Lectura 1. Ayudante: Guilmer González Día 15 de agosto, 2006

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José Manuel Cordero del Río
hace 7 años
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1 Geometría Analítica I Lectura 1 Ayudante: Guilmer González Día 15 de agosto, 2006 El día de hoy veremos: 1. Desigualdades 2. Factorizaciones 1 Desigualdades Una desigualdad es una relación entre dos números o expresiones algebraicas, por los signos <, > o. Ejemplos. Proponer unos, preguntar a los estudiantes. Propiedades 1. Si a>b, entonces b<a. 2. Si a>b, b>c; entonces a>c. 3. Si a>b,ym es un número cualquiera; entonces a + m>b+ m 4. Si a>b,ym es un número positivo; entonces am > bm. Ejemplos. Proponer unos, preguntar a los estudiantes. Operaciones 1. Dos desigualdades del mismo sentido, pueden sumarse miembro a miembro obteniendo una desigualdad del mismo sentido. 2. Dos desigualdades de sentido contrario, se pueden restar miembro a miembro, obteniendo una desigualdad con el sentido del minuendo. 3. Dos desigualdades puenden multiplicarse miembro a miembro, si todos los elementos son positivos; el sentido no cambia. 1

2 4. Dos desigualdades con miembros positivos y de signo contrario, pueden dividirse miembro a miembro obteniendo una desigualdad en el sentido del dividendo. Ejemplos. Proponer unos, preguntar a los estudiantes. Resolución de desigualdades de primer orden Una desigualdad en donde alguno de sus miembros sea una expresión algebraica lineal en una incógnita ax + b>cx+ d Resolver una desigualdad significa hallar todos los valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad. Básicamente llegar a una desigualdad elemental x<ao x>b. Ejercicio: Resolver la desigualdad 3x 2 4 > 2x 1 Qué ocurre cuando aparece un módulo en la desigualdad? Ejercicio: Resolver x 5 2 > 4 Sistemas de desigualdades de primer orden Se cuenta con un sistema de dos desigualdades lineales de la forma ax + b > 0 cx + d < 0 El método general para resolver este sistema, es resolver cada una de ellas por separado, y al compararlas establecer soluciones comunes. Si no existen soluciones comunes, el sistema se dice que es incompatible. Preguntar si conocen y, en su caso, comprenden una forma gráfica de plantear y resolver sistemas de desigualdades. 2

3 Ejercicios Resolver los siguientes sistemas de desigualdades x +3> 0; 2x 3 < 0 2 2x 3 > 0 3x +2> 0 Para qué valor de a se verifica que 1 < 3a +10 a +7 < 2 2 Factorización de polinomios En términos generales, la factorización es el procedimiento mediante el cual expresamos una expresión como el producto de dos o más factores. La factorización nos será de gran ayuda para simplificar algunas expresiones como suma de fracciones y división de polinomios. Desde luego, la utilidad práctica es determinar soluciones (o raíces) de una ecuación. En general, para factorizar polinomios hay muchos métodos o técnicas. Muchas de ellas son las que primero recordamos o bien de antemos intentamos realizar: 1. Factor común x 3 y + x 2 y 4 = x 2 y(x + y 3 ) 2. Factor común por agrupación: ax + bx + ay + by = (a + b)x +(a + b)y = (a + b)(x + y) 3. Trinomio cuadrado perfecto a 2 +2ab + b 2 =(a + b) 2 4. Diferencia de cuadrados a 2 b 2 =(a + b)(a b) Preguntar si conocen otras formas o técnicas para factorizar polinomios. Preguntar sobre la suma o diferencia de potencias iguales. 3

4 3 Regla de Ruffini Tomando por referencia Wilkipedia (la enciclopedia libre): En matemáticas, la Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x - r) (siendo r un nmero real). También nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x - r) (siendo r un número real). La regla de Ruffini establece un método para divisin del polinomio entre el binomio p(x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 para obtener el cociente q(x) =x r r(x) =b n 1 x n 1 + b n 2 x n 2 + b 1 x + b 0 y el resto s. 1. Cogemos los coeficientes de p(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea: a_n a_n-1... a_1 a_0 r Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (a n ) abajo, justo debajo de la línea: a_n a_n-1... a_1 a_0 r a_n = b_n-1 4

5 3. Multiplicamos el nmero más pegado a la derecho debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha: a_n a_n-1... a_1 a_0 r b_n-1 r a_n = b_n-1 4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna: a_n a_n-1... a_1 a_0 r b_n-1 r a_n a_n-1+(b_n-1 r) = b_n-1 = b_n-2 5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números: a_n a_n-1... a_1 a_0 r b_n-1 r... b_1 r b_0 r a_n a_n-1+(b_n-1 r)... a_1+b_1 r a_0+b_0 r = b_n-1 = b_n-2... = b_0 = s Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante r(x), el grado será menor que el grado de p(x), s será el resto. Por cultura general, revisen la liga, y jueguen con los coeficientes de los polinomios. Hacer un ejemplo en clase. 5

6 Ejercicios Factorizar las siguientes expresiones 1. 3x 2 6x +9x x +4x m 2 n 2 +24m 2 n 28m y 3 + z hkx 2 +21hkx +14hk 6. x 2 7xy 18y 2 6

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