6ab +8a ab 33 15ab 3a2 8. 2xy 3x2y x3y7 13xy3 + 12x2y x2y5 + 12x3y5 9. (1/2)a + (2/3)b 2a + 3b (3/4)b (5/3)a a 4b xy + 23x2y 21x3y2 12x3y xy x2y x3y2 Resumen: En esta sesión se definió el procedimiento para poder hacer operaciones algebraicas con el método de reducción de términos semejantes, introduciendo y ejercitando al alumno para poder seguir avanzando en la siguiente sesión con operaciones más avanzadas. MOMENTO 2 REPASO DE OPERACIONES CON FRACCIONES Introducción: El alumno recordará como hacer operaciones con fracciones para poder aplicar estos conocimientos a las operaciones algebraicas con fracciones. Objetivo: Repasar operaciones aritméticas con números fraccionarios con ayuda de ejemplos. Desarrollo:

5 5

6 6

7 7

8 8 Resumen: Por medio de ejemplos se solucionan operaciones aritméticas con fracciones para poder pasar a resolver operaciones algebraicas.

9 MOMENTO 3 REPASO OPERACIONES CON FRACCIONES Introducción: El alumno recordará como hacer operaciones de multiplicación y división con fracciones para poder aplicar estos conocimientos a las operaciones algebraicas. Objetivo: Repasar operaciones aritméticas con números fraccionarios con ayuda de ejemplos. Desarrollo: 9

10 10

11 11 Resumen: Por medio de ejemplos se solucionan operaciones aritméticas con fracciones para poder pasar a resolver operaciones algebraicas.

12 12 MOMENTO 4 SUMA Y RESTA ALGEBRAICA Introducción: En esta sesión veremos los métodos de adición y sustracción algebraica para que el alumno tenga las herramientas necesarias para resolver problemas por estos métodos. Objetivo: El alumno será capaz de hacer operaciones algebraicas y solucionar problemas por los métodos de suma o adición y resta o sustracción algebraicas. Desarrollo: 2.- Adición y Sustracción Algebraica. a. Suma o Adición. La adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica. b. Resta o Sustracción La sustracción es una operación que tiene por objeto hallar el sumando faltante (diferencia) cuando se conoce uno de los sumandos (sustraendo) y la suma de dos de ellos (minuendo) Pasos para sumar o restar expresiones algebraicas: 1. Elimine paréntesis, sí los hay. Para eliminar un paréntesis que esté precedido por un signo (- ), es necesario cambiar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si el paréntesis esta precedido de un signo (+) los signos de los términos que están dentro del paréntesis no cambian. 2. Identifique los términos semejantes (y siga con los pasos para la solución de términos semejantes descritos anteriormente). Ejemplos: 1. (11x 3y + 2a) (3x -4y +a) 2. (3a 2b + c2) + 4a + 6b 9c2) 3. (ab 5bc + c) + (7ab 8bc + 4c)

13 Ejercicios de tarea: 1. (3x + y 1) + (2x 5y 9) + (3 x 8xy) 2. (-4x2 6) (-5x3 11x2 + 5) + (x2 + 4x 3) 3. x2 2x + 6 (5x 3 + 6x2) (x2 4x + 6) 13

14 14 4. Resta 42x2 + 68y2 + 72z2 de la suma de 86x2 (7z2 + 51y2 + 94z2) 5. De 4b2 8b2 b + 6 restar b3 + b2 + b Sumar x5 3x3y2 5xy4; 5x4y + 3x2y3 3y5; 3x3y2 6xy4 7y5; 3x2 + 3x xy2 5xy 8 (3xy2 6xy 28) + 12xy2 + 3xy Restar 35x + 15x3 8x2 12x5 26 de x3 16x4 + 18x x 9. (23/3)y3 (18/5)y4 (25/7)y5 18y (15/9) (12y6 11y3 + 12y2 9) 10. Restar la suma de 2x2 2y2 3xy con 17 x2 18xy + 13y2; -15x2 27y2 11xy de la suma de 13x2 y con -26x2 + 21xy 23y Resumen: En esta sesión se definió el procedimiento para poder hacer operaciones algebraicas de suma y resta. MOMENTO 6 MULTIPLICACION ALGEBRAICA (MONOMIO POR POLINOMIO) Introducción: En esta sesión el alumno se capacitará para hacer multiplicaciones algebraicas de monomio por polinomio. Objetivo: El alumno podrá hacer multiplicaciones algebraicas de monomio por polinomio en base a ejemplos y soluciones de ejercicios. Desarrollo: Monomio por Polinomio Ejemplos:

15 15 1). 2). 3). Tarea: 1. (3xy)(2x2 + 6x + 7) 2. (25x4 15x3 + 10x2 5x + 1)(3xy2z) 3. [(1/5)w2z][(2/3)z3 2z2 (1/5)]

16 (15x - 4y + 25z) (12 xyz) Resumen: En esta sesión el estudiante pudo resolver multiplicaciones algebraicas de polinomios por monomios de acuerdo a la metodología descrita. BIBLIOGRAFÍA Summel, F. Matemáticas I: Operaciones algebraicas, Ecuaciones lineales. Pearson educación. Primera ed. México MOMENTO 7 MULTIPLICACION ALGEBRAICA (MULTINOMIO POR MULTINOMIO) Introducción: En esta sesión se ejemplificará el procedimiento para solucionar y hacer multiplicaciones algebraicas de multinomio por multinomio. Objetivo: El alumno podrá hacer multiplicaciones algebraicas de multinomio por multinomio.

17 17 Desarrollo: Multinomio por Multinomio Ejemplos:

18 18

19 Otros Ejemplos: 19

20 20 Ejercicios de tarea: 1.

21 ( -3xy + 20yz ) ( xy + yz + xyz ) 12. ( xy + 6yz - 2 xz ) ( - xy + 20yz ) 13. (35x2y3 12xy + 23x2y) (12y3z 32xz -3xy2) 14. (3a2b 8 a2b 7a2b + 3a2b) (2a2b a2b 1) 15. (ab2 b2a + 3ab2) ( ) Resumen: En la presente sesión se presentó el procedimiento para solucionar multiplicaciones algebraicas de multinomios por multinomios. MOMENTO 8 DIVISIÓN ALGEBRAICA (MONOMIO ENTRE MONOMIO) Introducción: En esta sesión se definirá la división algebraica, los pasos para resolver este tipo de operaciones y se ejemplificará la solución de división de monomios. Objetivo: El alumno será capaz de hacer divisiones algebraicas de monomios.

22 22 Desarrollo: 4.- División Algebraica. {División de Monomios, División de un Polinomio entre un Monomio, División de un Multinomio entre un Multinomio} La división algebraica es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Pasos para dividir una expresión algebraica: 1. Aplique la ley de los signos: a. (+)(+) = + b. (+)(-) = - c. (-)(+) = - d. (-)(-) = + 2. Divida el coeficiente del dividendo ente el coeficiente del divisor para obtener el coeficiente del cociente. 3. Aplique la ley de los exponentes: (am) / (an) = am-n a ¹ 0 1. División de Monomios Ejemplos:

23 23 Paso 1, 2, 3 Paso 1, 2, 3

24 24 Paso 1, 2, 3 Tarea:

25 xy entre 3x2y2 Resumen: En esta sesión se definió la división y el procedimiento para divisiones, Así como la aplicación de este método para hacer ejercicios de división entre monomios. MOMENTO 9 DIVISIÓN ALGEBRAICA (MULTINOMIO ENTRE MONOMIO) Temas: División de un polinomio entre un polinomio o multinomio entre un monomio. Introducción: En esta sesión se ejemplificará como solucionar divisiones algebraicas de polinomios o multinomios entre monomios. Objetivo: El alumno será capaz entender y hacer ejercicios de polinomios o multinomios entre monomios. Desarrollo: Ejemplos: 2. División de un Polinomio entre un Monomio

26 26

27 27 MULTINOMIO ENTRE MONOMIO Ejemplo: Tarea:

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29 29 Resumen: En la presente sesión se pudo resolver divisiones algebraicas de polinomios o multinomios entre un monomio. MOMENTO 10 DIVISIÓN ALGEBRAICA (MULTINOMIO ENTRE MULTINOMIO) Introducción: La presente sesión consta del procedimiento para dividir un multinomio entre un multinomio. Objetivo: El alumno será capaz de aplicar todos los conocimientos de las diferentes operaciones algebraicas para solucionar divisiones de multinomios entre multinomios. Desarrollo: 3. División de un Multinomio entre un Multinomio Pasos para dividir un multinomio entre otro multinomio. a. Identifique los multinomios dividendo y divisor b. ordénelos de mayor a menor exponente de acuerdo con una variable determinada. c. Para obtener el primer término del cociente, divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Escriba el resultado arriba del primer término del dividendo, sobre el signo de división. d. Multiplique el cociente obtenido por cada término de divisor. Este producto se resta del dividendo (se cambia de signo). Si hay algún término del dividendo o del producto que no tenga término semejante con quien restar se escriben en el lugar que les corresponde. e. Para obtener el segundo término del cociente, divida el primer término de la diferencia (del paso anterior) entre el primer término del divisor. Escriba el resultado arriba del segundo término del dividendo, sobre el signo de división. f. Y así sucesivamente hasta que el exponente del primer término de la diferencia sea menor que el exponente del primer término del divisor. Ejemplos.

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38 Tarea: Dividir: 11.

39 Resumen: En esta sesión el alumno a través de ejercicios y ejemplos puede resolver divisiones algebraicas de multinomio o polinomio entre multinomio o polinomio. MOMENTO 11 REPASO DE OPERACIONES ALGEBRAICAS Introducción: El alumno será capaz de resolver ejercicios de operaciones algebraicas. Objetivo: El alumno será capaz de hacer diferentes operaciones algebraicas a través del reforzamiento de habilidades y conocimientos de los temas vistos. Desarrollo: Ejemplos:

40 40

41 41

42 42 Tarea: 1. 2x2y3z + 3x2y3z 2. 2x3 5x3 = 3. 3x4 2x4 + 7x4 = 4. 2 a2bc3 5a2bc3 + 3a2bc3 2 a2bc3 = 5. (2x3) por (5x3) = 6. (12x3) por (4x) = 7. (18x3y2z5) por (6x3yz2) = 9. (18x6y2z5) entre (6x3yz2) = 10. (36x3y7z4) entre (12x2y2) = (x4 2x3 11x2 + 30x 20) entre (x2 + 3x 2) 14. (x 6 + 5x4 + 3x2 2x) entre (x2 x + 3) 15. (x5 + 2x3 x 8) entre (x2 2x + 1)

43 43 Resumen: Por medio de un repaso general se ejemplifican los diferentes métodos de solución de operaciones algebraicas para ayudar al estudiante a acentuar los conocimientos adquiridos durante el curso. MOMENTO 12 PRODUCTOS NOTABLES (BINOMIO CONJUGADO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS) Introducción: En esta sesión se definirán los productos notables y se solucionará a través del método de binomios conjugados y diferencia de cuadrados. Objetivo: El alumno será capaz de identificar y solucionar los binomios conjugados y diferencia de cuadrados. Desarrollo: 5.- Productos Notables. {Binomios Conjugados, Diferencia de Cuadrados, Binomio al Cuadrado, Binomio al Cubo} Los productos notables son productos que se efectúan con la aplicación de reglas determinadas para llegar al resultado de manera inmediata. 1. Binomios Conjugados Definición: (a + b) (a + b) = a2 + b2 Ejemplos:

44 44

45 2. Diferencia de Cuadrados Definición: a2 + b2 = (a + b) (a + b) Ejemplos: 45

46 Ejercicios de tarea: 46

47 Resumen: En esta sesión se proporciona al alumno conocimientos para resolver por medio de productos notables diferentes binomios que por una regla general nos llevan a un resultado rápido por el método de binomios conjugados y diferencia de cuadrados. 47

48 48 MOMENTO 13 PRODUCTOS NOTABLES (BINOMIO AL CUADRADO) Productos notables (BINOMIO AL CUADRADO) Introducción: Solución de binomios a través del método de binomios al cuadrado. Objetivo: El alumno será capaz de identificar y solucionar los binomios al cuadrado. Desarrollo: 3. Binomio al Cuadrado Definición: 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a - b)2 = a2-2ab + b2 Ejemplos:

49 Tarea: 1.- (m + n)² = 2.- (5x 7y)² = 3.- (ab 1)² = 4.- (3a³ + 5ab)² = 5.- (4x² 7xy)² = 6.- (m 1)² = 7.- (8a + 2ab)² = 8.- (5x + y)² = 9.- (9a 7b)² = 10.- (5ab² + 6)² = 11.- (1 + ab)² = 12.- (5x³y² x)² = 49

50 (5x³y² 3x)² = 14.- (7x + 7y)² = 15.- (5/6a + 2b)² = Resumen: En esta sesión se proporciona al alumno conocimientos para resolver por medio de productos notables diferentes binomios que por una regla general nos llevan a un resultado rápido por el método de binomio al cuadrado. MOMENTO 14 PRODUCTOS NOTABLES (BINOMIO AL CUBO) Introducción: En esta sesión se definirá el binomio al cubo y su procedimiento para su solución. Objetivo: El alumno será capaz de identificar y solucionar los binomios al cubo. Desarrollo: 4. Binomio al Cubo Definición: 1. (a + b)3 = a3 + 3a2b + ab2 + b3 2. (a - b)3 = a3-3a2b + ab2 - b3 Ejemplos:

51 51

52 Otros ejercicios: 52

53 53 Ejercicios de tarea: Resumen: En esta sesión se proporciona al alumno conocimientos para resolver por medio de productos notables diferentes binomios que por una regla general nos llevan a un resultado rápido por el método de binomio al cubo. MOMENTO 15 REPASO PRODUCTOS NOTABLES Introducción: En esta sesión se dará un repaso de productos notables por medio de ejercicios prácticos. Objetivo: El alumno será capaz de aplicar los conocimientos adquiridos en productos notables solucionando varios ejercicios.

54 54 Desarrollo: Ejemplos: 1. Desarrolla los binomios conjugados 1. (5x 3y) (5x + 3y)= (5x)2(3y)2 =25x2 9 y2 2. (7 a2-3b2) (7 a2 +3b2) = (7 a2)2- (3b2)2 =49 a4 9b2 3. (10 x y2 +4x2z) (10 x y2 4x2z) =100x2 y4 16x4 z2 2. Desarrolla las sumas por diferencias 1. (3x - 2) (3x + 2) = (3x)2 22 = 9x (x + 5) (x 5) = x (3x - 2) (3x + 2) = (3x)2 22 = 9x (3x - 5) (3x - 5) = (3x) 2 52 = 9x Desarrolla los binomios al cuadrado. 1. (x + 5)2 = = x2 + 2 x = = x x (2x - 5)2 = = (2x)2-2 2x = = 4x2-20 x (2x - 5)2 = = (2x)2-2 2x = = 4x2-20 x Desarrolla los binomios al cubo. 1. (2x - 3)3 = (2x)3-3 (2x) x 32-33= = 8x 3-36 x x (x + 2)3 = x x x = = x3 + 6 x x (3x - 2)3 = (3 x)3 3 (3x) x = =27x 3 54 x x 8 4. (2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 (2x) x = = 8x x x Tarea: Desarrolla los siguientes productos notables: 1. ( 2a + 3b)2 = 2. (a2b2 1)(a2b2 + 7) = 3. (a2 + 3b) 3 = 4. (xa+1 3xa-2)2 = 5. (a + b)(a b)( a2 - b2) = 6. (2a 1)(1 + 2a) =

55 55 7. (am + bn)( am - bn) = 8. (ax+1 2bx-1)( 2bx-1 + ax+1) = 9. (a 11)(a + 10) = 10. (x3 + 7)( x3 + 6) = 11. (2m + 9) (2m 9) = 12. (n2 + 2n + 1)(n2 2n 1) = 13. (a + 1)(a + 2)(a 1)(a 2) = 14. (a2 ab + b2)(a2 b2 + ab) = 15. (10x3 9xy5)3 = Otros ejercicios.

56 Resumen: En esta sesión se hace un repaso general para resolver binomios por medio de diferentes métodos de productos notables. 56