Ejemplo 1: 14x 2 y 2-28x x 4. R: 14x 2 (y 2-2x + 4x 2 ) Ejemplo 2: X 3 + x 5 x 7 = R: x 3 (1 + x 2 - x 4 ) Ejemplo 3:

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Carmelo Contreras Muñoz
hace 6 años
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1 LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION FACTORIZACION Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. FACTORES CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN Factor Común Monomio: 14x 2 y 2-28x x 4 R: 14x 2 (y 2-2x + 4x 2 ) X 3 + x 5 x 7 = R: x 3 (1 + x 2 - x 4 ) 100a 2 b 3 c 150ab 2 c ab 3 c 3-200abc 2 = R: 50abc (2ab 2 3bc +b 2 c 2 4c) Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Ejemplo: a(a + b) = a 2 + ab (x + 2) (x +3) = x 2 + 5x + 6 (m + n) (m- n) = m 2 - mn - n 2 CASOS DE FACTORIZACION CASO I Factor Común Polinomio: a(x + 1) + b(x + 1) R: (x + 1) (a +b) (3x + 2) (x + y z) (3x + 2) - (x + y 1)( 3x +2)

2 R: (3x + 2) (x + y z) (3x + 2)(1) ( x - y +1)( 3x +2) (3x + 2) (x + y z -1 x - y + 1) -z ( 3x +2) (a + b -1) (a 2 + 1) a 2 1 =4am (m 2 3n) (m 2 + 3n) R: (m 2 3n)(4am-1) a 2 b 3 n 4 + a 2 b 3 x 2 n 4 x 2 3a 3 b 3 x + 3n 4 x = (a 2 b 3 n 4 + a 2 b 3 x 2 n 4 x 2 3a 3 b 3 x + 3n 4 x) = (a 2 b 3 + a 2 b 3 x 2 3a 2 b 3 x) (n4 + n 4 x 2-3n 4 x) = a 2 b 3 (1 + x 2 3x)- n 4 (1 + x 2-3x) R: (1 + x 2 3x) (a 2 b 3 - n 4 ) R: ( a + b -1) (a 2 + 1) ( a 2 + 1) ( a 2 + 1)(a + b - 1)-1 ( a 2 + 1)(a + b -1-1) ( a 2 + 1)(a + b -2) CASO II FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO a 2 + ab + ax + bx (a 2 + ab) + (ax + b) a(a + b) + x(a +b) (a + b) (a +x) 4am 3 12 amn m 2 + 3n = (4am 3 12amn) (m 2 + 3n) CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ejemplo 1; a 2 2ab + b 2 Raíz cuadrada de a 2 = a Raíz cuadrada de b 2 = b (2 X a X b) 2ab (cumple) R: (a b) 2 49m 6 70 am 3 n a 2 n 4 Raíz cuadrada de 49m 6 = 7m 3 Raíz cuadrada de 25a 2 n 4 = 5an 2

3 (2 X 7m 3 X 5a 2 n 2 ) = 70am 3 n 2 (cumple) R: (7m 5an 2 ) 9b 2 30 ab + 25a 2 Raíz cuadrada de 9b 2 = 3b Raíz cuadrada de 25 a 2 = 5a (2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple) R: (3b - 5a) 2 (x + y) 2 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2 Raíz cuadrada de (x + y) 2 =(x + y) Raíz cuadrada de (a + x) 2 = (a + x) (2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple) CASO ESPECIAL a 2 + 2a (a b) + (a b) 2 Raíz cuadrada de a 2 = a Raíz cuadrada de (a b) 2 = (a b) (2 X a X (a b) = 2a(a b) (cumple) R: (a + (a b)) 2 (a + a b) = (2a b) 2 R: ((x +y) (a + x)) 2 (x + y a x) 2 = (y a) 2 CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS X 2 y 2 x y = Raíces R: = (x + y) (x y) 100m 2 n 4 169y 6 10mn 2 13y 3 = Raíces

4 R: = (10mn y 3 ) (10mn 2 13y 3 ) 1 9a 2 b 4 c 6 d ab 2 c 3 d 4 = Raíces R: = (1 + 3 ab 2 c 3 d 4 ) (1 3 ab 2 c 3 d 4 ) CASO ESPECIAL (a 2b) 2 (x + y) 2 (a 2b) (x + y) = Raíces + y)) R: = ((a 2b) + (x + y)) ((a b) (x (a 2b + x + y) (a 2b x y) 16a 10 (2a 2 + 3) 2 4a 5 (2a 2 + 3) = Raíces R: = ((4a 5 + (2a 2 + 3))( 4a 5 (2a 2 + 3)) 2a 2 3) 36(m + n) 2 121(m n) 2 (4a 5 + 2a 2 + 3)(4a 5 6(m + n) 11(m n) = Raíces R: = ((6(m + n) + 11(m n)) (6(m + n) 11(m n)) (6m + 6n + 11m 11n) (6m +6n 11m + 11n) (17m + 5n ) (5m +17n) CASOS ESPECIALES COMBINACION DE LOS CASOS III Y IV a 2 + 2ab + b 2 - x 2 (a 2 + 2ab + b 2 ) x 2 (a + b) 2 x 2 R : (a + b + x)(a + b x) 1 a 2 + 2ax x 2 1 (a 2 + 2ax x 2) 1 (a x) 2 R: (1 a + x) (1 + a + x) 16a m + 9x 2 24ax 25m 2 (16a 2 24ax + 9x 2 ) (1 + 10m + 25m 2 ) (4a 3x) 2 (1 + 5m) 2

5 R: (4a 3x + 5m +1)(4a 3x 5m 1) CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION a 4 + a a 2 a 2 a 4 + 2a a 2 (a 4 + 2a 2 + 1) a 2 (a 2 + 1) 2 a 2 R: (a 2 + a + 1) (a 2 a + 1) a 2 b b a 2 b 2 16 a 2 b a 2 b b 4 16 a 2 b 2 ( a 2 b b 4 ) 16 a 2 b 2 (5a 2 + 7b) 2 16 a 2 b 2 R: (5a 2 + 7b ab) (5a 2 + 7b2 16 ab) (5a ab +7b 2 ) (5a 2 16 ab +7b 2 ) 81a 4 b 8 292a 2 b 4 x x a 2 b 4 x 8 4 a 2 b 4 x 8 81a 4 b 8 288a 2 b 4 x x 16 4 a 2 b 4 x 8 (81a 4 b 8 288a 2 b 4 x x 16 ) 4 a 2 b 4 x 8 (9a 2 b 4 16x 8 ) 2 4 a 2 b 4 x 8 R: (9a 2 b 4 16x ab 2 x 4 ) (9a 2 b 4 16x 8 2 ab 2 x 4 ) (9a 2 b ab 2 x 4 16x 8 ) (9a 2 b 4 2 ab 2 x 4 16x 8 ) CASO ESPECIAL FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS x y 4 x y x 2 y 2 16x 2 y 2 x x 2 y y 4 16x 2 y 2 (x x 2 y y 4 ) 16x 2 y 2 (x 2 + 8y 2 ) 2 16x 2 y 2 R: (x 2 + 8y 2 + 4xy) (x 2 + 8y 2 4xy) (x 2 + 4xy + 8y 2 ) (x 2 4xy + 8y 2 ) 4m n 4 4m n m 2 n 2 36m 2 n 2 4m m 2 n n 4 36m 2 n 2 (4m m 2 n 2 +81n 4 ) 36m 2 n 2 (2m 2 + 9n 2 ) 2 6m 2 n 2

6 R: (2m 2 + 9n 2 6mn) (2m 2 + 9n 2 36mn) (2m 2 + 6mn + 9n 2 ) (2m 2 6mn + 9n 2 ) 81a b 4 81a b a 2 b 2 144a 2 b 2 81a a 2 b 2 +64b a 2 b 2 (81a a 2 b 2 +64b 4 ) 144 a 2 b 2 (9a 2 + 8b 2 ) a 2 b 2 R: (9a 2 + 8b 2 12 ab) (9a 2 + 8b 2 12 ab) (9a ab + 8b 2 ) (9a 2 12 ab + 8b 2 ) CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA bx + c x 2 + R: ( n + 8 ) ( n 2 ) a a R: ( a + 24 ) (a + 18 ) CASOS ESPECIALES Ejemplo 1 X 8 2x 4 80 R: ( x 4 10 ) ( x ) (m n) 2 + 5(m n) 24 R: (( m n) + 8 ) ((m n) 3 ) ( m n + 8 ) (m n 3 ) x 2 + 7x + 10 R :( x + 5 ) ( x + 2 ) n 2 + 6n 16 m 2 + abcm 56a 2 b 2 c 2 R: ( m + 8abc ) (m 7abc) CASO VII

7 TRINOMIO DE LA FORMA c 2x 2 + 3x 2 (2) 2x 2 +(2) 3x (2) 2 = 4x 2 + (2) 3x 4 = (2x + 4 ) (2x 1 ) 2 x 1 R= (x + 2) (2x 1) 16m + 15m m m 15 15(15m 2 ) +(15) 16m (15) 15 = 225m 2 + (15) 16m 225 = (15 m + 25 ) ( 15 m 9 ) 5 x 3 R= ( 3m + 5 ) ( 5m 3 ) 30x x 10 (30) 30x2 +(30) 13x (30) x 2 + (30)13x 300 = (30x + 25 ) (30 x 12 ) 5 x 6 = (6x + 5) (5x 2) CASOS ESPECIALES ax 2 + bx + 6x 4 + 5x 2 6 (6) 6x 4 + (6)5x 2 (6) 6 36x 4 + (6)5x 2 36 = (6x ) (6x 2 4 ) 3 x 2 = (2x 2 + 3) (3x 2 2) 6m 2 13am 15a 2 (6) 6m 2 (6) 13am (6)15a 2 36m 2 (6) 13am 90 a 2 = (6m 18a ) (6m + 5a ) 6 x 1 = (m 3a ) (6m + 5a) 18a ay 15y 2 (18) 18a 2 + (18)17 ay (18) 15y 2 324a 2 + (18) 17ay 270y 2

8 = (18a + 27 ) (18a 10 ) 9 x 2 R: ( 5x 4 + 8y 5 ) 3 = (2a + 3y) (9a 5y) CASO VIII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Raíz cúbica de a 3 = a Raíz cúbica de 1 = 1 Segundo término= 3(a) 2 (1) = 3a 2 Tercer término = 3(a)(1) 2 = 3a CASO IX SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 1 + a 3 (1 + a) (1 2 1(a) +( a) 2 ) R:(1 + a) (1 a + a 2 ) R: (a + 1) 3 64x 9 125y x 6 y x 3 y 8 64x 9 240x 6 y x 3 y 8 125y 12 Raíz cúbica de 64x 9 = 4x 3 Raíz cúbica de 125y 12 = 5y 4 Segundo término= 3(4x 3 ) 2 (5y 4 ) = 240x 6 y 4 Tercer término = 3(4x 3 )(5y 4 ) 2 = 300x 3 y 8 R: ( 4x 3 5y 4 ) 3 125x x 8 y x 4 y y 15 Raíz cúbica de 125x 12 = 5x 4 Raíz cúbica de 512y 15 =8y 5 Segundo término= 3(5x 4 ) 2 (8y 5 ) =600x 8 y 5 Tercer término = 3(5x 4 )(8y 5 ) 2 =960x 4 y 10 x 3 27 (x 3 ) ((x) 2 + (x)3 + (3) 2 ) R: (x 3 ) (x 2 + 3x + 9) x 6 8y 12 (x 2 2y 4 ) ((x 2 ) 2 + (x 2 )(2y4) + (2y 4 ) 2 ) R: (x 2 2y 4 ) (x 4 + 2x 2 y 4 + 4y 8 ) CASOS ESPECIALES

9 1 + (x + y) 3 (1 +(x + y) (1 2 1(x + y) +(x + y) 2 ) R:(1 + x + y) (1 (x + y) + (x + y) 2 ) (1 + x + y) (1 x y + x 2 + 2xy + y 2 ) (m 2) 3 + (m 3) 3 ((m 2) + (m 3) ((m 2) 2 ((m 2) (m 3) + (m 3) 2 ) R: (m 2+ m 3) ((m 2 4m + 4) ((m 2) (m 3)) + (m 2 6m + 9)) (2m 5) (m 2 4m + 4) (m 2 3m 2m + 6) + (m 2 6m + 9)) (2m 5) (m 2 4m + 4 m 2 + 3m + 2m 6 + m 2 6m + 9) (2m 5) (m 2 5m +7) m 7 n 7 m 7 n 7 = m 6 + m 5 n + m 4 n 2 + m 3 n 3 + m 2 n 4 + mn 5 + n 6 m n x x = x 6 2x 5 + 4x 4 8x 3 +16x 2 32x + 64 x + 2 (x y) 3 8 ((x y) 2) ((x y) 2 + 2(x y) + (2) 2 ) R: (x y 2) (x 2 2xy + y 2 + 2x 2y + 4) CASO X SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES a a = a 4 a 3 + a 2 a + 1 a + 1

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